Top 2 # Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Máy Tính Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 1/2023 # Top Trend | Maiphuongus.net

Vận Dụng Máy Tính Casio Giải Toán Phương Trình Vô Tỉ

VẬN DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Lựa chọn nội dung nghiên cứu: Xuất phát từ thực tiễn, học sinh có nhu cầu giải toán trên máy tính và các dạng toán PT vô tỷ thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi thực hành trên máy tính ở các cấp và đề tự luận cho thi HSG và thi Đại Học cho học sinh thì bài làm của các em còn nhiều lúng túng, hiệu quả thấp. Đề tài nầy áp dụng cho các dạng toán về PT vô tỷ, nhằm phục vụ cho đối tượng là các em học sinh ham thích học hỏi về lập trình trên máy tính casio. Giải tóan bằng máy tính về PT vô tỷ trên máy tính casio fx 570- MS, casio fx 570-ES...các em thấy tự tin là biết được nghiêm trước ,vấn đề đặt ra là các em biết biến hóa nghiệm đó về dạng tích các thừa số trong đó có thừa số chứa nghiệm đó , tôi nghiên cứu viết đề tài nầy nhằm cung cấp các phương pháp biến hóa để xuất hiện nhân tử chứa nghiệm của PT nhằm giúp các em tìm hiểu và vận dụng. II. BỐ CỤC ĐỀ TÀI: 1. Tên đề tài: VẬN DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 2. Đặt vấn đề: Đề tài được viết trên cơ sở tính chất của việc giải phương trình và chức năng của máy tính casio, - Thực trạng hiện nay trong chương trình chính khóa việc dạy các giải phương trình vô tỷ chưa chuyên sâu chưa nói đến phương trình vô tỷ khá nhiều dạng phức tạp - Cho nên tôi muốn giới thiệu để các thầy cô quan tâm có điều kiện tham khảo và vận dụng dạy bồi dưỡng cho HS đồng thời các em còn vận dụng lâu dài lên cấp trên. - Đề tài nầy nếu thầy cô nắm vững thì có thể dạy cấp 2,3 đều được, đều vận dụng khá linh hoạt và sáng tạo 3. Cơ sở lí luận: Ngày nay BGD đã khuyến khích các em được dùng các loại máy tính Casio vào thi cử, cũng như khuyến khích các em vận dụng các chức năng trong máy để giảm thời gian tính toán không cần thiết. Cho nên việc bồi dưỡng giải toán bằng máy tính casio làm cho các em thấy tự tin, không lúng túng nhiều dạng toán và nó trợ giúp rất nhiều như : Giải hệ phương trình, bất phương trình, giải phương trình vô tỉ.....rất cần thiết 4. Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ thực tiễn, học sinh có nhu cầu giải toán trên máy tính và các dạng toán PT vô tỷ thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi thực hành trên máy tính ở các cấp, những năm trước chưa áp dụng đề tài nầy cho học sinh thì bài làm của các em chất lượng không cao, hiệu quả thấp. Đề tài nầy áp dụng cho các dạng toán về PT vô tỷ, nhằm phục vụ cho đối tượng là các em học sinh ham thích học hỏi về lập trình trên máy tính casio. Giải tóan bằng máy tính về PT vô tỷ trên máy tính casio fx 570- MS, casio fx 570-ES...các em thấy tự tin là biết được nghiêm trước vấn đề đặt ra là các em biết biến hóa nghiệm đó về dạng tích các thừa số trong đó có thừa số chứa nghiệm đó , tôi nghiên cứu viết đề tài nầy nhằm cung cấp các phương pháp biến hóa để xuất hiện nhân tử chứa nghiệm của PT. Nội dung Khi nhân biểu thức liên hợp là hằng số hay phương trình có 1 nghiệm vd : ( đk ) Dùng máy tính casio ta được nghiệm x = 3 Ta có ( với x = 3) Như vậy ta tìm cách biến đổi nhân lượng liên hợp để phương trình đưa về dạng ( x-3). f(x) = 0 Ta viết Suy ra x - 3 = 0 là nghiệm ( vì x+ 1 mà 0 Ví dụ 2 : Dùng máy casio ta tìm được nghiệm x= 5 ( đk: ) Ta có = 4 với x = 5 = 1 Ta biến đổi : Suy ra là nghiệm vì 2/ Khi nhân biểu thức liên hợp lại cho 1 biểu thức khác ( phương trình có 2 nghiệm ) Ví dụ : ( đk : ) Dùng máy casio ta được 2 nghiệm : x= 2, x = -1 Ta tìm cách biến đổi để đưa phương trình về dạng (x-2)(x+1)f(x) = 0 Ta làm như sau : -(ax + b ) = 0 Với : Với: Ta viết như sau : suy ra : là nghiệm vì : Ví dụ 2: Dùng máy casio ta tìm được x = 2, x =1 là nghiệm . Ta viết : . suy ra : Kết luận : x = 2 , x =1 là nghiệm. Ví dụ 3:Trường hợp dùng máy tính nhẩm gặp nghiệm vô tỉ : Ví dụ : Dùng máy tính nhẩm được : Ta tính được : là nghiệm của phương trình : . Như vậy ta biến đổi phương trình về dạng : Ta viết : Dùng máy tính ta tính được : x = 2 , x =1 . Ta tìm : ax +b. Ta viết : Suy ra : Kết luận : là nghiệm 6. KẾT QUẢ: 7. KẾT LUẬN: Ngày nay, máy tính casio được ứng dụng rộng rãi trong đời sống con người, hướng dẫn học sinh giải toán bằng máy tính trong nhà trường là phù hợp với xu hướng dạy học hiện nay, nó đem lại những hiêụ quả thiết thực, giúp cho người học tìm ra đáp số nhanh chóng, chính xác của những bài toán khá phức tạp, trong đó có dạng toán về PT vô tỷ. Những ví dụ ở trên đã góp phần minh họa để các em thực hành vận dụng, từ đó học sinh làm cơ sở biết vận dụng vào các bài tập tương tự. Bài tập toán casio vô cùng phong phú và đa dạng, đề tài góp một phần nhỏ để trang bị thêm kiến thức, củng cố niềm tin cho học sinh tham gia các kỳ thi giải toán trên máy tính,cũng như giải toán tự luận. Mong góp phần nào cho các em ham giải toán bằng máy tính Casio, nên trong quá trình viết chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp góp ý thêm và cùng khơi dậy sự ham muốn các em HS đam mê giải toán bằng máy tính Casio càng nhiều và hiệu quả cao . 8. Đề nghị : Phần kỹ thuật giải toán PT vô tỷ bằng máy tính casio có nhiều dạng, Về bài tập ở cấp THCS không nhiều và ít chuyên sâu là khó khăn cho các em về thời gian luyện tập và quan tâm nhiều nên dể quên nếu HS hiểu và nắm chắc biết vận dụng thì HS từ lớp 8 đến cấp 3 đều vận dụng tốt. Người viết Nguyễn Đắc Duân

Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Cách Chuyển Về Hệ Phương Trình Hữu Tỉ

Trong quá trình phát triển , xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người . Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi mới để đáp ứng sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội . Vì vậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi , sáng tạo , đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và nhà nước đặt ra .

Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng . Đó là một trong những tiền đề để học sinh tiếp tục học lên ở THPT.

Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải năm vững các kiến thức cơ bản về căn thức , phương trình , hệ phương trình , các phép biến đổi đại số .Học sinh biết vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức , kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp.

Đặc biệt ,những năm gần đây trong các kỳ thi học sinh giỏi huyện , tỉnh hay trong các kỳ thi tuyển sinh vào THPT các em thường gặp các bài toán về giải phương trình vô tỉ. Song vì các em ít được tiếp xúc , số lượng bài tập trong sách giáo khoa rất ít nên việc định hướng cho các em về phương pháp giải còn rất khó khăn.

Phần I : Lý do nghiên cứu Cơ sở lý luận: Trong quá trình phát triển , xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người . Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi mới để đáp ứng sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội . Vì vậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi , sáng tạo , đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và nhà nước đặt ra . Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng . Đó là một trong những tiền đề để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải năm vững các kiến thức cơ bản về căn thức , phương trình , hệ phương trình , các phép biến đổi đại số .Học sinh biết vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức , kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. Đặc biệt ,những năm gần đây trong các kỳ thi học sinh giỏi huyện , tỉnh hay trong các kỳ thi tuyển sinh vào THPT các em thường gặp các bài toán về giải phương trình vô tỉ. Song vì các em ít được tiếp xúc , số lượng bài tập trong sách giáo khoa rất ít nên việc định hướng cho các em về phương pháp giải còn rất khó khăn. 2. Cơ sở thực tiễn: Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh trung học cơ sở coi là loại toán khó . Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó . Tuy nhiên , các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế . Trong một số tài liệu , một số phương pháp được các tác giả đưa ra như phương pháp nâng lê luỹ thừa , phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối , phương pháp đặt ẩn phụ , phương pháp bất đẳng thức hay phương pháp đưa về phương trình tích,Song trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , học sinh thi vào trường THPT và thực tế một số dạng bài toán về phương trình vô tỉ, tôi nhận thấy việc chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình hữu tỉ có nhiều thuịân lợi hơn cho các em . Xuất phát từ những lý do trên , tôi đã suy nghĩ và qua thực tiễn quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đưa ra phương pháp " giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình hữu tỉ". Mặc dù đã có một số tác giả viết về vấn đề này song còn rất chung chung , học sinh khó vận dụng. Do đó tôi chọn sáng kiến này nhằm đưa ra một phương pháp giải cụ thể giúp các em trong quá trình học toán . II. Mục đích nghiên cứu : + Nghiên cứu về "giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình hữu tỉ" . Giúp giáo viên nâng cáo năng lực tự ngiên cứu , đồng thời vận dụng tỏng hợp các tri thức đã học , mở rộng đào sâu . Từ đó có phương phương pháp dạy có phần nào hiệu quả hơn. +Nghiên cứu về vấn đề này để nắm được những thuận lợi , khó khăn khi dạy phần phương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi , từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán. +Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về phương trình vô tỉ. Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường. Khái quát hoá một phương pháp giải phương trình vô tỉ. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai sáng kiến. Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 1. Đối tượng nghiên cứu: Các tài liệu. Giáo viên và học sinh giỏi ở đơn vị đã và đang công tác. 2. Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp giải phương trình vô tỉ thường gặp ở trường THCS. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu tài liệu. Phương pháp điều tra , khoả sát . Phương pháp thử nghiệm. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. Giả thuyết khoa học : Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm , giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả hơn, học sinh ham thích học dạng toán này hơn. Phần II : Nội dung Phương pháp giải phương trình vô tỉ " chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình hữu tỉ". *. Khái niệm : Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây tôi chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn năm dưới dấu căn bậc hai và bậc ba , bậc bốn ). Bài 1: Giải phương trình : = 3 *Cách giải thông thường: "nâng lên luỹ thừa": Điều kiện bài toán : , khi đó hai vế của phương trình không âm , bình phương hai vế ta có : x = ( TM ĐK) Vậy phương trình có hai nghiệm =3 ; = -3 Cách giải : Chuyển về hệ phương trình hữu tỉ ĐKXĐ : Khi đó ta có : m - n = 3 (1) * Bình phương mọi căn thức rồi lấy hiệu để khử ẩn ta được : = 15 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ : (3) Từ (3) ta có : +, * ( không thoả mãn ĐKXĐ) * (không thoả mãn ĐKXĐ) +, *, (thoả mãn điều kiện ) *, (loại ) Vậy phương trình có hai nghiệm =3 ; = -3 Bài tập 2: Giải phương trình sau : Lưu ý: Nếu phương trình này chúng ta luỹ thừa bậc ba lên thì sẽ rất khó giải , vì sẽ dẫn đến phương trình bậc cao chưa có phương pháp giải. Bằng phương pháp mới ,ta có : ĐKXĐ : Đặt , ta có phương trình : a + b = 2 (1) Ta có phương trình mối liên hệ giữa phương trình đã cho với điều kiện mới : hay (2) . Từ (1) và (2) ta có hệ : Suy ra : (TM) Vậy phương trình có1 nghiệm : x = 0. Bài 3: Giải phương trình : (3) Giải : ĐKXĐ : Đặt : Theo (3) ta có : m + n = 5 Ta lại có phương trình mới liên hệ giữa hai ẩn phụ là : Ta có hệ phương trình : Giải (*), ta có : đặt mn=t 0 : (**) Phương trình (**) có hai nghiệm : Xét các trường hợp : +, Suy ra hệ vô nghiệm +, Giải ra ta được phương trình có hai nghiệm : 81;16 Ở bài toán trên , nếu chúng ta giải bằng phương pháp khác thì rất phức tạp. Bài 4 : Giải phương trình sau : Giải : ĐKXĐ : đặt : Ta có : a + b = 1 Ta thấy : Chuyển về giải hệ : Xét các trường hợp : +, với a = 0 , b = 1 thì x = 2 ( thoả mãn ĐKXĐ ) +, với a=1 ; b =0 thì x = 1 (thoả mãn ĐKXĐ ) +, với a = -2 ; b =3 thì x =10 (thoả mãn ĐKXĐ ) Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm : Bài 5 : Giải phương trình sau : (5) Giải : Điều kiện : Đặt Ta có hệ : (5) đặt x + y =S ; xy = P (5) + Trường hợp 1 : Ta được x = y = 1 + Trường hợp 2 : hoặc Từ đó ta được : x = 1 ; x = là nghiệm. Bài 6 : Giải phương trình sau : Từ các bài toán trên chắc hẳn chúng ta đã phần nào hình dung được những bài toán tổng quát tương ứng và cách giải chúng : Bài tập áp dụng : 1 .Giải các phương trình sau : a. b. c. d. e. f. g. h. k. 2. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất . a, b.

Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Nâng Lũy Thừa Cực Hay

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lũy thừa cực hay

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đkxđ

Bước 2: Biến đổi bằng các nâng lên lũy thừa

⇔ 4.f(x).g(x) = (h(x) – f(x) – g(x)) 2.

Bước 3: Đối chiếu điều kiện và thử lại (đối với các phương trình không tương đương) và kết luận.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x ≥ -3/2 .

⇔ 2x + 3 = 0 ⇔ x = -3/2 (t.m đkxđ).

Vậy phương trình có nghiệm x = -3/2 .

b) Đkxđ: 2x 2 + 3x + 1 ≥ 0.

⇔ (x + 1)(2x + 1) = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1 hoặc x = -1/2 .

c) Đkxđ: x ≥ -4/3 .

⇔ 3x + 4 = 25 ⇔ 3x = 21 ⇔ x = 7 (t.m đkxđ)

Vậy phương trình có nghiệm x = 7.

d)

Phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x ≥ -3 .

⇔ (x – 1)(x – 6) = 0

⇔ x = 1 hoặc x = 6.

Thử lại chỉ có x = 6 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 6.

b) Đkxđ: x ≥ -1

⇔ x = 0 hoặc x = 8.

Thử lại thấy chỉ có x = 0 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x 2 – x – 3 ≥ 0

⇔ 15x 2 – 32x – 112 = 0

⇔ (x-4)(15x+28) = 0

⇔ x = 4 hoặc x = -28/15.

Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4; -28/15} .

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Nghiệm của phương trình là:

A. x = -1/2 B. x = 1/2

C. x = 0 D. Phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Phương trình có số nghiệm là:

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4.

Bài 3: Số nghiệm của phương trình là:

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

Bài 4: Tổng các nghiệm của phương trình là:

A. 4√2 B. -4

C. 4 D. -4√2

Bài 5: Số nghiệm của phương trình là:

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x 2 – 4 ≥ 0

⇔ 4x = 8 ⇔ x = 2.

Thử lại thấy x = 2 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

b) Đkxđ: x ≥ – 3/2 .

⇔ (x + 1)(x – 3) = 0

⇔ x = -1 hoặc x = 3.

Thử lại thấy chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x ≥ 1.

⇒ 4(x-1)(2x-1) = (27-3x) 2

⇔ 8x 2 – 12x + 4 = 9x 2 – 162x + 729

⇔ x 2 – 150x + 725 = 0

⇔ (x – 5)(x – 145) = 0

⇔ x = 5 hoặc x = 145 (t.m)

Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 và x = 145.

Đặt , phương trình trở thành:

3t 2 + 3t – 60 = 0 ⇔ 3(t – 4)(t + 5) = 0 ⇔ t = 4 hoặc t = -5.

+ Với t = 4 thì = 4 ⇔ x – 16 = 64 ⇔ x = 80.

+ Với t = -5 thì = -5 ⇔ x – 16 = -125 ⇔ x = -109.

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x ≥ -1.

⇔ x(x 2 – 4x – 4) = 0

Thử lại chỉ có hai nghiệm x = 0 và x = 2 + 2√2 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2 + 2√2 .

⇔ 5√(x+7) = 15

⇔ √(x+7) = 3

⇔ x + 7 = 9

⇔ x = 2

Thử lại: x = 2 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: -4≤ x ≤ 1/2 .

⇒ (x+4)(1-x) = x 2 + 4x + 4

⇔ x(2x + 7) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -7/2

Thử lại chỉ có x = 0 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1; x = 2; x = 3/2 .

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x ≥ -1 .

⇔ 9x = -9

⇔ x = -1.

Thử lại x = -1 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

b) Đkxđ: x ≥ -1/2 .

⇔ 2x(x-25) = 0

⇔ x = 0 hoặc x – 25

Thử lại chỉ có x = 0 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Chuyên Đề: Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bình phương 2 vế của phương trình Phương pháp Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Ví dụ Giải phương trình sau : Giải: Đk Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : Bình phương 2 vế ta được: Thử lại : l nghiệm Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : thì ta biến đổi 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm Ví dụ Bài 1 . Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : v Ta có thể trục căn thức 2 vế : Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : Dễ dàng chứng minh được : Bài 3. Giải phương trình : Giải :Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : , khi đĩ ta có hệ: b) Ví dụ Bài 4. Giải phương trình sau : Giải: Ta thấy : không phải là nghiệm Xét Trục căn thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= Bài 5. Giải phương trình : Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) 3. Phương trình biến đổi về tích Sử dụng đẳng thức Bài 1. Giải phương trình : Giải: Bi 2. Giải phương trình : Giải: + , không phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Bài 3. Giải phương trình: Giải: pt Bài 4. Giải phương trình : Giải: Đk: Chia cả hai vế cho : Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phương trình về dạng : Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đk: khi đó pt đ cho tương đương : Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Đk: phương trình tương đương : Bài 3. Giải phương trình sau : Giải : pttt II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ . Bài 1. Giải phương trình: Điều kiện: Nhận xét. Đặt thì phương trình có dạng: Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm được bốn nghiệm là: Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì phương trình trở thnh: ( với Từ đó ta tìm được các giá trị của Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : Giải: đk Đặt pttt Bài 5. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện: Chia cả hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải được. Bài 6. Giải phương trình : Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: Đặt t=, Ta có : Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a) . Phương trình dạng : Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp” Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đặt phương trình trở thnh : Tìm được: Bài 2. Giải phương trình : Bài 3: giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng nhất thứ ta được Đặt , ta được: Ta được : Bài 4. Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt ta hy biến pt trn về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt có nghiệm : b).Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Bài 1. giải phương trình : Giải: Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . Bài 3. giải phương trình : Giải: Đk . Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt . Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ Xuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . Bài 1. Giải phương trình : Giải : , ta có : , giải hệ ta được: Bài 2. Giải phương trình sau : Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : Bài 3. Giải các phương trình sau 5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trình: Đặt Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là Bài 2. Giải phương trình: Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau: Vậy Bài 8. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt . Khi đó ta được hệ phương trình: 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao hơn : Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khia triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ??? Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. Giải phương trình: Điều kiện: Ta có phương trình được viết lại là: Đặt thì ta đưa về hệ sau: Trừ hai vế của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: Bài 6. Giải phương trình: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trình như sau: Đặt ta được hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: Nghiệm của phương trình là Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ? Dạng hệ gần đối xứng Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau : Bài 1 . Giải phương trình: Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước : Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được. Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng ) Ta có hệ : Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm Nên ta phải có : , ta chọn được ngay Ta có lời giải như sau : Điều kiện: , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình như sau: khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn. Một cách tổng quát . Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được. Một số phương trình được xây dựng từ hệ. Giải các phương trình sau Giải (3): Phương trình : Ta đặt : Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này ! III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình : 2. Dùng bất đẳng thức Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trình: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau 3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc Bài tập IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình : , Rút gọn ta được phương trình Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau : Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta được: = Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ? Bài 1. Giải phương trình : Giải: Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài 2. Giải phương trình Giải . Đặt , ta có hệ : Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình Bài 3. Giải phương trình : V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Với mỗi số thực x có sao cho : Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với , sao cho Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán : Nếu : thì đặt với hoặc với Nếu thì đặt , với hoặc , với Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác X là số thực bất kỳ thi đặt : Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác ) 2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: (1) Nếu thay bằng ta lại có phương trình : (2) Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: (3) Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác . 3. Một số ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Với : thì (ptvn) ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : Bài 2. Giải các phương trình sau : DH: Đs: HD: chứng minh vô nghiệm Bài 3 . Giải phương trình sau: Giải: Lập phương 2 vế ta được: Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. Bài 4. .Giải phương trình Giải: đk: , ta có thể đặt Khi đó ptt: Phương trình có nghiệm : Bài 5 .Giải phương trình : Giải: đk Ta có thể đặt : Khi đó pttt. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bài tập tổng hợp Giải các phương trình sau (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng 1 : Phương trình Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình (chuyển về dạng 2) và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Bài 1: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 3: Cho phương trình: Giải phương trình khi m=1 Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 4: Cho phương trình: Giải phương trình khi m=3 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường. Nếu bài toán có chứa và khi đó đặt (với điều kiện tối thiểu là . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ). Nếu bài toán có chứa , và (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : , khi đó Nếu bài toán có chứa và khi đó có thể đặt: suy ra Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với Nếu bài toán có chứa ta có thể đặt với Bài 1: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) Bài 3: Cho phương trình: Giải phương trình với m=3 Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất Bài 4: Cho phương trình: Giải phương trình với Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 5: Cho phương trình: Giải phương trình với m = 9 Tìm m để phương trình có nghiệm. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát. Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích. Bài tập: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) 3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ. a) Dạng thông thường: Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trình: ta có thể đặt: từ đó suy ra . Khi đó ta có hệ Bài tập: Giải các phương trình sau: a) b) c) b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai: với Cách giải: Đặt: khi đó phương trình được chuyển thành hệ: Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba. với Cách giải: Đặt khi đó phương trình được chuyển thành hệ: Bài tập: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét: Với do đó là nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình Hướng 2: thực hiện theo các bước Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi đó Ví dụ: Giải phương trình : Giải: pt Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài tập: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f)