Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng

--- Bài mới hơn ---

  • Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông
  • Sự Thành Hình Của Kiến Trúc: 7 Sơ Đồ Phác Thảo Và Quá Trình Hình Thành Công Trình Của Mvrdv
  • Drawing Sentence Syntax Trees – Amy Reynolds
  • Staruml 5.0 User Guide (Modeling With Sequence Diagram)
  • Tính Toán Của Các Cầu Thang Xoắn Ốc
  • Hình 1. Hình chiếu của đường lên mặt

    Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.

    Để tìm hình chiếu $Delta$ của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ ta tiến hành các bước sau

    Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha  right)$ chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( P right)$ là ${vec n_P}$ và ${vec u_d}.$

    Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $Delta  = left( alpha  right) cap left( P right).$

     

    Ví dụ.

    Cho $left( d right):left{ begin{array}{l}

    x = 1 – t\

    y = 2 + 2t\

    z =  – 1 – t

    end{array} right.$ và  $left( P right):x – y + z – 1 = 0.$ 

    Viết phương trình tham số của đường thẳng $Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.

     

     

    Giải. Bước 1. Gọi $left( alpha  right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( alpha right)$ là ${vec u_d} = left( { – 1;2; – 1} right),{vec n_P} = left( {1; – 1;1} right)$. Suy ra ${vec n_alpha } = left = left( {1;2;1} right).$

    Từ phương trình tổng quát của $Delta$ ta thay $x = 0 Rightarrow y =  – 3,z =  – 2 Rightarrow Aleft( {0; – 3; – 2} right) in Delta .$

    Suy ra phương trình tham số của $Delta$ là $$left( Delta  right):left{ begin{array}{l}

    x = t\

    y =  – 3 + 2t\

    z =  – 2 + t

    end{array} right..$$

     

    Bài tập 

    (nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

     

     

     

    --- Bài cũ hơn ---

  • Khai Thác Một Bài Toán Hình Học Lớp 7
  • Hướng Dẫn Giải Toán Hình Học 12 Chủ Đề Khối Tròn Xoay Hay, Chọn Lọc.
  • Dựng Mô Hình 3D Từ Bản Vẽ 2D
  • Cách Vẽ Hình Chiếu 3D
  • Hình Chiếu Là Gì? Phân Loại Hình Chiếu Và Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc
  • Cách Tìm Hình Chiếu Của Một Điểm Lên Đường Thẳng, Mặt Phẳng Cực Hay

    --- Bài mới hơn ---

  • Hình Chiếu Trong Toán Học Là Gì?
  • 1; Vẽ Hình Chiếu Đứng,bằng ,cạnh Của Một Vật Thể Cho Biết Vị Trí Hình Trên Bản Vẽ 2; Các Hình Nào Thuộc Khối Đa Diện 3; Nêu Sơ Đồ Về Bản Vẽ Chi Tiết,bản Vẽ Lắp
  • Giải Bài Tập Sgk Công Nghệ Lớp 11 Bài 3: Thực Hành: Vẽ Các Hình Chiếu Của Vật Thể Đơn Giản
  • Giáo Án Công Nghệ 8
  • Giáo Án Công Nghệ 8 Tiết 7 Bài 7: Thực Hành Đọc Bản Vẽ Các Khối Tròn Xoay
  • Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng cực hay

    A. Phương pháp giải

    Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

    – Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d

    Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)

    – Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ: 1

    Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên đường thẳng d:

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải

    + Đường thẳng d có vecto chi phương .

    + Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:

    1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0

    + Tìm H là giao điểm của d và (P)

    Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn :

    Vậy H là hình chiếu của A trên d và

    Chọn A.

    Ví dụ: 2

    Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)

    A. ( 2; 1; 0)

    B. ( – 2;0; 1)

    C.(-1; 0; 0)

    D. ( 0; 2; 1)

    Hướng dẫn giải

    + Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

    Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

    Phương trình của d là:

    + Tìm H là giao điểm của d và (P)

    Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

    2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

    ⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

    ⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= – 1 nên H ( – 1; 0; 0)

    Chọn C.

    Ví dụ: 3

    Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng . Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

    A. ( 1; 2; 1)

    B.( 5; – 3; 4)

    C. ( -2; 1;3)

    D. ( 1;1;3)

    Hướng dẫn giải

    Phương trình tham số của d là:

    Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) thuộc d

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi

    ⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0

    ⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0

    ⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2

    Chọn B.

    Ví dụ: 4

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( -1; 3; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

    A. ( -1;3; 0)

    B. ( -2; 1; 0)

    C. ( -1; 2; 1)

    D. ( – 2; -1; 1)

    Hướng dẫn giải

    Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:

    Chọn A.

    Ví dụ: 5

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2y – z+ 5= 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

    A. ( 1; 0; 2)

    B. ( -1; 0; 2)

    C. (- 2; 0; 2)

    D. ( -1; 2; -2)

    Hướng dẫn giải

    +Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

    + Gọi d là đường thẳng đi qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

    + Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Thay x= – 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

    ( -1+ 2t)+ 2(2+ 2t) – ( 1- t) + 5= 0

    ⇔ – 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0

    ⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= – 1 nên H( -2; 0; 2)

    Chọn C.

    Ví dụ: 6

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

    A.( 1; 0; – 2)

    B. ( -2; 1; 1)

    C. ( 1; 2; 3)

    D. (- 1; 0; 6)

    Hướng dẫn giải

    + Đường thẳng d đi qua A(0; 0; 2) và có vecto chỉ phương

    + Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến

    -1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0

    + Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

    + Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(- t; 2t; 2+ t) . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

    – ( – t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0

    + Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.

    Chọn D.

    Ví dụ: 7

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y – 4= 0 và điểm A( 1; 1; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.

    A. ( 3; -3; 0)

    B. ( -2; 1; 3)

    C. ( 0;2; -1)

    D. (-2; 3; 1)

    Hướng dẫn giải

    + Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

    + Gọi d là đường thẳng đi qua A( 1; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là ( 1; -2; 0)

    + Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

    1+ t – 2( 1- 2t) – 4= 0 hay t= 1

    Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 2; -1; 0) .

    + Do A’ là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.

    Chọn A.

    C. Bài tập vận dụng

    Câu 1:

    Tìm hình chiếu vuông góc của A(- 2; 1;0) trên đường thẳng

    A. ( -2; 0; 1)

    B. ( 2; -1;- 5)

    C. ( 0;3;-3)

    D. Đáp án khác

    + Đường thẳng d có vecto chi phương .

    Chọn B.

    Câu 2:

    Cho M( 0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z +2 = 0. Gọi H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a+ b + c?

    A. – 2

    B. 6

    C. – 4

    D. 4

    + Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

    Phương trình của d là:

    Chọn D.

    Câu 3:

    Cho điểm M ( – 2; 1; – 2) và đường thẳng Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

    A. ( 1; 2; 1)

    B.( 0; 2; 2)

    C. ( – 1; 2; 0)

    D. (0; 1; 0)

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi

    Chọn B.

    Câu 4:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( -2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?

    A. (1; 0; -2)

    B. ( -2; 1; 0)

    C. ( -1; 2; 1)

    D. ( – 2; -1; 1)

    Chọn B.

    Câu 5:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

    A. ( 1; 0; 2)

    B. ( -1; 0; 2)

    C. (- 2; 0; 2)

    D. ( -3; 1; 0)

    +Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

    + Gọi d là đường thẳng đi qua M (- 2; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

    Chọn D.

    Câu 6:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( 1; 0; 2). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

    A.

    B. ( -2; 1; 1)

    C.

    D. ( 2; 2; 1)

    + Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Chọn C.

    Câu 7:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x – 2y- 3z – 11= 0 và điểm A( 2; 1; 1). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.

    A. ( 4; – 3; – 5)

    B. ( -2; 1; 3)

    C. ( 0;2; -1)

    D. (-2; 3; 1)

    + Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

    Chọn A.

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc Của Một Điểm Lên Một Mặt Phẳng
  • Cách Vẽ Hình Chiếu Trục Đo Trong Autocad
  • Skkn Hướng Dẫn Cho Học Sinh Cách Vẽ Hình Chiếu Phối Cảnh Hai Điểm Tụ Đối Với Các Số Tự Nhiên
  • Tài Liệu Skkn Hướng Dẫn Cho Học Sinh Cách Vẽ Hình Chiếu Phối Cảnh Hai Điểm Tụ Đối Với Các Số Tự Nhiên
  • Cách Vẽ Hình Chiếu Thứ 3
  • Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc Của Một Điểm Lên Một Mặt Phẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Tìm Hình Chiếu Của Một Điểm Lên Đường Thẳng, Mặt Phẳng Cực Hay
  • Hình Chiếu Trong Toán Học Là Gì?
  • 1; Vẽ Hình Chiếu Đứng,bằng ,cạnh Của Một Vật Thể Cho Biết Vị Trí Hình Trên Bản Vẽ 2; Các Hình Nào Thuộc Khối Đa Diện 3; Nêu Sơ Đồ Về Bản Vẽ Chi Tiết,bản Vẽ Lắp
  • Giải Bài Tập Sgk Công Nghệ Lớp 11 Bài 3: Thực Hành: Vẽ Các Hình Chiếu Của Vật Thể Đơn Giản
  • Giáo Án Công Nghệ 8
  • Để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng (P) cho trước thì trong bài giảng này thầy sẽ chia sẻ với chúng ta 02 cách làm. Đó là cách làm theo kiểu tự luận và công thức trắc nghiệm nhanh. Tuy nhiên cách giải tự luận sẽ giúp chúng ta hiểu rõ bản chất, còn công thức giải nhanh thì có thể quên bất cứ khi nào.

    Bài toán:

    Cho mặt phẳng (P): $Ax+By+Cz+D=0$ và một điểm $M(x_0;y_0;z_0)$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có phương trình là: $left{begin{array}{ll}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ctend{array}right.$

    Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là H. Ta sẽ có H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

    Tọa độ điểm H chính là nghiệm của hệ phương trình:

    $left{begin{array}{ll}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ct\Ax+By+Cz+D=0end{array}right.$

    Ví dụ 1: Cho điểm $M(1;2;3)$ và mặt phẳng (P) có phương trình là: $2x+3y-z+9=0$. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P).

