Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢNI. Hệ phương trình đối xứng loại 1:Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.( Phương trình n ẩn x1, x2, …, xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi.( Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng: x1 + x2 + … + xn x1x2 + x1x3 + … + x1xn + x2x1 + x2x3 + … + xn-1xn …………………………. x1x2 … xn( Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.( Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.* Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn(1 +… an, a0 ≠ 0, ai ( P có nhgiệm trên P là c1, …, cn thì: (Định lý Viét tổng quát)Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:A. LÝ THUUYẾT1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:
Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2 ( SX + P = 0.2. Định nghĩa:, trong đó 3.Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và . Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.Chú ý:+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.4. Bài tập: Loại 1: Giải hệ phương trìnhVí dụ 1. Giải hệ phương trình .GIẢIĐặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:.Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .GIẢIĐặt , điều kiện Hệ phương trình trở thành:.Ví dụ 3. Giải hệ phương trình .GIẢIĐiều kiện .Hệ phương trình tương đương với: Đặt ta có:.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình .GIẢIĐiều kiện . Đặt , ta có: và .Thế vào (1), ta được:
Suy ra:.Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệmPhương pháp giải chung:+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và (*).+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.Chú ý:Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:.
GIẢIĐiều kiện ta có:
Đặt , Hệ phương trình trở thành:.Từ điều kiện ta có .Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.GIẢI.Đặt S = x + y, P = xy, Hệ phương trình trở thành: .Suy ra S và P là nghiệm của phương trình .Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm .Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm.GIẢIĐặt hệ trở thành:.Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của (*).Hệ có nghiệm (*) có 2 nghiệm không âm. .
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.GIẢI.Đặt . Hệ phương trình trở thành: (S = u + v, P = uv).Điều kiện.Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.