Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn. II.NỘI DUNG A. Xét phương trình a1 x 2 + a2 xy + a3 x + a4 y + a5 y 2 + a6 = 0 .Trong đó a1 ≠ 0 hoặc a2 ≠ 0 , a5 ≠ 0 B. Các phương pháp giải. a.Phương pháp thứ nhất Viết vế trái thành tổng các bình phương A = 0 Dạng 1. A + B + C = 0 ⇔ B = 0 C = 0 2
2
2
Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên: 5 x 2 + 2 y 2 + 4 xy + 9 y − 8 x + 14 = 0(1)
Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ sổ là số chính phương, do đó 5×2 = 4 x2 + x2 2 y2 = y2 + y2
Phương trình (1) ⇔ 4x 2 + x 2 + y 2 + y 2 + 4 xy − 4 x − 4 x + 9 y + 14 = 0 Ta coi bình phương của một tam thức (a + b + c) 2 = ((a + b) + c)2 là bình phương
của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c. Vậy (1) ⇔ 4x 2 + x 2 + y 2 + y 2 + 4 xy − 4 x − 4 x + 9 y + 14 = 0
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
1
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. ⇔ ((2 x) 2 + 2.2 x( y − 1) + ( y − 1) 2 ) + ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 0
( 2 x + y − 1) + ( x − 2 ) + ( y − 3) 2
2
2
=0
Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, 2 x 2 + 5 y 2 + 14 − 4 xy − 8 y − 4 x = 0 2, 5 x 2 + 2 y 2 + 14 + 4 xy − 4 y + 8 x = 0 3, 5 x 2 + 10 y 2 + 3 − 12 xy + 8 y − 2 x = 0 4, 10 x 2 + 5 y 2 + 38 − 12 xy + 16 y − 36 x = 0 5, 10 x 2 + 4 y 2 + 34 − 12 xy + 20 y − 36 x = 0 Giải: 1, 2 x 2 + 5 y 2 + 14 − 4 xy − 8 y − 4 x = 0 ⇔ x 2 + x 2 + 4 y 2 + y 2 − 4 xy − 8 y − 4 x + 14 = 0 ⇔ ( x − 2 y + 1) + ( x − 3) + ( y − 2 ) = 0 2
2
2
2
2
3, 5 x 2 + 10 y 2 + 3 − 12 xy + 8 y − 2 x = 0 ⇔ 4 x 2 + x 2 + 9 y 2 + y 2 − 12 xy − 2 x + 8 y + 3 = 0
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
2
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. ⇔ ( 2 x − 3 y − 1) + ( x + 1) + ( y + 1) = 0 2
2
2
4, 10 x 2 + 5 y 2 + 38 − 12 xy + 16 y − 36 x = 0 ⇔ x 2 + 9 x 2 + 4 y 2 + y 2 + 38 − 12 xy + 16 y − 36 x = 0
(
) (
)
⇔ (( 3x ) − 2.3 x. ( 2 y + 5 ) + ( 2 y + 5) ) + x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 4 y + 4 = 0 2
2
⇔ ( 3 x − 2 y − 5 ) + ( x − 3) + ( y − 2 ) = 0 2
2
2
5, 9 x 2 + x 2 + 4 y 2 + 34 − 12 xy + 20 y − 36 x = 0 ⇔ ( 3 x + 2 y − 5 ) + ( x − 3) = 0 2
2
2
2
2
2
2
và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình: x2 − x − 6 + y 2 = 0 ⇔ 4 x 2 − 4 x − 24 + 4 y 2 = 0 ⇔ (2 x − 1) 2 + (2 y )2 = 25 = 32 + 42 = 02 + 52
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
3
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 2 x − 1 = 3 x = 2; −1 Do 2x-1 lẻ nên 2 y = 4 ⇔ y = ±2 x = 3; −2 2 x − 1 = 5 ⇔ y = 0 2 y = 0
Hoặc
Phương trình đã cho có nghiệm: (x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương: 1, x 2 = 100 + 6 xy − 13 y 2 2, x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 169 Giải: 1, x 2 = 100 + 6 xy − 13 y 2 ⇔ x 2 − 6 xy + 9 y 2 + 4 y 2 = 100 ⇔ x − 3 + 2 y = 100 = 62 + 82 = 02 + 102 2
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
( x, y ) = {( 9; 4 ) (11;3)( 3;5 ) }
2, x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 169 ⇔ x 2 − 4 xy + 4 y 2 + y 2 = 169 ⇔ x − 2 y 2 + y 2 = 169 = 12 2 + 52 = 0 2 + 132
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
( x, y ) = {( 22;5) (19;12 )( 26;13) }
b.Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử Dạng 1.