    Hướng dẫn:

    Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $vec{n}(2;3;-1)$

    Gọi d là đường thẳng di qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đo đường thẳng d sẽ nhận $vec{n}(2;3;-1)$ làm vectơ chỉ phương.

    Phương trình tham số của đường thẳng d là: $left{begin{array}{ll}x=1+2t\y=2+3t\z=3-t end{array}right.$

    Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó điểm H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P). Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình sau:

    $left{begin{array}{ll}x=1+2t\y=2+3t\z=3-t\2x+3y-z+9=0 end{array}right.$

    Vậy tọa độ điểm H là: $H(-1;-1;4)$

    Phương pháp 2: Áp dụng công thức tính nhanh tọa độ hình chiếu của điểm

    Công thức tính nhanh tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Ak\y_H=y_0+Bk\z_H=z_0+Ckend{array}right.$

    Với $k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

    Tại sao có công thức này thì thầy có thể giải thích như sau:

    Theo cách làm ở phương pháp 1 thì tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

    $left{begin{array}{ll}x=x_0+Ak\y=y_0+Bk\z=z_0+Ck\Ax+By+Cz+D=0end{array}right. kin R$

    Thay 3 phương trình đầu tiên trong hệ vào phương trình thứ 4 ta sẽ có:

    $A(x_0+Ak)+B(y_0+Bk)+C(z_0+Ck)+D=0$

    $k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

    Với k được xác định như vậy đó.

    Mặt phẳng (P): $2x+3y-z+9=0$ có $A=2; B=3; C=-1$

    Tọa độ điểm $M(1;2;3)$

    $k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

    Tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Ak\y_H=y_0+Bk\z_H=z_0+Ckend{array}right.$

    Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là $H(-1;-1;4)$

    SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Vẽ Hình Chiếu Trục Đo Trong Autocad
  • Skkn Hướng Dẫn Cho Học Sinh Cách Vẽ Hình Chiếu Phối Cảnh Hai Điểm Tụ Đối Với Các Số Tự Nhiên
  • Tài Liệu Skkn Hướng Dẫn Cho Học Sinh Cách Vẽ Hình Chiếu Phối Cảnh Hai Điểm Tụ Đối Với Các Số Tự Nhiên
  • Cách Vẽ Hình Chiếu Thứ 3
  • Giải Bài Tập Công Nghệ 11
  • Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • 7 Thước Đo Góc Theo Độ (0~360°) Phổ Biến
  • Từ Vuông Góc Đến Song Song: Các Dạng Toán Cơ Bản.
  • Định Luật Phản Xạ Ánh Sáng Là Gì?
  • 【1️⃣】 Cách Gõ Ký Hiệu Góc Trong Word
  • Cách Vẽ Một Chú Gấu Teddy Bằng Trái Tim
  • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    I. Lý thuyết

    1. Định nghĩa:

    • Nếu đường thẳng a vuông góc với (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900 .
    • Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P).

    Kí hiệu: $widehat {left( {a,(P)} right)}$.

    Chú ý: $widehat {left( {a,(P)} right)} = widehat {left( {a,a’} right)}$ với a’ là hình chiếu của a trên (P).

    Hệ quả:

    • ${0^0} le widehat {left( {a,(P)} right)} le {90^0}.$
    • $widehat {left( {a,(P)} right)} = {0^0}$ khi và chỉ khi a//(P) hoặc $a subset (P)$.
    • $widehat {left( {a,(P)} right)} = {90^0} Leftrightarrow a bot (P).$

    2. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

    Phương pháp 1. (Phương pháp hình học)

    + Tìm $I=dcap (P)$

    + Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P)

    + $(d,(P))=widehat{AIH}$

    Phương pháp 2. (Phương pháp vec tơ)

    + Gọi $overrightarrow u = (a;b)$ là véc tơ chỉ phương của đướng thẳng a.

    + Gọi $overrightarrow n = (A;B)$ là véc tơ pháp tuyến của (P).

    II.Ví dụ minh họa

    A. Sử dụng phương pháp hình học

    Ví dụ 1.

    Cho hình chóp chúng tôi đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=asqrt{6}$. Tính sin của góc giữa:

    a). SC và (SAB)

    b). AC và (SBC)

    Giải

    a).Ta có: $BCbot ABtext{ (gt)}$ và $SAbot BC$ (vì $SAbot (ABCD)$)$Rightarrow $$BCbot (SAB)$ do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB) $Rightarrow (SC,(SAB))=widehat{BSC}$. Ta có: $begin{align}

      & Rightarrow sin (SC,(SAB))=sin widehat{BSC}= \

     & =frac{BC}{SC}=frac{a}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}$

    b) Trong mp(SAB) kẻ $AHbot SBtext{ (H}in text{SB)}$. Theo a) $BCbot (SAB)Rightarrow AHbot BC$ nên $AHbot (SBC)$ hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC) $Rightarrow (AC,(SBC))=widehat{ACH}$.

    + Xét tam giác vuông SAB có: $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{S{{A}^{2}}}=frac{7}{6{{a}^{2}}}Rightarrow AH=a.sqrt{frac{6}{7}}$

    + Vậy $sin (AC,(SBC))=sin widehat{ACH}=frac{AH}{AC}=frac{sqrt{21}}{7}$

    Ví dụ 2.

    Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $(SAB)bot (ABCD)$, H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

    Giải

    + Ta có: $AH=frac{1}{2}AB=frac{a}{2},$ $SA=AB=a$, $SH=HC=sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=frac{asqrt{5}}{2}$.

    Vì $S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}=frac{5{{a}^{2}}}{4}=A{{H}^{2}}$ nên tam giác SAH vuông tại A hay $SAbot AB$ mà $(SAB)bot (ABCD)$ . Do đó, $SAbot (ABCD)$ và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD).

    + Ta có: $(SC,(ABCD))=widehat{SCA}$, $tan widehat{SCA}=frac{SA}{AC}=frac{sqrt{2}}{2}$. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng $frac{sqrt{2}}{2}$.

    Ví dụ 3.

    Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

    A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 75°

    Giải

    Gọi H là trung điểm của BC suy ra: $AH = BH = CH = frac{1}{2}BC = frac{a}{2}$.

    Ta có: $SH bot (ABC) Rightarrow SH = sqrt {S{B^2} – B{H^2}} = frac{{asqrt 3 }}{2}$

    $widehat {(SA,(ABC))} = widehat {SAH} = alpha $

    $ Rightarrow tan alpha = frac{{SH}}{{AH}} = sqrt 3 Rightarrow alpha = {60^0}$.

    Vậy chọn: A.

    Ví dụ 4.

    Cho hình chóp chúng tôi , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD) . Biết SA = a(√6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD) .

    A. 30°                B. 45°                C. 60°               D.90°

    Giải

    Ta có: $SA bot (ABCD) Rightarrow SA bot AC$

    $ Rightarrow widehat {(SC,(ABCD))} = widehat {SCA} = alpha $

    Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên $AC = asqrt 2 ,SA = frac{{asqrt 6 }}{3}$

    $ Rightarrow tan alpha = frac{{SA}}{{AC}} = frac{{sqrt 3 }}{3} Rightarrow alpha = {30^0}$

    Vậy chọn A.

    Ví dụ 5.

    Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

    A. 60°               B.90°               C. 45°                D. 30°

    Giải

    Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)

    Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

    ⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) =$widehat {SAH}$

    Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH

    Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH

    Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ $widehat {SAH}$ = 45°

    B. Sử dụng phương pháp véc tơ

    (Xem phần 2)

    III. Bài tập trắc nghiệm

    Câu 1. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a ; BD = 2AC . Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO ⊥ (ABCD) . Biết tan(SBO) = 1/2. Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD)

    A. 30°               B.45°               C. 60°                D. 90°

    Câu 2. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điể BC . Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

    A. 30°               B.45°               C. 60°                D. 75°

    Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:

    A. 45°                  B. 120°                  C. 90°                  D. 65°

    Câu 4. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    A. $alpha = {60^0}$                   B. $alpha = {30^0}$                  

    C. $cos alpha = frac{{sqrt 6 }}{4}$                  D. $sin alpha = frac{{sqrt 6 }}{4}$

    Câu 5. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = ${asqrt 6 }$. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

    A. $alpha = {60^0}$                   B. $alpha = {30^0}$                  

    C. $ alpha ={45^0} $                  D. $cos alpha = frac{{sqrt 3 }}{3}$

    Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi α là góc giữa AC’ và mp(A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    A. $alpha = {30^0}$                   B. $alpha = {45^0}$                  

    C. $tan alpha = frac{2}{{sqrt 3 }}$                  D. $tan alpha = sqrt 2 $

    Câu 7. Cho hình chóp chúng tôi đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) là?

    A. $tan beta = sqrt 2 $                   B. $tan beta = sqrt 5 $                 

    C. $tan beta = 3 $                  D. $tan alpha = 2 $

    Câu 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. AB=a, AD=2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy ABCD bằng 600 . Tính độ dài SA?

    A. $SA = asqrt 5 $                 B. $SA = asqrt 3 $             

    C. $SA = asqrt 15 $                  D. $SA = asqrt 13 $

    Câu 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính độ dài SA để góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 .

    A. $SA = asqrt 5 $                 B. $SA = asqrt 3 $             

    C. $SA = asqrt 6 $                  D. $SA = asqrt 2 $

    Câu 10. Cho hình chóp SABC có SA = a, SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông cân tại B, góc $widehat {ACB} = {30^0}$, AC=2a. Tính $tan alpha $ góc giữa SC và mặt phẳng (SAB).

    A. $tan alpha = frac{{sqrt 5 }}{2}$                 B. $tan alpha = frac{{sqrt 6 }}{2}$            

    C. $tan alpha = frac{{1 }}{2}$                  D. $tan alpha = frac{{sqrt 3 }}{2}$

    ———————————-

    • Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
    • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng-p2.
    • Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian-p1.
    • Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian-p2.

    --- Bài cũ hơn ---

  • 40+ Mẫu Trang Trí Góc Học Tập – Bàn Học Tạo Cảm Hứng Học Cho Bé
  • Hướng Dẫn Cách Trang Trí Góc Học Tập Đơn Giản, Phù Hợp
  • Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
  • Giáo Án Toán 3
  • Hai Góc Đối Đỉnh – 3 Dạng Toán Cơ Bản Nhất
  • Góc Giữa Hai Đường Thẳng; Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • 3 Lệnh Vẽ Đường Thẳng Trong Cad Dân Thiết Kế Nhất Định Phải Nắm
  • Slide Bài Giảng Đầy Đủ Về Phần Mềm Geogebra
  • Bài 12. Vẽ Hình Phẳng Với Geogebra (Ga Sách Mới)
  • Ứng Dụng Phần Mềm Geogebra Trong Giảng Dạy Bộ Môn Hình Học 8
  • Hướng Dẫn Sử Dụng Phần Mềm Geogebra Để Dạy Toán Hình
  • Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    A. Phương pháp giải

    – Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương

    Góc φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

    – Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

    Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ: 1

    Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết

    A.

    B.

    C.

    D.

    Hướng dẫn giải

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Trục Ox có vecto chỉ phương

    Cosin góc giữa d và Ox là:

    Chọn B.

    Ví dụ: 2

    Tính góc giữa và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?

    Hướng dẫn giải

    Hai mặt phẳng (P)và (Q) có vecto pháp tuyến là:

    d’ là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Cosin góc giữa d và d’ là:

    Chọn D.

    Ví dụ: 3

    Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:

    Chọn A.

    Ví dụ: 4

    Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải

    + Đường thẳng AB có vecto chỉ phương

    + Đường thẳng CD có vecto chỉ phương .

    Chọn C.

    Ví dụ: 5

    Cho đường thẳng . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

    A. m= 2

    B. m = – 4

    C. m= (- 1)/2

    D. m= 1

    Hướng dẫn giải

    Đường thẳng d 1 có vecto chỉ phương

    Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương

    Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

    Chọn C.

    Ví dụ: 6

    Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là ?

    A. m= ± 1

    B.m= ± 2

    C. m= 0

    D. m= ± 3

    Hướng dẫn giải

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

    Theo giả thiết ta có:

    Chọn A.

    Ví dụ: 7

    Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 4x- 4y+ 2z- 9= 0. Xác định m để

    A. m= 1

    B.m= – 1

    C. m= – 2

    D. m= -1 hoặc m= -7

    Hướng dẫn giải

    + Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

    Theo giả thiết ta có:

    Chọn D.

    Ví dụ: 8

    Cho đường thẳng ; điểm A( 2; 0; 0); B (0; 1; 0) và C( 0;0;- 3).Xác định sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) ?

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải

    + Phương trình mặt phẳng (ABC):

    Hay ( ABC): 3x + 6y – 2z – 6= 0

    Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến .

    + Đường thẳng d có vecto chỉ phương .

    Chọn A.

    Ví dụ: 9

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi đường thẳng d đi qua A( -1; 0; -1), cắt , sao cho cosin góc giữa d và là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải

    Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ 1 là M( 1+ 2t; 2+ t; -2- t)

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

    Đường thẳng Δ 2 có vectơ chỉ phương

    Khi đó; M( 1; 2; – 2) và

    Vậy phương trình đường thẳng d là:

    Chọn B.

    C. Bài tập vận dụng

    Câu 1:

    Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng và (P):x+y-z+2=0?

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:

    Chọn C.

    Câu 2:

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz; gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)?

    A. ( -3; 0; 4)

    B. ( 3; 0; 2)

    C. ( -1; -2; -1)

    D. ( 1;2;1)

    Câu 3:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng này?

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    + Đường thẳng d 1 có vecto chỉ phương .

    Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương

    Chọn B.

    Câu 4:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(-1; 2; 0); B( 2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x- y+ z- 2= 0. Sin góc của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là . Tính a?

    A . 5

    B.10

    C. 8

    D. 7

    + Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:

    + Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:

    Chọn B

    Câu 5:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 5= 0 và M( 1; -1; 0). Đường thẳng Δ đi qua điểm M, cắt d và tạo với mặt phẳng (P) một góc thỏa mãn sin (Δ; (P))= 0,5

    A.

    B.

    C.

    D.

    Câu 6:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua A( 3; -1; 1) nằm trong mặt phẳng (P): x- y+ z- 5= 0 đồng thời tạo với một góc 45 o. Phương trình đường thẳng d là

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Câu 7:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua điểm A( 1; -1; 2) , song song với (P): 2x- y- z+ 3= 0 , đồng thời tạo với đường thẳng một góc α sao cho cosα đạt giá trị nhỏ nhât. Phương trình đường thẳng d là.

    A.

    B.

    C.

    D.

    Câu 8:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A( -2; 0; 0), đường thẳng d qua điểm A cắt và tạo với trục Oy góc 45 o. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

    A. ( 2;2; 1) hoặc ( 2;- 2; 1)

    B . ( 2; -1;0) hoặc ( 2; 1;0)

    C. ( 1;2; 0) hoặc ( – 2; 1;0)

    D. ( 2; 2; 0) hoặc ( 2; -2; 0)

    Trục Oy có vectơ chỉ phương là

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương .

    + Với m= 2 đường thẳng d có vecto chỉ phương

    +Với m = -2 đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Chọn D.

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Xác Định Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian
  • Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Cực Hay
  • Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng, Bài Tập Vận Dụng
  • 15 Ý Tưởng Trang Trí Góc Học Tập Tuyệt Đẹp Nhìn Thích Mê
  • 40+ Mẫu Trang Trí Góc Học Tập
  • Chuyên Đề: Phương Trình Đường Thẳng Trong Mặt Phẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
  • Giới Thiệu Lí Thuyết Galois
  • Phương Trình Tiếp Tuyến Song Song Với Một Đường Thẳng
  • Phương Trình Tiếp Tuyến Đi Qua Một Điểm
  • Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn
  • PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

    A- Những kiến thức cơ bản

    PHẦN I: ễN TẬP KIẾN THỨC TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

    I- ễN TẬP:

    Các công thức toạ độ:

    + Cho :

    *

    *

    + là trung điểm của AB, là trọng tõm :

    Gọi M Trung điểm AB; G, I, H trọng tâm,tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm tam

    giác ABC. Nêu các cách tìm toạ độ của chúng.

    Chú ý Biểu thức véctơ: .

    + Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Cho thì:

    Hệ quả:

    II-LUYỆN TẬP:

    Bài 1: Cho tam giác ABC; Biết A(1;2), B(-2;-1), C(3;-2) .

    a) Tìm toạ độ trọng tâm , trực tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

    b) Tính diện tích tam giác, độ dài đường cao AH.

    c) Tìm toạ độ điểm M thoả mãn hệ thức: .

    d) Tìm toạ độ điểm P thuộc đường thẳng: x+ y +2 = 0sao cho min

    Bài 2: Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc (Oxy) cho hình vuông ABCD có A(0;2),

    C(4;0). Tìm toạ độ các điểm B,D.

    Bài 3: Trong hệ trục toạ độ Đêcác vuông góc (Oxy) cho điểm A(1;1). Tìm toạ độ các điểm B thuộc trục hoành, điểm C thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

    PHẦN II: ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

    I- Lí THUYẾT:

    1- Phương trình đường thẳng:

    + Véc tơ pháp tuyến: = (A;B); véc tơ chỉ phương = (B;A)

    Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) có véc tơ pháp tuyến = (A;B) là

    b) Phương trình tham số:

    Phương trình tham số của đường thẳng (d) di qua điểm M0(x0;y0), có véc tơ chỉ phương =(a;b) là: (t là tham số) (2)

    Chỳ ý: Mối quan hệ giữa vectơ phỏp và vectơ chỉ phương:

    c) Phương trình chính tắc:

    Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) di qua điểm M0(x0;y0), có véc tơ chỉ phương =(a;b) là: (3)

    Chú ý: Trong (3): Nếu a = 0 thì pt (d) là x = x0.

    Nếu b = 0 thì pt (d) là y = y0. (Xem là quy ước)

    * Thêm một số cách viết khác của pt đường thẳng:

    + Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(x1;y1), B(x2;y2) là:

    (4)

    Trong (4) nếu x2 = x1 thì pt đường thẳng là x = x1

    nếu y2 = y1 thì pt đường thẳng là y = y1

    + Phương trình đường thẳng cho theo đoạn chắn:

    Đường thẳng (d) căt Ox, Oy lần lượt tại các điểm

    A(a;0), B(0;b) có pt là: (5)

    + Họ pt đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) là:

    (6)

    (Trong đú : là hệ số gúc của đường thẳng)

    Chú ý: Cách chuyển phương trình đường thẳng từ dạng này qua dạng khác.

    2) Một số vấn đề xung quanh phương trình đường thẳng.

    a) Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

    Cho hai đường thẳng: (d) có pt Ax + By + C = 0 và

    (d’) có pt A’x + B’y+ C’ = 0.

    Một số phương phỏp để xỏc định (d), (d’) cắt nhau, song song, trùng nhau:

    Phương phỏp 1: (Giải tớch)

    Toạ độ giao điểm của (d) và (d’) là nghiệm của phương trỡnh:

    Kết luận: + Hệ (*) vụ nghiệm

    + Hệ (*) vụ số nghiệm

    + Hệ (*) cú nghiệm

    Phương phỏp 2: (Nhận xột về mối quan hệ giữa cỏc vectơ đặc trưng)

    Cho 2 đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và (d’): A’x + B’y+ C’ = 0 cú vectơ phỏp tương ứng là .

    Đặc biệt:

    Thí dụ:

    1) Tìm đ/k của m để hai đường thẳng sau cắt nhau:

    (d): (m+1) x – my + m2- m = 0 và (d’): 3mx – (2+m)y- 4 = 0.

    2) Tìm đ/k của m, n để hai đường thẳng sau song song:

    (d): mx + (m – 1)y – 3 = 0 và (d’): x – 2y – n = 0.

    KỶ NĂNG:

    Cho đường thẳng d : . Lỳc đú :

    * cú dạng

    * cú dạng

    b) Khoảng cách:

    + Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

    Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0) đến đt (d): Ax + By + C = 0 là:

    + Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

    Cho (d): Ax + By + C = 0 và (d’): Ax + By + C’ = 0.

    Khoảng cách giữa (d) và (d’) là:

    Thí dụ:

    a) Viết pt đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’)

    có pt: x -y + 1 = 0 và cách (d’) một khoảng h =

    b)Viết pt đường thẳng song song và cách đều hai đường

    thẳng sau: x – 2y + 1 = 0 và x – 2y – 5 = 0.

    c) Góc giữa hai đường thẳng:

    + Cho (d): Ax + By + C = 0 và (d’): A’x + B’y + C’ = 0. Gọi là góc của (d) và (d’) thì:

    Mở rộng thờm:

    Cho (d) và (d’) là hai đường thẳng có hệ số góc lần lượt là: k1, k2 góc giữa (d) và (d’) là thì:

    d) Phương trình chùm đường thẳng

    Cho hai đt (d): Ax + By + C = 0 và (d’): A’x + B’y + C’ = 0

    cắt nhau thì phương trình chùm đt tạo bởi chúng là:

    ( Hay mọi đường thẳng đi qua gđiểm I của (d) và (d’) đều cú pt dạng (*), (**) )

    Thí dụ: Viết PT đường thẳng (l) đi qua giao điểm 2 đường thẳng (d): 2x – y + 1 = 0

    và (d’) x + y -3 = 0 vuông góc với đường thẳng: (d1): x – 2y -1 = 0.

    e) Phương trình đường phân giác:

    pt đường phân giác của (d) và (d’):

    Kết luận:

    Tồn tại 2 đường phõn giỏc vuụng gúc với nhau của gúc tạo

    bởi (d) và (d’):

    Chú ý: Cách phân biệt đường phân giác góc nhọn, góc tù; đường phân giác góc trong, ngoài của góc tam giác.

    Thí dụ1: Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng:

    (d) 2x – y + 1= 0 và (d’): x – 2y – 1 = 0 .

    KỶ NĂNG: Vị trớ tương đối của 2 điểm đối với đường thẳng

    Cho đường thẳng và 2 điểm

    Cựng phớa

    Ký hiệu:

    Lỳc đú:

    TH 1:

    thỡ A, B cựng phớa đối với đường thẳng .

    Khỏc phớa

    TH 2:

    thỡ A, B khỏc phớa đối với đường thẳng .

    B- MỘT SỐ NHẬN XẫT VÀ KỶ NĂNG QUAN TRỌNG:

    Thụng thường để giải tốt một bài toỏn hỡnh giải tớch, ta theo cỏc bước sau:

    + Vẽ hỡnh ở nhỏp, phõn tớch kỹ cỏc giả thiết trỏnh khai thỏc sai, thừa.

    + Lựa chọn thuật toỏn và trỡnh bày bài.

    I-KỸ NĂNG SỬ DỤNG KHÁI NIỆM “THUỘC”

    Phương phỏp:

    1)

    VD: vỡ

    vỡ

    2) Cho đt và . Lỳc đú, ta gọi

    (nghĩa là tọa độ của M chỉ phụ thuộc một ẩn)

    VD: . Gọi

    . Gọi

    . Gọi

    . Gọi.

    Bài tập minh họa: Cho đường thẳng cú ptts: .

    Tỡm điểm sao cho khoảng cỏch từ M đến điểm một khoảng bằng 5.

    Giải: Nhận xột: Điểm nờn tọa độ của M phải thỏa món phương trỡnh của d.

    Gọi.

    Ta cú:.

    Theo giả thiết:

    . Vậy cú 2 điểm M thỏa ycbt và .

    Nhận xột:

    Dựa vào hỡnh vẽ ở nhỏp, ta cú thể thấy luụn tồn tại 2 điểm M thỏa ycbt.

    Bài tập tương tự:

    Cho đtvà. Xỏc định hỡnh chiếu của lờn đường thẳng.

    II-KỸ NĂNG VIẾT PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG:

    Cho đt .

    * PT đt cú dạng:

    * PT đt cú dạng: . (trong đú m là tham số).

    Yờu cầu: Viết phương trỡnh đường thẳng d qua và vuụng gúc (hay song song) với .

    Phương phỏp:

    Cỏch 1: Xỏc định Vtcp hoặc Vtp.

    Đường thẳng d qua và nhận …, pt d:

    Cỏch 2: Do nờn pt d cú dạng: (m là tham số)

    Mặt khỏc nờn: . Kết luận…

    *Nhận xột:

    Ta dễ nhận xột cỏch giải quyết bài toỏn của cỏch 2 là khoa học và tốt hơn cỏch 1.

    Bài tập minh họa:

    Viết ptđt qua và song song với .

    Giải:

    Do nờn pt cú dạng: (m là tham số).

    Mặt khỏc nờn: .

    Lỳc đú, pt d: (ycbt).

    Bài tập tương tự:

    1) Viết ptđt qua và vuụng gúc với .

    2) Cho với và . Lập phương trỡnh cỏc đường cao của .

    ————————————————

    II-LUYỆN TẬP:

    I. Phương trình đường thẳng

    Bài 1: Lập phương trình TQ và TS của đường thẳng đi qua điểm M và có vtpt biết:

    a, b,

    Bài 2: Lập PTTS và PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M và có vtcp biết:

    a, b,

    Bài 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B trong các trường hợp sau:

    a, b,

    Bài 4: Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB biết:

    a, b,

    Bài 5: Lập phương trình đường thẳng (d) biết:

    a, đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2

    b, đi qua điểm M(0;4) và có hệ số góc

    c, đi qua điểm M(-3;-1) và tạo với hướng dương trục Ox góc 450.

    d, đi qua điểm M(3;4) và tạo với hướng dương trục Ox góc 600.

    Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có phương trình tổng quát:

    a, 2x 3y = 0; b, x + 2y 1 = 0 c, 5x 2y + 3 = 0

    Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có phương trình tham số:

    a, b, c,

    Bài 8: Tìm hệ số góc của các đường thẳng sau:

    a, 2x 3y + 4 = 0 b, x + 3 = 0 c, 2y 4 = 0

    d, 4x + 3y 1 = 0 e, f,

    Bài 9: Lập PTTQ và PTTS của đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B biết:

    a, b,

    Bài 10: Trong các điểm A1(2;1), , , , , , , điểm nào nằm trên đường thẳng

    Bài 11: Cho 3 điểm A(2;1), B(3;5) và C(-1;2)

    a, Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác

    b, Lập phương trình các đường cao của tam giác ABC

    c, Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

    d, Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC

    e, Lập phương trình các đường trung bình của tam giác ABC

    Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3)

    a, Lập phương trình đường trung trực cạnh AB

    b, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC

    Bài 13 (ĐHQG 1995): Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam giác ABC biết trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5)

    II. Đường thẳng song song, vuông góc với một đường thẳng cho trước

    Bài 1: Lập PTTQ đường thẳng đi qua A và song song đường thẳng (d) biết

    a, b, A(-1;0), (d): 2x + y – 1 = 0c, A(3;2), (d): Trục Ox

    d, e,

    Bài 2: Lập PTTQ và PTTS của đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) biết:

    a, b, c,

    d, e,

    Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và 2 đường cao (d1) và (d2) có phương trình là

    Bài 4: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;1) và 2 đường cao (d1) và (d2) có phương trình là

    Bài 5: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là x + y – 9 = 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là (d1): x + 2y – 13 = 0 và (d2): 7x + 5y – 49 = 0. Lập phương trình cạnh AC, BC và đường cao thứ 3

    Bài 6: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AC là x + 4y – 5 = 0, các đường cao qua đỉnh A và C lần lượt lá (d1): 5x + y – 6 = 0 và (d2): x + 2y – 1 = 0. Lập phương trình cạnh AB, BC và đường cao thứ 3

    Bài 7: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;5) , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình lần lượt là:

    Bài 8: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(0;3) , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình lần lượt là:

    Bài 9: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;1) và 2 đường trung tuyến (d1) và (d2) có phương trình là:

    Bài 10: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 đường trung tuyến (d1) và (d2) có phương trình là:

    Bài 11: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là: và trực tâm H(2;3). Lập phương trình cạnh thứ 3

    Bài 12: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là: và trực tâm . Lập phương trình cạnh thứ 3

    Bài 13: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-3), phương trình đường cao hạ từ A và trung tuyến từ C lần lượt là:

    Bài 14: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là M(2;3), phương trình (AB): x – y – 1 = 0; phương trình (AC): 2x + y = 0

    Bài 15: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm và phương trình (AB): x – 3y + 13 = 0; phương trình (AC): 12x + y – 29 = 0

    Bài 16: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của AB là M(-3;4), hai đường cao kẻ từ A và B lần lượt là:

    III, Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

    Bài 1: Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng (d) và xác định toạ độ điểm M1 đối xứng với M qua (d)

    a, b, c,

    Bài 2: Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và xác đ … ểm hai đường thẳng (d1): x+ y -2 =0 và

    (d2) : 3x -4y +1 =0 đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn thẳng bằng nhau.

    Bài 57: Viết PT đường thẳng (d) đi qua giao điểm hai đường thẳng (d1): x- y -2 =0 và

    (d2) : 2x +y +8 =0 đồng thời cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A ,B sao cho tam giác OAB là

    tam giác vuông cân

    Bài 58: Viết PT đường thẳng d) đi qua giao điểm hai đường thẳng (d1): 2x- y +5 =0 và

    (d2) : x +y -2 =0 đồng thời tạo với hai trục Ox, Oy một tam giác co diện tích bằng 8

    Bài 59: Cho tam giác ABC biết PT các cạnh : (AB) : x-y-2=0 , (AC) : 3x -y -5 =0 ,

    (BC) : x-4y -1 =0 . Viết PT các đường cao của tam giác

    Bài 60: Cho tam giác ABC biết PT cạnh AB là 5x -3y +2 =0, đường cao AD: 4x-3y +1 =0.

    đường cao BE : 7x +2y – 22=0

    a, Viết PT đường cao CF b, Viết PT các cạnh AC, BC

    c, Tìm toạ độ đỉnh C

    Bài 61:Tính góc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) biết :

    a, (d1): 4x+3y+1=0 và (d2): 3x+4y+3=0

    b, (d1): và (d2): x+2y-7=0 c, (d1): và (d2):

    Bài 62: Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:

    a, Qua điểm M(2;3) và tạo một góc 450 với đường thẳng (d): x-y=0

    b, Qua điểm M(2;-1) và tạo một góc 450 với đường thẳng (d):

    c, Qua điểm M(-1;2) và tạo một góc 450 với đường thẳng (d):

    Bài 63: Cho tam giác ABC biết: (AB): x+y+1=0 (BC): 2x-3y-5=0

    a, Viết phương trình các cạnh sao cho tam giác ABC cân tại A và AC đi qua điểm M(1;1)

    b, Tính các góc của tam giác

    Bài 64: Cho hai đường thẳng: (d1): 2x- y – 2 = 0 , (d2) : 2x + 4y – 7 = 0

    a. Viết phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2) .

    b. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua P(3; 1) cùng với (d1), (d2) tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2).

    Bài 65: Cho hai đường thẳng: (d1): 2x- y – 2 = 0 , (d2) : 2x + 4y – 7 = 0

    a. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua góc toạ độ sao cho đường thẳng (d) tạo với (d1), (d2) một tam giác cân có đỉnh giao điểm của (d1), (d2).

    b. Tính diện tích tam giác

    Bài 66: Cho hai đường thẳng: (d1): x + 2y – 3 = 0 (d2) : 3x – y + 2 = 0

    Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm P(3; 1) và cắt (d1), (d2) lần lượt tại A, B sao cho (d) tạo với (d1), (d2) một tam giác cân có cạnh đáy AB.

    Bài 67: Cạnh bên và cạnh đáy của một tam giác cân có phương trình theo thứ tự là:

    (d): x + 2y – 1 = 0 , (d’) : 3x – y + 5 = 0

    Tìm phương trình cạnh còn lại biết nó đi qua điểm M(1; 3)

    Bài 68: Cho hai đường thẳng có phương trình: (d1): x + 2y – 4 = 0, (d2) : 4x- 2y + 1 = 0

    Cắt nhau tại I. Lập phương trình đường thẳng () đi qua A(2; 3) và () cùng với (d1), (d2) tạo thành tam giác cân đỉnh I.

    Bài 69: Cho tam giác ABC, biết B(-3; 1), đường cao qua đỉnh A và đường phân giác trong qua đỉnh C lần lượt là: (dA): x + 3y + 12 = 0 , (dC) : x + 7y + 32 = 0

    Viết phương trình các cạnh của tam giác.

    Bài 70: Viết phương trình các cạnh của hình vuông, biết hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)

    và một đường chéo có phương trình là (d): 7x – y + 8 = 0.

    Bài 71: Một tam giác vuông cân có đỉnh góc vuông là A(4; -1), cạnh huyền có phương

    trình là (BC): 3x – y + 5 = 0. Viết phương trình hai cạnh còn lại.

    Bài 72: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), B(3; 4), CosA = , CosB = .

    Viết phương trình các cạnh của tam giác.

    Bài 73: Cho tam giác ABC có C(-3; 2), CosA = , CosB = và phương trình cạnh

    (AB): 2x – y – 2 = 0. Viết phương trình hai cạnh còn lại

    Bài 74: Cho tam giác ABC cân tại A có B(-3; -1), C(2; 1) và CosA = . Viết phương trình các cạnh của tam giác

    Bài 75: Cho hai điểm A(-1; 2), B(3; 5). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cách B một đoạn bằng 2.

    Bài 76: Cho hai điểm A(1; 1), B(3; 6). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cách B một đoạn bằng 3.

    Bài 77: CMR: Qua điểm A(4; -5) không có đường thẳng nào mà khoảng cách từ B(-2; -3) tới đường thẳng đó bằng 12.

    Bài 78: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; 5) và cách đều hai điểm A(-1; 2), B(5; 4).

    Bài 79: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(-2; 3) và cách đều hai điểm A(5; -1), B(3; 7).

    Bài 80: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1; 2) và cách đều hai điểm A(2; 3), B(4; -5).

    Bài 81: Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 0), C(3; 4). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A

    và cách đều hai điểm B, C.

    Bài 82: Viết phương trình đường thẳng (d) cách điểm A(3; 1) một đoạn bằng 2 và cách

    điểm B(-2; -4) một đoạn bằng 3.

    Bài 83: Cho hai điểm B (1; 1), C(2; 3) và đường thẳng (d): 4x + 3y + 3 = 0.

    a. Tìm điểm A thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABC cân.

    b. Tìm điểm A thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABC vuông.

    c. Viết phương trình đường thẳng () cách điểm B một khoảng bằng 2 và cách điểm C một khoảng bằng 4.

    Bài 84: Tìm trong mặt phẳng Oxy những điểm cách đường thẳng (d): 4x + 3y + 5 = 0 một

    đoạn bằng 6 và cách đều hai điểm A(-2; -5), B(12; -3).

    Bài 85: Cho hai đường thẳng: (d1): x – 3y + 3 = 0 , (d2) : 3x – y – 1 = 0

    Tìm tất cả những điểm cách đều (d1) và (d2):

    a. Nằm trên trục hoành b. Nằm trên trục tung

    Bài 86: Cho ba đường thẳng: (d1): x + y + 3 = 0 , (d2) : x – y – 4 = 0 , (d3) : x – 2y = 0 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d3) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d1) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng (d2).

    Bài 87: Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) và đường thẳng (d): x – 2y + 8 = 0

    a. Xác định điểm C thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABC cân.

    b. Xác định điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho diện tích tam giác ABM bằng 17.

    Bài 88: Diện tích tam giác ABC bằng , hai đỉnh A(2; -3), B(3; -2) và trọng tâm G của

    tâm thuộc đường thẳng: (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm toạ độ đỉnh C.

    Bài 89: Cho hai điểm A(1; 1), B(-1; 3) và đường thẳng (d): x + y + 4 = 0

    a. Tìm trên (d) điểm C cách đều hai điểm A, B.

    b. Với C tìm được, tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tính diện tích hình bình hành.

    Bài 90: Viết phương trình đường thẳng () song song với (d): 3x – 4y + 1 = 0 và có

    khoảng cách đến đường thẳng (d) bằng 1.

    Bài 91: Cho hình vuông ABCD có hai cạnh là(d1): 4x – 3y + 3 = 0 , (d2) : 4x – 3y – 17 = 0

    Và đỉnh A(2; -3). Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình vuông.

    Bài 92: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(5; -1) và một trong các cạnh nằm trên đường thẳng (d): 4x – 3y – 7 = 0. Viết phương trình các cạnh còn lại.

    Bài 93: Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết AB, CD, BC, AD lần lượt

    đi qua các điểm M(2; 1), N(3; 5), P(0; 1), Q(-3; -1).

    Bài 94: Tìm M thuộc d): 2x + y – 1 = 0 và cách đường thẳng () : 4x + 3y – 10 = 0 một khoảng bằng 2.

    Bài 95: Cho hai điểm A(-1; 3), B(1; 1) và đường thẳng (d): y = 2x.

    a. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC đều

    b. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC cân.

    c. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC vuông.

    Bài 96: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 với A(3; 1), B(1; -3)

    a. Tìm toạ độ điểm C biết C trên Oy.

    b. Tìm toạ độ điểm C biết trọng tâm G của tam giác trên Oy.

    Bài 97: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-2; -4) và trọng tâm G(0; 4).

    a. Giả sử M(2; 0) là trung điểm cạnh BC. Xác định toạ độ các đỉnh A, B.

    b. Giả sử M di động trên đường thẳng (d): x + y – 2 = 0. Tìm quỹ tích điểm B. Xác định M để cạnh AB ngắn nhất.

    Bài 98: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2; -1) và PT các cạnh.

    (AB): 4x + y + 15 = 0 (AC) : 2x + 5y + 3 = 0

    a. Tìm toạ độ đỉnh A và toạ độ trung điểm M của BC.

    b. Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC.

    Bài 99: Cho ba điểm A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8)

    a. Tìm toạ độ trọng tâm G, trục tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC.

    b. CMR: I, H, G thẳng hàng c. Tính diện tích tam giác ABC

    Bài 100: Cho tam giác ABC vuông góc tại A, biết phương trình cạnh (BC): x – y – 2 = 0,

    điểm A, B nằm trên Ox. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết rằng bán

    kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3.

    Bài 101: Cho điểm A(3; 1).

    a. Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc phần tư thứ nhất.

    b. Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông

    Bài 102: Cho tam giác ABC, biết A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5).

    a. Tính diện tích tam giác ABC

    b. Tìm điểm M trên Ox sao cho góc AMB bằng 600 .

    c. Tìm điểm C trên Ox sao cho góc APC bằng 450 .

    Bài 103: Cho điểm A(1; 1). Tìm điểm B thuộc đường thẳng (d): y = 3 và điểm C thuộc trục

    Ox sao cho tam giác ABC đều.

    Bài 104: Cho ba điểm M(1; 1), N(3; 2), P(2; -1) theo thứ tự là trung điểm cách cạnh AB,

    BC,CA. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác.

    Bài 105: Cho hai điểm A(-3; -2), B(3; 1) và đường thẳng (d): x + y – 4 = 0. Viết phương

    trình đường thẳng () song song với (d) và cắt đoạn AB tại M sao cho .

    Bài 106: Lập phương trình của tập hợp (E) gồm những điểm mà tổng khoảng cách từ điểm

    đó đến hai điểm F1(-3; 0), F2(3; 0) bằng 10.

    Bài 107: Lập phương trình của tập hợp (H) gồm những điểm mà giá tri tuyệt đói của hiệu

    số các khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm F1(-5; 0), F2(5; 0) bằng 8.

    Bài 108: Tìm trên đường thẳng (d): 3x + 2y + 1 = 0 điểm M(xM ; yM) sao cho

    P = x2M + y2M nhỏ nhất.

    Bài 109: Tìm trên trục Ox điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các điểm A, B là nhỏ nhất, biết:

    A(1; 1) và B(2; -4) b. A(1; 2) và B(3; 4)

    Bài 110: Tìm trên trục Ox điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các điểm A, B là nhỏ nhất, biết:

    a. A(1; 1) và B(-2; -4) b. A(1; 2) và B(3; -2)

    Bài 111: Tìm trên đường thẳng (d): x + 2y – 1 = 0 điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các điểm A, B là nhỏ nhất, biết:

    a. A(1; 1) và B(-2; -4) b. A(1; 1) và B(3; 1)

    Bài 112: Cho ba điểm A(2; 4), B(3; 1), C(1; 4) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0.

    a. Tìm M thuộc đường thẳng (d) sao cho AM + MB nhỏ nhất.

    b. Tìm N thuộc đường thẳng (d) sao cho AN + CN nhỏ nhất

    Bài 113: Cho hai điểm M(3; 3), N(-5; 19) và d): 2x + y – 4 = 0. Hạ MK vuông góc với đường thẳng (d), gọi P là điểm đối xứng của M qua (d).

    a. Tìm toạ độ của K và P.

    b. Tìm điểm A thuộc đường thẳng (d) sao cho AM + AN nhỏ nhất.

    Bài 114: Cho tam giác ABC, biết A(1; 1), B(3; 3), C(2; 0).

    a. Tính diện tích tam giác ABC.

    b. Tìm điểm M trên Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất.

    Bài 115: Cho điểm M(4; 1). Một đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại

    a . Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. b. OA + OB nhỏ nhất. c.

    Bài 116 : Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số : (d): . Tìm điểm M

    nằm trên (d) và cách A(0; 1) một khoảng bằng 5.

    Bài 117: Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số:(d): . Tìm điểm M nằm

    trên (d) sao cho MP ngắn nhất.

    Bài 118 : Cho điểm M(3; 1) thẳng (d) có phương trình tham số: (d):

    a, Tìm điểm A nằm trên (d) sao cho A cách M một khoảng bằng

    b, Tìm điểm B trên (d) sao cho MB ngắn nhất

    Bài 119: Cho tam giác ABC , biết cạnh BC có trung điểm M(0; 4), còn hai cạnh kia có

    phương trình là : (d1) : 2x +y -11 = 0 (d2) x +4y -2 = 0

    a, Xác định toạ độ đỉnh A

    b, Gọi C là đỉnh nằm trên đường thẳng (d) : x- 4y -2 =0, N là trung điểm của AC .

    Tìm toạ độ điểm N rồi tìm toạ độ B ,C.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm, Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian Oxyz
  • Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn Đặc Biệt Môn Toán Lớp 10
  • Chuyên Đề Số Dạng Phương Trình Nghiệm Nguyên Ở Cấp Trung Học Cơ Sở
  • Biến Đổi Phương Trình Đường Thẳng
  • Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Trong Mặt Phẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • Lý Thuyết Phương Trình Đường Thẳng Trong Mặt Phẳng Oxy
  • Giáo Án Đại Số 8 Tiết 45 Phương Trình Tích
  • Chương Iv. §7. Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Đi Qua 1 Điểm
  • Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn Tại 1 Điểm, Đi Qua 1 Điểm
  • a) Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của các đường thẳng AB

    b) Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn AB

    Bài tập PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG trong mặt phẳng Bài 1 Lập phương trình tham số phương trình tổng quát của các đường thẳng sau : a) đi qua điểm M(5;1) và có vectơ chỉ phương b) đi qua điểm N(-2;3) và có vectơ pháp tuyến c) đi qua 2 điểm A(2;-1) ; B(5;-3) d) đi qua điểm A(9;7) và có hệ số góc k = 2 Bài 2 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A (1;-3) B( -5;1) Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của các đường thẳng AB Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn AB Bài 3 Lập phương trình tham số phương trình tổng quát của các đường thẳng sau : a) Đi qua điểm M(1;-2) và có vectơ chỉ phương b) Đi qua gốc tọa độ và có vectơ pháp tuyến c) Đi qua N(6;2) và vuông góc với đường thẳng d : Bài 4 Cho điểm M(1;-7) và đường thẳng d : Lập phương trình tham số phương trình tổng quát của: Đường thẳng đi qua M và song song với d Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d Bài 5 : Cho tam giác ABC với A(2;0) ; B(4;1) ; C(1;2) Viết phương trình tham số phương trình tổng quát của các đường thẳng AB; AC Viết phương trình tham số phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm M(2;3); N(4;-1); P(-3;5) lần lượt là các cạnh của tam giác ABC. Hãy lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó Bài 7 Tính các khoảng cách từ điểm M(3;2) đến các đường thẳng : a) b) c) Bài 8 : Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(2;5) ; N(5;1) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M sao cho khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng đó bằng 3 Bài 9 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;7) và cách điểm N(1;2) một khoảng bằng 1 Bài 10 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;5) và cách đều hai điểm A(-1;2) và B(5;4) Bài 11 Cho tam giác ABC, biết tọa độ các đỉnh là A(1;4) B(3;-1) C(6;2) Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA Lập phương trình đường cao AH, đường trung tuyến AM Tính diện tích tam giác ABC Bài 12 : Cho đường thẳng d : và điểm A(4;1) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A xuống d Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua d Bài 13 Cho đường thẳng d : và điểm M(1;4) Tìm tọa độ hình chiếu H của M lên d Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua d Bài 14 Cho đường thẳng d có phương trình tham số : Tìm điểm M trên d sao cho M cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5 Tìm giao điểm của d và đường thẳng Bài 15 Tính bán kính đường tròn tâm I(3;5) biết đường tròn đó tiếp xúc với đường thẳng @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

    Tài liệu đính kèm:

      Bai tap phuong trinh duong thang co chúng tôi

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Trình Của Mặt Phẳng, Trắc Nghiệm Toán Học Lớp 12
  • Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm
  • Bài 4: Phương Trình Bậc Hai Số Phức Phuong Trinh Bac Hai Voi He So Thuc Doc
  • Một Số Bài Tập Pascal Lớp 8
  • Tổng Hợp Bài Tập Pascal Có Giải, Từ Dễ Đến Khó
  • Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Cực Hay

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Xác Định Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian
  • Góc Giữa Hai Đường Thẳng; Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
  • 3 Lệnh Vẽ Đường Thẳng Trong Cad Dân Thiết Kế Nhất Định Phải Nắm
  • Slide Bài Giảng Đầy Đủ Về Phần Mềm Geogebra
  • Bài 12. Vẽ Hình Phẳng Với Geogebra (Ga Sách Mới)
  • Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cực hay

    A. Phương pháp giải

    Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) ta thực hiện theo các bước sau:

    + Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α)

    + Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)

    + Bước 3: Góc ∠AOA’ = φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)

    Lưu ý:

    – Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (α) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (α) khi đó AA’

    – Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA’.

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

    A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB

    B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB

    C. Góc giữa AC và (ABD) là góc ACB

    D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD

    Hướng dẫn giải

    Chọn A.

    Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = (√6)a/2 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC) .

    A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

    Hướng dẫn giải

    Chọn D

    Từ giả thiết suy ra:

    SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°

    Ví dụ 3: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

    A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

    Hướng dẫn giải

    Chọn C

    Gọi H là trung điểm của BC suy ra

    AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2

    Ví dụ 4: Cho hình chóp chúng tôi , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD) . Biết SA = a(√6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD) .

    A. 30° B. 45° C. 60° D.90°

    Hướng dẫn giải

    Chọn A

    Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

    A. 60° B.90° C. 45° D. 30°

    Hướng dẫn giải

    Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)

    Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

    ⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) = ∠ SAH

    Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH

    Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH

    Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ SAH = 45°

    Chọn C

    Ví dụ 6: Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a ; BD = 2AC . Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO ⊥ (ABCD) . Biết tan(SBO) = 1/2. Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD)

    A. 30° B.45° C. 60° D. 90°

    Hướng dẫn giải

    Chọn B

    C. Bài tập vận dụng

    Câu 1: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điể BC . Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

    A. 30° B.45° C. 60° D. 75°

    AM = BM = a/2, SB = a

    ⇒ ( SA,(ABC)) = (SA, AM) = ∠SAM

    Áp dụng định lý Pytago

    Xét tam giác SAM có

    Vậy chọn C

    Câu 2: Cho hình chóp chúng tôi có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α, khi đó tanα nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

    Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:

    A. 45° B. 120° C. 90° D. 65°

    Câu 4: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Lại có: BI ⊥ SA

    ⇒ BI ⊥ (SAD)

    Câu 5: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√6. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

    ⇒ α = ∠SCA

    Chọn D

    Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi α là góc giữa AC’ và mp(A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng, Bài Tập Vận Dụng
  • 15 Ý Tưởng Trang Trí Góc Học Tập Tuyệt Đẹp Nhìn Thích Mê
  • 40+ Mẫu Trang Trí Góc Học Tập
  • Công Nghệ 6 Bài 5: Góc Học Tập Của Em
  • Chương Iii. §4. Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
  • Lý Thuyết Phương Trình Đường Thẳng Trong Mặt Phẳng Oxy

    --- Bài mới hơn ---

  • Giáo Án Đại Số 8 Tiết 45 Phương Trình Tích
  • Chương Iv. §7. Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
  • Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Đi Qua 1 Điểm
  • Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn Tại 1 Điểm, Đi Qua 1 Điểm
  • Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Cong Phuong Trinh Tiep Tuyen Cua Duong Cong Doc
  • Đường thẳng trong mặt phẳng Oxy là dạng toán gần như không thể thiếu trong mọi đề thi đại học. Đây là dạng toán khá hay và các bạn học sinh cũng rất yêu thích phần này. Tuy nhiên khi làm những bài tập cơ bản trong sách thì cũng không khó khăn nhưng đối với những bài trong đề thi đại học thì cũng hơi khó nhằn đó.

    Vectơ pháp tuyến: Vectơ $vec{n}$ khác $vec{0}$ có giá vuông góc với đường thẳng $Delta$ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $Delta$

    Phương trình tổng quát: Trong mặt phẳng tọa độ mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: $ax+by+c=0$, với $a^2+b^2neq 0$

    Ngược lại: Mọi phương trình dạng $ax+by+c=0$, với $a^2+b^2neq 0$ đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận $vec{n}=(a;b)$ làm vectơ pháp tuyến.

    Với mỗi đường thẳng d bất kì luôn có rất nhiều vectơ có giá vuông góc với đường thẳng. Vì vậy mà một đường thẳng d cho trước luôn có rất nhiều vectơ pháp tuyến.

    Ví dụ 1:

    Giả sử cho đường thẳng d có phương trình: $2x+4y-1=0$, các hệ số $a=2; b=4$. Khi đó ta có các vectơ pháp tuyến của d là: $vec{n_1}=(2;4)$ hoặc $vec{n_2}=(1;2)$ hoặc $vec{n_3}=(-2;-4)$hoặc $vec{n_4}=(frac{1}{2};1)$…

    Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng

    Như vậy để viết được phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định được vectơ pháp tuyến $vec{n}=(a;b)$ và một điểm bất kì $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng d. Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng:

    $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$ Ví dụ 2:

    Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ biết đường thẳng đi qua điểm $A(2;-3)$ và nhận vectơ $vec{n}=(-2;5)$ làm vectơ pháp tuyến.

    Theo lý thuyết ở trên thì phương trình đường thẳng $d$ sẽ có dạng như sau: $-2(x-2)+5(y+3)=0 Leftrightarrow -2x+5y+19=0$

    Ví dụ 3:

    Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ biết $d$ song song với đường thẳng $d’$ có phương trình $-x+2y-3=0$ và điểm $B(2;-3)$ thuộc $d$

    Giải:

    Vì đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $d’$ nên vectơ pháp tuyến của $d’$ cũng chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$. Vectơ pháp tuyến của $d’$ là $vec{n’}=(-1;2)$

    Ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là: $vec{n}$ = $vec{n’}=(-1;2)$

    Phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là: $-1(x-2)+2(y+3)=0 Leftrightarrow -x+2y+8=0$

    Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát:

    Cho đường thẳng d: $ax+by+c=0$. Có các trường hợp sau sảy ra, phụ thuộc vào hệ số a, b, c

    • Nếu $a=0$ thì d có dạng $by+c=0$ (khuyết ẩn x). Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox
    • Nếu $b=0$ thì d có dạng $ax+c=0$ (khuyết ẩn y). Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy
    • Nếu $c=0$ thì d có dạng $ax+by=0$. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O

    2. Phương trình tham số của đường thẳng

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ $vec{u}$ khác $vec{0}$ có giá song song với đường thẳng $Delta$ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$

    Phương trình tham số: của đường thẳng $Delta$ có dạng $left{begin{array}{ll}x=x_0+at\y=y_0+btend{array}right. (a^2+b^2neq 0)$

    Trong đó $M(x_0;y_0)$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng và $vec{u}=(a;b)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$

    Chú ý: Để xác định những điểm thuộc đường thẳng thì ta chỉ cần cho t một giá trị cụ thể. Với mỗi giá trị của t sẽ cho ta một điểm cố định thuộc đường thẳng đó.

    Cách viết phương trình tham số của đường thẳng

    Để viết được phương trình đường thẳng d dạng tham số các bạn cần xác định được vectơ chỉ phương $vec{u}=(a;b)$ và một điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng.

    Bạn có quan tâm: Giải phương trình chứa căn bằng phương trình đường thẳng

    3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

    Trong phương trình tham số $left{begin{array}{ll}x=x_0+at\y=y_0+btend{array}right.$ của đường thẳng, nếu $aneq 0; bneq 0$ thì bằng cách khử tham số t từ hai phương trình trên, ta đi đến phương trình:

    $frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}$ $(aneq 0, bneq 0)$

    Phương trình này gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng.

    Trong trường hợp $a=0$ hoặc $b=0$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

    Ví dụ 4:

    Giả sử đường thẳng d đi qua điểm $A(5;3)$ và nhận $vec{u}=(-2;4)$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó đường thẳng d sẽ có phương trình chính tắc là: $frac{x-5}{-2}=frac{y-3}{4}$

    Ví dụ 5:

    Viết phương trình đường thẳng $d$ dạng chính tắc biết $d$ đi qua điểm $A(2;0)$ và $B(2;3)$.

    Giải:

    Vì hai điểm $A, B$ đều thuộc đường thẳng $d$ nên $d$ nhận vectơ $vec{AB}(0;3)$ làm vectơ chỉ phương.

    Khi đó ta có đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(2;3)$ nhận vectơ $vec{AB}(0;3)$ làm chỉ phương sẽ có phương trình là: $frac{x-2}{0}=frac{y-3}{3}$.

    Kết luận như trên có đúng không?

    Nếu không chú ý thì các bạn sẽ kết luận phương trình trên là phương trình đường thẳng dạng chính tắc của $d$.

    Thực chất thì không tồn tại phương trình trên vì vectơ chỉ phương $vec{AB}=(0;3)=(a;b)$ có $a=0$. Do đó không thỏa mãn điều kiện để tồn tại phương trình chính tắc.

    4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

    Đường thẳng có phương trình $frac{x}{a}+frac{y}{b}=1$ $(aneq 0, bneq 0)$ đi qua hai điểm $A(a;0)$ và $B(0;b)$. Phương trình có dạng như vậy được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn luôn cắt 2 trục tọa độ tại hai điểm A và B và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông tại O.

    Bạn muốn xem: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn trong không gian

    Ví dụ 6:

    Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm $M(2;0)$ và điểm $N(0;5)$ thì đường thẳng d sẽ có phương trình là: $frac{x}{2}+frac{y}{5}=1$

    5. Bài tập áp dụng

    Bài tập 1:

    Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh là $A(1;2)$; $B(3;2)$ và $C(2;-3)$

    a. Viết phương trình đường thẳng trung trực của cạnh AB.

    b. Viết phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh C.

    c. Viết phương trình đường cao ứng với cạnh BC.

    d. Viết phương trình đường trung bình của tam giác ABC cắt hai cạnh AB và AC.

    Hướng dẫn giải:

    Trong tất cả các ý của bài toán không yêu cầu cụ thể viết phương trình đường thẳng theo dạng nào: Tổng quát, tham số hay chính tắc. Do đó thuận lợi theo cách nào thì viết theo cách đó.

    a. Viết phương trình đường thẳng trung trực của cạnh AB.

    Gọi $d$ là đường trung trực của cạnh AB. Đường trung trực của cạnh AB đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với đoạn AB. Do đó $d$ sẽ nhận $vec{AB}(2;0)$ làm vectơ pháp tuyến.

    Tọa độ trung điểm I của cạnh AB là: $I(2;2)$

    Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $2(x-2)+0(y-2)=0 Leftrightarrow x-2=0$

    b. Viết phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh C

    Gọi $d$ là đường trung tuyến đi qua C của tam giác ABC. Đường trung tuyến đi qua đỉnh C của tam giác ABC do đó nó sẽ đi qua trung điểm của cạnh AB. Như vậy $d$ sẽ đi qua hai điểm là I và C

    Đường thẳng $d$ nhận $vec{CI}=(0;5)$ làm vectơ chỉ phương và đi qua $C(2;-3)$.

    Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $left{begin{array}{ll}x=2+0.t\y=-3+5tend{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x=2\y=-3+5tend{array}right.tin Z$

    Ở ý này các bạn có thể viết ở dạng phương trình chính tắc.

    c. Viết phương trình đường cao ứng với cạnh BC.

    Gọi $d$ là đường cao ứng với cạnh BC của tam giác ABC. Ta có $d$ sẽ vuông góc với BC và đi qua $A(1;2)$ do đó $d$ sẽ nhận $vec{BC}=(-1;-5)$ làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình đường cao ứng với cạnh BC là:

    $-1(x-1)-5(y-2)=0Leftrightarrow -x-5y+11=0$

    d. Viết phương trình đường trung bình của tam giác ABC cắt hai cạnh AB và AC.

    Đường trung bình của tam giác ABC sẽ đi qua trung điểm của hai cạnh AB và AC. Trước tiên các bạn xác định tọa độ trung điểm của hai điểm này.

    Trung điểm của cạnh AB là $I(2;2)$

    Gọi P là trung điểm của cạnh AC $Rightarrow P(frac{3}{2};frac{-1}{2})$

    Ta có vectơ $vec{IP}$ là: $vec{IP}(frac{-1}{2};frac{-5}{2})$

    Đường trung bình IP của tam giác ABC có vectơ chỉ phương là: $vec{u}=-2vec{IP} =-2(frac{-1}{2};frac{-5}{2})=(1;5)$

    Đường trung bình IP đi qua điểm $I(2;2)$ nhận $vec{u}$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:

    $frac{x-2}{1}=frac{y-2}{5}$

    Ở trên thầy lấy vectơ chỉ phương của đường thẳng IP như vậy là cho dễ tính và nó cũng gọn gàng hơn. Các bạn có thể lấy những vectơ chỉ phương khác miễn sao nó vẫn tỷ lệ với $vec{IP}$ là được.

    Ngoài ra các bạn có thể viết phương trình đường trung bình trên bằng cách cho đi qua điểm I và nhận $vec{BC}$ làm vectơ chỉ phương. Như vậy sẽ nhanh hơn được một chút.

    6. Lời kết

    Đó là toàn bộ lý thuyết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và bài tập áp dụng viết phương trình đường thẳng. Vì bài viết này khá dài rồi, đọc xong chắc các bạn cũng chán luôn, nên thầy chỉ đưa ra vài ví dụ và bài tập như vậy thôi. Nhưng viết ngắn hơn thì không chịu được mà cũng chẳng muốn bỏ phần nào nên hẹn gặp lại các bạn trong phần bài tập tiếp theo. Thầy sẽ trình bày theo từng dạng cụ thể ở những bài giảng sau để các bạn tiện theo dõi.

    SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Phương Trình Đường Thẳng Trong Mặt Phẳng
  • Phương Trình Của Mặt Phẳng, Trắc Nghiệm Toán Học Lớp 12
  • Viết Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua 3 Điểm
  • Bài 4: Phương Trình Bậc Hai Số Phức Phuong Trinh Bac Hai Voi He So Thuc Doc
  • Một Số Bài Tập Pascal Lớp 8
  • Cách Xác Định Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

    --- Bài mới hơn ---

  • Góc Giữa Hai Đường Thẳng; Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
  • 3 Lệnh Vẽ Đường Thẳng Trong Cad Dân Thiết Kế Nhất Định Phải Nắm
  • Slide Bài Giảng Đầy Đủ Về Phần Mềm Geogebra
  • Bài 12. Vẽ Hình Phẳng Với Geogebra (Ga Sách Mới)
  • Ứng Dụng Phần Mềm Geogebra Trong Giảng Dạy Bộ Môn Hình Học 8
  • I. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

    Đối với chuyên đề này bạn cần nắm được lý thuyết khái niệm về góc giữa đường thằng và mặt phẳng cùng với phương pháp xác định.

    1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

    Góc giữa đường thằng và mặt phẳng là góc giữa đường thằng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.

    2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

    * Với góc vuông: Nếu đường thằng vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là 90 độ

    Cách dựng hình chiếu vuông góc của điểm M đến mặt phẳng (P)

    – Nếu có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Kẻ đường MH song song với đường thẳng d thì H là hình chiếu vuông góc của M trên H (P)

    – Nếu như không có sẵn đường thẳng vuông góc thì thực hiện như sau:

    Chọn mặt phẳng (Q) chứa điểm M sao cho mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P)

    Từ M kẻ MH vuông góc với giao tuyến a thì H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)

    Tòm tắt về cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: Điều quan trọng nhất để xác định góc tạo giữa đường và mặt phẳng đó là xác định giao điểm. Rồi từ điểm còn lại tung 1 nét vẽ vuông góc tới mặt phẳng và cắt mặt phẳng tại 1 điểm giả sử là điểm H. Đem nối H với giao điểm. Và góc cần tìm nằm ngay chính giao điểm đó.

    II. Hướng dẫn xác định góc trong hình học không gian

    Việc xử lý hình trong bài toán hình học không gian bao gồm 3 bước:

    + Dựng hình : đã được hướng dẫn tại :

    + Xác định góc:

    – Đường thẳng với mặt phẳng

    -Mặt phẳng với mặt phẳng

    + Độ dài các cạnh

    Ở note này, mình sẽ hướng dẫn các bạn việc xác định góc trong hình học không gian

    1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bất kì

    Gỉa thiết. Cho AB cắt (P) tại A, tìm gọi tạo bờiAB và (P).

    B2: Từ B hạ BH vuông góc với (P)

    B3: Nối HA

    Ví dụ 1: Cho bài toán SABC, SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông tại A. Xác định góc tạo bởi SB và SAC

    Bài giải: Bước 1: Cần xác định S là giao điểm của SB và (SAC)

    Bước 2: Từ B kẻ 1 đt vuông góc SAC đó chính là AB

    Vậy góc BSA chính là góc cần tìm.

    + Ta có: AB vuông góc SA (SA vuông góc với đáy)

    và AB vuông góc AC (giả thiết)

    Suy ra: AB vuông góc (SAC)

    Vậy: SA là hình chiếu vuông góc của SB trên (SAC)

    và góc ASB là góc tạo bởi SB và (SAC)

    2.

    II. Góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng

    Gỉa thiết: Cho (P) và (Q) giao nhau tại giao tuyến AB. Tìm góc giữa (P) và (Q)

    B2: từ P lấy 1 điểm M bất kì, kẻ MH vuông góc mặt phẳng (Q)

    B3: từ H kẻ HK vuông góc với AB

    B4: Nối MK, ta được MKH là góc tạo bởi (P) và (Q)

    Ví dụ: Góc tạo bởi mặt bên với mặt bên

    Cho chóp SABCD, SA vuông với đáy, góc tạo bởi (SAB)và (SBC) là 60 o. ABCD là hình bình hành. Xác định góc tạo bởi (SAB) và (SBC)

    Hướng dẫn:

    -Cách làm:

    B1: Xác định giao tuyến là của 2 mp là SB

    Lời khuyên: Nên hạn chế chọn chân đường cao của chóp để kẻ đường cao đến mp còn lại (kinh nghiêm bản thân)

    B2: Từ C kẻ CH vuông góc AB

    Tại sao có thể biết trước việc CH vuông góc với mặt phẳng (SAB) , mình sẽ giải thich kĩ ở 1 note sau.

    B3: Từ H kẻ HK vuông góc SB

    -Trình bày -Vẽ:

    từ C kẻ CH vuông góc AB

    từ H kẻ HK vuông góc SB

    Nối CK

    -Chứng minh

    +Ta có:

    CH vuông góc AB (1)

    CH vuông góc SA ( SA vuông góc với đáy) (2)

    +Ta có:

    HK vuông góc SB (3)

    CH vuông góc SB (4)

    +Ta có

    (SAB) giao (SBC) tại SB

    CK vuông góc SB

    HK vuông góc SB

    -Tóm tắt: Để xác định góc tạo bới mặt phẳng với mặt phẳng:B1: Xác định giao tuyến

    B2: Từ 1 trong 2 điểm còn lại trên mỗi mặt phẳng, tung 1 nét vẽ vuông góc tới mặt phẳng kia. Cắt mặt phẳng kia tại H

    B3: Từ H kẻ HK vuông góc tới giao tuyến

    B4: Nối K với điểm đã chọn. Góc cần tìm nằm tại K

    II. Bài tập cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian có lời giải

    Biết cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian bạn có thể áp dụng làm các bài tập sau:

    SB ∩ (ABCD) = B → hình chiếu vuông góc của B trên (ABCD) là B ( B – điểm chung của đường thẳng SB và mp (ABCD).

    SA ⊥ (ABCD) → Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là A

    ⇒ Hình chiếu vuông góc của SB trên (ABCD) là AB. Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBA ( điểm chung nằm giữa)

    Tam giác SAB vuông tại A. tanSBA = SA/AB = 3.

    Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

    SC ∩ (ABCD) = C → hình chiếu vuông góc của C trên (ABCD) là C ( B – điểm chung của đường thẳng SB và mp (ABCD).

    Xét hình vuông ABCD áp dụng định lí pitago cho tam giác vuông ABC ta có AC2= AB2 + BC2

    Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB)

    SC ∩ (SAB) = S → hình chiếu vuông góc của S trên (SAB) là S ( S – điểm chung của đường thẳng SC và mp (SAB).

    Cần tìm hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng (SAB)

    SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ BC, AB ⊥ BC → BC ⊥ (SAB) ⇒ B là hình chiếu vuông góc của C trên (SAB)

    ⇒ Hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB. Góc giữa SC và (SAB) là góc BSC ( điểm chung nằm giữa)

    Tam giác SBC vuông tại B. tanBSC = BC/SB.

    ⇒ Hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD) là AC. Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA ( điểm chung nằm giữa)

    Tam giác SAC vuông tại A.

    III. Bài tập cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian tự giải

    Bài tập 1: Hình chóp S.ABCD,đáy là hình thang vuông tại A và SA vuông góc với đáy, có AD=2BC=2AB=2a,SA=a. Tính góc giữa:

    a. Các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD)

    b. SB,SC với mặt bên (SAD)

    Bài tập 2: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a√2.

    a. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB . Chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (SBC) và tính AH .

    b. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) .

    c. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từO đến mặt phẳng (SBC)

    Bài tập 3: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ ,ABC là tam giác vuông cân,AB=BC=a;B/A=B/B=B/C=a.Tính góc giữa B/B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B/AC)

    Bài tập 4: Hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD

    a. Chứng minh rằng: SH vuông góc với (ABCD)

    b. Chứng minh rằng: AC vuông góc với(SHK)

    Bài tập 5: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a , SB = a√3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Tính theo a thểtích của khối chóp chúng tôi và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM , DN

    Bài tập 6: Hình chóp chúng tôi có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA = a vuông góc với đáy (ABCD) . Hãy:

    a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông .

    b. Tính cosin góc nhị diện (SBC,SDC)

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Cực Hay
  • Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng, Bài Tập Vận Dụng
  • 15 Ý Tưởng Trang Trí Góc Học Tập Tuyệt Đẹp Nhìn Thích Mê
  • 40+ Mẫu Trang Trí Góc Học Tập
  • Công Nghệ 6 Bài 5: Góc Học Tập Của Em
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100