Top 12 # Hướng Dẫn Cách Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 6/2023 # Top Trend

Giáo án Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế cung cấp kiến thức giúp học sinh biết cách biến đổi hệ phương trình bằng quy tắc thế, nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế. Mời quý thầy cô tham khảo để soạn cho mình một giáo án giảng dạy tốt hơn.

Bài giảng Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

§3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

A. MỤC TIÊU:

Về kiến thức: Giúp HS hiểu cách biến đổi hệ phương trình bằng quy tắc thế.

Về kỹ năng: HS cần nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.

: HS không bị lúng túng khi gặp các trường hợp đặc biệt (hệ vô nghiệm hoặc hệ có vô số nghiệm).

B. CHUẨN BỊ CUẢ THẦY VÀ TRÒ:

C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Gợi mở – Vấn đáp

D. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

1. Quy tắc thế: GV: Giới thiệu quy tắc thế gồm 2 bước thông qua ví dụ 1.

? Từ PT (1) hãy biểu diễn x theo y.HS: x = 3y + 2? Thay x = 3y + 2 vào PT (2) ta được PT nào?

HS: Ta được PT một ẩn y: -2(3y + 2) + 5y = 1

GV: Vậy từ một PT trong hệ ta biểu diễn ẩn nay qua ẩn kia rồi thay vào PT còn lại để được một PT mới chỉ còn một ẩn.

? Dùng PT (1′) thay cho PT (1)(2′) thay cho PT (2). Ta được hệ PT nào.HS: Ta được hệ PT:

? Hệ mới có quan hệ như thế nào với hệ (I).HS: Tương đương với hệ (I).? Hãy giải hệ PT mới.

HS: Thực hiện giải PT một ẩn.

GV: Cách giải hệ PT như trên là giải hệ PT bằng phương pháp thế.

? Hãy nêu các bước giải hệ PT bằng phương pháp thế.

GV: Ở bước 1 ta cũng có thể biểu diễn y theo x. Áp dụng:

GV: Yêu cầu HS giải hệ PT ở ví dụ 2 bằng phương pháp thế.? Hãy biểu diễn y theo x rồi thế vào PT còn lại.HS: Thực hiện giải hệ PT theo hai bước.

GV: Theo dõi, hướng dẫn HS làm bài.

– Cho HS đọc chú ý SGK/14.HS: Đọc to chú ý.

GV: Hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm khi quá trình giải xuất hiện PT có hệ số của hai ẩn đều bằng 0.

– Cho HS đọc ví dụ 3 SGK/14.HS: Đọc VD3 SGK/14.

– Minh hoạ VD3 bằng hình học.

Gọi một HS lên bảng giải bằng phương pháp thế, một HS minh hoạ hình học.

Cập nhật lúc: 15:22 26-09-2018 Mục tin: LỚP 9

Tài liệu giới thiệu về hai phương pháp chính dùng để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Đó là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Quy tắc thế

Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:

Bước 1. Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

+ Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

+ Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:

Bước 1: Coognj hay trừ tằng về hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mưới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng (0) (tức là phương trình một ẩn).

+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế như thế nào? qua đó vận dụng giải các bài tập minh họa vận dụng phương pháp này để các em rèn luyện kỹ năng giải toán.

I. Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

– Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

– Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d):  ax + by = c

Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung

Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: <img title="small left{egin{matrix} ax+by=c a'x + b'y=c' end{matrix}

+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

– Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

(d)

(d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất

(d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế

a) Quy tắc thế

Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:

+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

+ Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

* Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=4 2x-y=0 end{matrix}

b) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=1 x-y=3 end{matrix}

* Lời giải:

a) <img title="small left{egin{matrix} 2x+y=4 2x-y=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 2x+y=4 y=2x end{matrix}

 <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 2x+2x=4 y=2x end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 4x=4 y=2x end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x=1 y=2 end{matrix}

b) <img title="small left{egin{matrix} 2x+3y=1 x-y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 2(3+y)+3y=1 x=3+y end{matrix}

 <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 5y=-5 x=3+y end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=-1 x=2 end{matrix}

III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

* Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a) <img title="small left{egin{matrix} x-y=3 3x-4y=2 end{matrix}

c) <img title="small left{egin{matrix} x+3y=-2 5x-4y=11 end{matrix}

* Lời giải:

a) <img title="small left{egin{matrix} x-y=3 3x-4y=2 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3+y 3(3+y)-4y=2 end{matrix}

  <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3+y 9-y=2 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=10 y=7 end{matrix}

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (10;7)

b) <img title="small g_white fn_cm small left{egin{matrix} 7x-3y=5 4x+y=2 end{matrix}

  <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 7x-3(2-4x)=5 y=2-4x end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 7x-6+12x=5 y=2-4x end{matrix}