Dạng 2.
A.B.C… = m.n.p… (Với m, n,p là các số nguyên)
và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 3 x 2 + 10 xy + 8 y 2 = 96 ⇔ 3x 2 + 6 xy + 4 xy + 8 y 2 = 96 ⇔ ( x + 2 y )(3x + 4 y ) = 96 = 16.6 = 12.8 = 24.4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( x, y ) = ( 4;1) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, y 2 = x 2 + x + 6 Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
5
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 2, x 2 − 25 = y ( y + 6 ) 3, x 2 − 6 xy + 5 y 2 = 121 4, 5 ( x + y ) = 3xy − 2 5, x 2 − x − xy + 3 y − 6 = 0 Giải: 1, y 2 = x 2 + x + 6 ⇔ 4 y 2 = 4 x 2 + 4 x + 24 ⇔ (2 y )2 − (4 x 2 + 4 x + 1) = 23 ⇔ (2 y )2 − (2 x + 1) 2 = 23
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 5; 6 ) , ( −6; 6 ) , ( −6; −6 ) , ( 5; −6 )} 2, x 2 − 25 = y ( y + 6 )
⇔ x 2 − y 2 + 6 y + 9 = 16 ⇔ x2
2
2
⇔ ( x − y − 3)( x + y + 3) = 16
Do ( x − y − 3) ≤ ( x + y + 3) Và ( x − y − 3) ; ( x + y + 3) cùng tính chẵn lẻ nên
( x − y − 3)( x + y + 3) = 2.8 = 4.4 = ( −8 )( −2 ) = ( −4 )( −4 )
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
6
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 5; 0 ) ( −5; 0 )( 4; −3)( −4; −3)} 3, x 2 − 6 xy + 5 y 2 = 121 ⇔ x 2 − 6 xy + 9 y 2 − 4 y 2 = 121 ⇔ ( x − 3 y ) − ( 2 y ) = 121 2
2
(
Nếu y = 30 Thì x − 90 = 61 ⇒ x = 151; 29 Nếu y = −30 Thì x + 90 = 61 ⇒ x = −151; −29
Vậy phương trình đã cho cónghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 29;30 ) , (151;30 ) , ( −29; −30 ) , ( −151; −30 ) , (11;0 ) , ( −11;0 )} 4, 5 ( x + y ) = 3xy − 2
⇔ 5 ( x + y ) − 3xy = −2
⇔ 15 ( x + y ) − 9 xy = −6 ⇔ 15 x − 9 xy = −6 ⇔ 3 x ( 5 − 3 y ) − 5 ( 5 − 3 y ) + 25 = −6 ⇔ ( 3 x − 5 )( 3 y − 5 ) = 31
Không mất tính tổng quát giả sử x ≤ y ⇒ 3x − 5 ≤ 3 y − 5
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
7
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( 2;12 ) (12; 2 ) } 5, x 2 − x − xy + 3 y − 6 = 0 ⇔ x 2 − 3x − xy + 3 y + 2 x − 6 = 0 ⇔ x ( x − 3) − y ( x − 3) + 2 ( x − 3) = 0 ⇔ ( x − 3)( x − y + 2 ) = 0 x = 3; y ∈ Z ⇔ y = x + 2; x ∈ Z
c.Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia là hằng số.Chẳng hạn f ( x , y ) = 0 ta coi y hằng số. Dạng 1. nếu ∆ y = ay 2 + by + c có hệ số a < 0. hoặc ∆ y = by + c có hệ số b < 0. Để phương trình f( x , y ) = 0 có nghiệm thì ∆ y ≥ 0 từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên: (3 x 2 + xy + y 2 ) = x + 8 y ⇔ 3x 2 + (3 y − 1) x + 3 y 2 − 8 y = 0
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có Để pt đã cho có nghiệm thì
∆ y = −27 y 2 + 9 y + 1 .
∆ y = −27 y 2 + 9 y + 1 ≥ 0 ⇔ −0, 01 ≤ y ≤ 3,3; y ∈ Z
y ∈ {0,1, 2,3} Thay vào ta được
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
8
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. x = 1 ⇔ 3x 2 + 2 x − 5 = 0 ⇒ x = −5 3 2 Nếu y = 2 ⇒ 3x + 5 x − 4 = 0 ∆ = 25 + 48 = 73 (không phải là số chính phương) Nếu y = 3 ⇒ 3x 2 + 8 x + 3 = 0 ∆ / = 16 − 9 = 7 (không phải là số chính phương)
pt đã cho có 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, x 2 + xy + y 2 − 2 x − y = 0 2, x 2 − xy + y 2 = x + y Giải: 1, x 2 + xy + y 2 − 2 x − y = 0 ⇔ x 2 + x ( y − 2 ) + y 2 + y = 0 ∆ = y2 − 4 y + 4 − 4 y2 + 4 y ∆ = 4 − 3y 2
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 4 − 3 y 2 ≥ 0 ⇔ y 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 1 Nếu y = −1 ⇒ x 2 − x + 1 − 2 x + 1 = 0 x = 2 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇒ x =1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
( x, y ) = {(1; −1) , ( 2; −1) , ( 0; 0 ) , ( 2; 0 ) , (1;1) , ( 0;1)} 2, x 2 − xy + y 2 = x + y
⇔ x 2 − x ( y + 1) + y 2 − y = 0 ∆ = y 2 + 2 y + 1 − 4 y 2 + 4 y = −3 y 2 + 6 y + 1
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì ∆ ≥ 0 ⇔ −3 y 2 + 6 y + 1 ≥ 0 ⇔ −0,154 ≤ y ≤ 2,154 y ∈ {0;1; 2}
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
9
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Nếu y = 0 ⇒ x 2 − x = 0 x = 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇒ x = 0 Nếu y = 1 ⇒ x 2 − 2 x = 0 x = 2 ⇔ x2 − 2x = 0 ⇒ x = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
( x, y ) = {( 0; 0 ) , (1;0 ) , ( 0;1) , ( 2;1) , (1; 2 ) , ( 2; 2 )}
Dạng 2. Nếu ∆ y = ay 2 + by + c có hệ số a là một số chính phương Để phương trình f( x , y ) = 0 có nghiệm thì ∆ y = m 2 từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ : giải phương trình nghiệm nguyên: 1, x 2 + 2 y 2 + 3xy − 2 x − y = 6 ⇔ x 2 + (3 y − 2) x + 2 y 2 − y − 6 = 0
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. ∆ y = y 2 − 8 y + 16 + 12
Pt đ ã cho vô nghiệm 2, xy − 2 y − 3x + x 2 = 6 ⇔ x 2 − x ( y − 3) − 2 y − 6 = 0 Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. ∆ y = y 2 − 6 y + 9 + 24 Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
10
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Để pt đã cho có nghiệm thì ∆ y = m 2 ∆ y = y 2 + 2 y + 1 + 32 = m 2 ⇔ m 2 − ( y + 1)2 = 32
(
)( m − y + 1 ) = 32 Do ( m + y + 1 ) ≥ ( m − y + 1 ) Và ( m + y + 1 ) ; ( m − y + 1 ) có cùng tính chẵn lẻ, ( m + y + 1 ) ≥ 0 nên ( m − y + 1 ) ≥ 0 .Ta có ⇔ m + y +1
− y +1 = 4
Nếu y = 6 ⇒ x 2 − 3x − 12 + 6 x − 6 = 0 ⇔ x 2 + 3x − 18 = 0 −3 + 9 −3 − 9 = 3 ; x2 = = −6 2 2 Nếu y = −8 ⇒ x 2 − 3x + 16 − 8 x − 6 = 0 ⇔ x 2 − 11x + 10 = 0 phương trinh có nghiệm: x1 = 1; x2 = 10 ∆ = 9 + 4.18 = 81 ⇒ x1 =
Nếu y = 1 ⇒ x 2 − 3 x − 2 + x − 6 = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 8 = 0 ∆ / = 1 + 8 = 9 ⇒ x1 = 1 + 3 = 4 ; x2 = 1 − 3 = −2 Nếu y = −3 ⇒ x 2 − 3 x + 6 − 3x − 6 = 0 ⇔ x 2 − 6 x = 0 ⇒ x1 = 0 ; x2 = 6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
( x, y ) = {( 3;6 ) , ( −6;6 ) , (10; −8) , (1; −8 ) , ( 4;1) , ( −2;1)( 0; −3)( 6; −3)}
3, x 2 + xy + y 2 − x 2 y 2 = 0
(
)
⇔ x 2 1 − y 2 + xy + y 2 = 0
Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x.
(
)
(
∆ y = y2 − 4 y2 1 − y2 = y2 − 4 y2 + 4 y4 = 4 y4 − 3 y2 = y2 4 y2 − 3
)
Để pt đã cho có nghiệm thì ∆ y là số chính phương
(
⇒ 4 y 2 − 3 = m2 ⇔ 2 y − m = 3 ⇔ 2 y − m 2
2
)( 2y + m ) = 3
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
11
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Nếu y = 1 ⇒ x 2 + x + 1 − x 2 = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 Nếu y = -1 ⇒ x 2 − x + 1 − x 2 = 0 ⇔ − x + 1 = 0 ⇔ x = 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( x, y ) = {( −1;1) , (1; −1) } d.Phương pháp thứ tư: dùng tính chất của số chính phương: Nếu phương trình f( x , y ) = 0 có dạng A2( x , y ) = B( x ) hoặc A2( x, y ) = B( y ) Thì B( x ) = m2 B( y ) = m 2 hoặc B( x ) ≥ 0 B( y ) ≥ 0
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình; x 2 + ( x + y ) 2 = ( x + 9)2 ⇔ ( x + y − 9) 2 = 9(9 − 2 y )
Do 18-2y chẵn và18-2y<18 . để pt có nghiệm thì 18-2y là số chính phương. 18 − 2 y = 0 ⇔ y = 9; x = 0
18 − 2 y = 42 = 16 ⇒ y = 1; x = 20 18 − 2 y = 22 = 4 ⇒ y = 7; x = 8
Vậy pt đã cho có 3 nghiệm:(x,y) =(0;9);(8;7);(20:1) C. Phương trình đưa được về dạng bậc hai hai ẩn: 1. Giải phương trình nghiệm nguyên a. x4 – 2y4 – x2y2 – 4×2 – 7y2 -5 = 0 Đ ặt t=x2 ta c ó: t2 – 2y4 – ty2 – 4t – 7y2 -5 = 0 ⇔ t2 – (y2 + 4)t -(2y4 + 7y2 + 5) = 0 Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn b. Giải phương trình nghiệm nguyên x3 + 7y = y3 +7x (x≠y) ⇔ x3 – y3 = 7(x-y) ⇔x2 +xy + y2 =7 ⇔x2 +xy +y2 – 7 =0 ∆ y = y 2 − 4 y 2 + 28 = 28 − 3 y 2
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì ∆ y ≥ 0 ⇒ 28 − 3 y 2 ≥ 0 ⇔ y 2 ≤ 9 ⇔ y 2 ∈ {1; 4;9}
Nếu y = -1 ⇒ x 2 − x + 1 − 7 = 0 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 ⇔ x1 = −2; x2 = 3 Nếu y = 1 ⇒ x 2 + x + 1 − 7 = 0 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔ x1 = 2; x2 = −3 Nếu y = -2 ⇒ x 2 − 2 x + 4 − 7 = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x1 = −1; x2 = 3 Nếu y = 2 ⇒ x 2 + 2 x + 4 − 7 = 0 ⇔ x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇔ x1 = 1; x2 = −3 Nếu y = 3 ⇒ x 2 + 3x + 9 − 7 = 0 ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔ x1 = −1; x2 = −2 Nếu y = -3 ⇒ x 2 − 3x + 9 − 7 = 0 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x1 = 1; x2 = 2
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
12
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:
( x, y ) = {( −2; −1) , ( 3; −1) , ( 2;1) , ( −3;1) , ( −1; −2 ) , ( 3; −2 )(1; 2 )( −3; 2 )( −1;3)( −2;3)(1; −3)( 2; −3)}
III. KẾT LUẬN: Qua giảng dạy rút ra cho học sinh những phương pháp giải cụ thể cho từng loại toán thì học sinh có thói quen nhận dạng và sử dụng phương pháp giải thích hợp và phát huy khả năng tư duy của học sinh. Tuy nhiên bài viết có thể có nhiều sai sót mong quý bạn đọc góp ý giúp đỡ. Tôi xin chân thành cảm ơn. Ngày 30 tháng 5 năm 2008 Người viết: Phan Thị Nguyệt.
Phan Thị Nguyệt – Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
13