  <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} 19x=11 y=2-4x end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{11}{19} y=frac{-6}{19} end{matrix}

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (11/19;-6/19)

c) <img title="small left{egin{matrix} x+3y=-2 5x-4y=11 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y 5(-2-3y)-4y=11 end{matrix}

  <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y -10-15y-4y=11 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=-2-3y 19y=-21 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{25}{19} y=-frac{21}{19} end{matrix}

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (25/19;-21/19)

* Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế

a) <img title="small left{egin{matrix} 3x-2y=11 4x-5y=3 end{matrix}

* Lời giải:

a) <img title="small left{egin{matrix} 3x-2y=11 4x-5y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{11}{3}+frac{2}{3}y 4(frac{11}{3}+frac{2}{3}y)-5y=3 end{matrix}

  <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=(11+2y)/3 frac{4}{3}(11+2y)-5y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=(11+2y)/3 frac{44}{3}+frac{8}{3}y-5y=3 end{matrix}

  <img title="small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{1}{3}(11+2y) -frac{7}{3}y=-frac{35}{3} end{matrix} ight.Leftrightarrowleft{egin{matrix} x=7 y=5 end{matrix}

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (7;5)

b) <img title="small g_white fn_cm small g_white fn_cm small left{egin{matrix} x/2-y/3=1 5x-8y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 5(frac{2}{3}y+2)-8y=3 end{matrix}

  <img title="small g_white fn_cm small Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 frac{10}{3}y+10-8y=3 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{2}{3}y+2 -frac{14}{3}y=-7 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=3 y=3/2 end{matrix}

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (3;3/2)

1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn.

Dạng tổng quát

a) Nếu một trong hai phương trình là bậc nhất thì dễ dàng giải được hệ bằng phương pháp thế. b) Nếu một trong hai phương trình là thuần nhất bậc hai, chẳng hạn . Khi đó phương trình thứ nhất có dạng , phương trình này cho phép tính được . c) Hệ đẳng cấp bậc hai, tức là . Bằng cách khử đi hệ số tự do ta sẽ tìm ra được một phương trình thuần nhất bậc hai để tìm tỉ số d) Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng phương pháp “tịnh tiến nghiệm” bằng cách đưa vào các ẩn mới (với là các ẩn). Ta sẽ tìm để khi khai triển thì các hạng tử bậc nhất ở cả hai phương trình của hệ đều bị triệt tiêu. Từ đó có hệ đẳng cấp theo mà ta đã biết cách giải.

Đặt . Hệ trở thành :

Vậy ta có hệ .

Dễ dàng giải được hệ này.

2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng.

a) Hệ phương trình đối xứng loại I.

Cách giải chung là đặt ẩn phụ .

b) Hệ phương trình đối xứng loại II

Cách giải chung là trừ vế theo vế hai phương trình để thu được nhân tử chung .

c) Hệ phương trình đối xứng ba ẩn.

Dạng tổng quát

Nếu ba số thỏa mãn thì chúng là ba nghiệm của phương trình .

3. Hệ phương trình hoán vị.

Dạng tổng quát

Với thường là các hàm đơn điệu (trên một khoảng nào đó)

Một số định lí :

a) Nếu là các hàm đồng biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì .

b) Nếu là các hàm nghịch biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì với lẻ, ta có .

c) Nếu nghịch biến và đồng biến trên tập là là nghiệm (trên ) của hệ thì với chẵn, ta có và .

Vì .

4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp này chủ yếu dựa vào định lí sau :

Phương trình thứ nhất có thể viết thành :

Thay vào phương trình sau :

Vậy

5. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ : Giải hệ phương trình

Điều kiện

Cộng vế theo vế hai phương trình :

Trừ vế theo vế hai phương trình :

Vậy nếu ta đặt

Thì ta có hệ

Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu.

6. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.

“Chất bất đẳng thức” của hệ này nằm ở phương trình thứ hai.

Điều kiện

7. Phương pháp biến đổi đẳng thức. a) Đưa về phương trình tích.

Ta dễ dàng giải được hệ này.

b) Đưa về phương trình thuần nhất.

Nhận thấy vế trái của có bậc ba và vế phải của có bậc . Để đưa thành một phương trình thuần nhất (thuần nhất bậc ba) thì ta cần nhân vào vế phải một biểu thức bậc .

Dễ dàng giải tiếp hệ này.

8. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác) 9. Phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ : Giải hệ phương trình

Mục đích ở đây là ta sẽ tạo ra một phương trình mà có thể tính được ẩn này theo ẩn kia.

Ta cần phối hợp hai phương trình của hệ để tạo một phương trình bậc hai có ẩn là .

Từ đó được phương trình .

Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope