Top 4 # Cách Giải Phương Trình Bậc 4 Có Tham Số M Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 3/2023 # Top Trend

Vậy làm sao để giải phương trình có chứa tham số m (hay tìm m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện nào đó) một cách đầy đủ và chính xác. Chúng ta cùng ôn lại một số nội dung lý thuyết và vận dụng giải các bài toán minh họa phương trình bậc 2 có chứa tham số để rèn kỹ năng giải dạng toán này.

¤ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất

¤ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:

– Tính biệt số Δ

– Xét các trường hợp của Δ (nếu Δ có chứa tham số)

– Tìm nghiệm của phương trình theo tham số

Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 3x 2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (*)

– Bài toán có hệ số b chẵn nên thay vì tính Δ ta tính Δ’. Ta có:

Δ’= [-(m + 1)] 2 – 3.(3m – 5)

= m 2 + 2m + 1 – 9m + 15

* TH2: m ≠ 0 ta tính biệt số Δ’ như sau:

m = 0: Phương trình (*) có nghiệm đơn x = 3/4.

m = 4: Phương trình (*) có nghiệm kép x = 1/2.

* Nhận xét: Như vậy các em cần lưu ý khi tham số nằm ở phần hệ số của ẩn bậc 2 thì ta phải xét thêm trường hợp hệ số ẩn bậc 2 bằng 0 trước khi tính biệt số Δ (Δ’).

– Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

– Vô nghiệm ⇔ Δ < 0

– Nghiệm duy nhất (nghiệm kép) ⇔ Δ = 0

* Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p ∈ R). Các bước làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để pt có 2 nghiện phân biệt

Bước 4: Thay x 1, x 2 vào (2) ta tìm được giá trị tham số.

* Ví dụ (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x 2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

– Ta có : 3x 2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

⇒ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là x 1; x 2 khi đó theo định lý Vi-et ta có:

* TH1: Với m = 3, PT(1) trở thành 3x 2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x 1 = 2/3 và x 2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

* TH2: Với m = 7, PT(1) trở thành 3x 2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x 1 = 4/3 và x 2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

⇒ Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x 1 + x 2 và x 1.x 2 thay vào biểu thức trên được kết quả.

a) Tìm điều kiện m để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b) Xác định giá trị của m để hai nghiệm của pt đã cho thỏa (x 1 – x 2) 2 = x 1 – 3x 2.

– Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi:

b) Phương trình có 2 nghiệm khi chỉ khi m<5/4.

[khai triển hằng đẳng thức và thêm bớt 2x 1x 2]

– Từ pt thứ nhất trong hệ (*) với (**) ta có hệ pt:

– Đối chiếu với điều kiện m<5/4 thấy m = 1 và m = -1 đều thỏa mãn (x 1 – x 2) 2 = x 1 – 3x 2.

⇒ Kết luận: Với m = 1 hoặc m = -1 hì pt đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 3: Biến đổi kết quả để không phụ thuộc tham số (không còn tham số)

a) CMR phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt đã cho mà không phụ thuộc vào m.

– Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

⇒ Kết luận: P min = 15/4 khi m = 5/4.

Bước 1: Tìm điều kiện phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0).

Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

+) Với bài toán: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn α (x 1 < x 2 < α)

+) Với bài toán: Tìm m để phương trình có nghiệm sao cho x 1 < α < x 2

Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

a) CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn x 1 < 1 < x 2.

Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo yêu cầu bài toán thì x 1 < 1 < x 2

Thay (*) và (**) ta được: (2m – 5) – (2m – 2) + 1 < 0

⇔ 0.m – 2 < 0 (đúng với mọi m).

⇒ Kết luận: Vậy với mọi m thì pt trên có 2 nghiệm x 1, x 2 thỏa x 1 < 1 < x 2.

Chuyên đề : Phương trình bậc hai chứa tham số

Bài toán 1 : Giải phương trình bậc hai có chứa tham số .

Phương pháp : Xét các trường hợp của hệ số a : – Nếu a = 0 thì tìm nghiệm phương trình bậc nhất . – Nếu a 0 thì tiến hành các bước sau: + Tính biệt số . + Xét các trường hợp của ( Nếu chứa tham số ). + Tìm nghiệm của phương trình theo tham số.

Bài 1 : Giải phương trình bậc hai ( m là tham số ) sau : a) x2 – 2(3m – 1)x + 9m2 – 6m – 8 = 0 b) x2 – 3mx + 2m2 – m – 1 = 0 c) 3×2 – mx + m2 = 0 d) x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0

Bài 3 : Giải phương trình (m là tham số) : (m – 1)x2 + 3mx + 2m + 1 = 0 HDẫn : + m = 1 : x =-1+ m1 :x1 ; x*1*Chuyên đề PTB2 chứa tham số

Bài 4 : Giải phương trình (m là tham số) : x2 – 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0 HDẫn : m2 – 9 Nếu : -3 Nếu thì ( nghiệm kép) Nếu thì Bài 5 : Giải phương trình (m là tham số) : (4m2 + 4m + 1)x2 – 2m(2m + 1)x + m2 = 0 HDẫn : m vô nghiệm. m , 0 : x (nghiệm kép)

Bài toán 2 : Tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm kép,có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm,vô nghiệm.

Phương pháp: Điều kiện để phương trình bậc 2 có : – Nghiệm kép – Hai nghiệm phân biệt – Có nghiệm :+Xét a= 0 (Nếu a chứa tham số ) +Xét – Vô nghiệm : + Xét a= 0 + Xét Bài 6 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

a) 2×2 – 4x + m = 0(m < 2)

b) 5mx2 – 4x – 3m = 0(m

c) mx2 – 3x + m = 0, m

Bài 7 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm kép :

a) 3×2 – 2mx + 1 = 0

Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

duy sáng tạo và lôgíc của học sinh .Người thầy phải cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông mà còn phải trang bị cho các em những kỹ năng cơ bản cần thiết. Để làm tốt điều này mỗi người thầy phải tự học tập nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm, đúc kết những kinh nghiệm giảng dạy,từ đó góp phần truyền đạt kiến thức cho học sinh một cách hiệu quả nhất, để mỗi tiết học là một niềm đam mê khám phá tri thức đối với mỗi học sinh.B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ . I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Trong nhà trường THPT bộ môn toán đóng vai trò hết sức quan trọng, nếu như học sinh học tốt bộ môn toán thì có thể học tốt các bộ môn khác.Là một môn học yêu cầu học sinh phải có tư duy lôgíc sáng tạo, phát hiện và giải quyết vấn đề một cách triệt để.Học sinh phải biết vận dụng lý thuyết vào thực hành giải toán. Thành công sau mỗi tiết dạy là học sinh có thể vận dụng tốt lý thuyết để giải một bài toán một cách chính xác khoa học .Thực trạng giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT thì tất cả các khối lớp đều học bộ môn Toán, là một môn hết sức chủ đạo chiếm một thời lượng nhiều trong phân phối chương trình.Để học tốt bộ môn Toán thì học sinh phải nắm vững những kiến thức cơ bản, và có kỹ năng cần thiết. Các em học sinh không nắm vững kiến thức, kỹ năng dẫn đến mất gốc gây nên tình trạng chán học, do đó cần khơi dạy niềm đam mê học bộ môn Toán của học sinh là việc làm hết sức cần thiết.

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 1 Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Phương trình,bất phương trình có chứa tham số là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải. Nguyên nhân là vì :Thứ nhất, Phương trình,bất phương trình có chứa tham số là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song chưa định hướng mỗi cách làm của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về cách giải .Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em. II. KẾT QUẢ CỦA THỰC TRẠNG :Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi ,ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện

thi đại học – cao đẳng , tôi nhận thấy phần phương trình và bất phương trình có chứa tham số là học sinh tương đối gặp khó khăn trong cách giải, không biết phải sử lý tình huống như thế nào trên nền kiến thức cơ bản các em đã biết. Nếu trang bị cho các em những kỹ năng ,tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi có vấn đề mới thì các em sẽ giải quyết được một các nhanh chóng và cho lời giải tương đối đẹp. Từ thực trạng và kết quả trên, để việc giải phương trình và bất phương trình có chứa tham số của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài :” Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm,THPT”.

III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các giải phương trình và bất phương trình có chứa tham số thường gặp trong các kỳ thi đại học- cao đẳng và thi học sinh giỏi, tôi đã đúc kết thành những dạng toán cơ bản như sau:

1.Dạng 1 Các bài toán về phương trình .Định hướng cho học sinh đưa bài toán về dạng 🙁 ) ( )f x g m=Chúng ta thực hiện các bước sau đây :Bước 1: Xem đó là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ( )y f x= và ( )y g m=.Do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đồ thị .Bước 2:Xét hàm số ( )y f x=

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 2 Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 3 Y – 0 1 +

y – 0 +y 0 -1Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

2 2 4 2 2( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − (1) có nghiệm .

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 4 Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

(Trích đề thi Đại học -Cao đẳng khối B ,2004).Định hướngKhi nhìn vào bài toán này học sinh sẽ rất hoang mang bởi vì bài toán đã chứa căn lại còn có chứa cả tham số nên việc giải quyết là rất khó khăn song nếu giáo viên hướng dẫn cho học sinh đặt ẩn phụ t=2 21 1x x+ − − v à biết quy về một bài toán tương đương thì bài toán lại trở nên quen thuộc .Giải Điều kiện : -1≤ x≤1.Đặt t=2 21 1x x+ − −

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 5 12-1Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

2 2 2( 2 ) 4 ( 2 ) 3 1 0x x m x x m+ − + + + =. Định hướng : Khi gặp bài toán như thế này chúng ta thường đưa về một bài toán gọn hơn thông qua một bước đặt ẩn phụ và khi đã đặt ẩn phụ thì cần lưu ý tới điều kiện của ẩn phụ .Sau đó ta chuyển bài toán đã cho về một bài toán tương đương với nó .GiảiỞ ví dụ này ta có thể chuyển về bài toán tương đương bằng cách đặt :2 22 ( 1) 1 1t x x x t= + = + − ⇒ ≥ −.Bài toán đã cho trở thành : Tìm m để PT 24 3 1 0, 1t mt m t− + + = ≥ − (1) có nghiệm .

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 6 Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…⇔

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 7 Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

5

5−Bất phương trình có nghiêm khi và chỉ khi

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 8 Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 9 t 0 -1+ +f(t) + 0 –

f(t) 0Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Dạng 3 .Tìm điều kiên của tham số m để bất phương trình ( ) ( )f x g m≤ có nghiệm với x D∈

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 10 x – -3 -1 0 1 +y 0 – 1 + y 3 + 2Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

3m⇔ ≥

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 11 -2 3332Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 12 x 1 +y + y + 2Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…⇔

⇔

Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

max ( ) ( )x Df x g m∈≤.Chú ý chung :Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ ( )t h x=.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình sau

Bất phương trình nghiệmđúng với mọi x∈ [-4,6] khi và chỉ khi

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 15 –-24 6974−Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Bảng biến thiên :Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 16 x + y – 0 + 0 –y 0

– 0Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 17 Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Hậu lộc , ngày 25 tháng 5 năm 2013 Người viết sáng kiến kinh nghiệm LÊ THỊ HẠNH Tài liệu tham khảo

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 18 Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

1. Phương trình và bất phương trình (Phan Huy Khải -Nhà xuất bản GD – Năm 2009).2. Sách giáo khoa và sách bài tập toánTHPT3.Đề thi đại học, cao đẳng của Bộ giáo dục4.Đề thi học sinh giỏi môn toán Tỉnh Thanh hóa5.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.

GV: Lê Thị Hạnh -Trường THPT Hậu Lộc 3 19

Trong chương trình toán lớp 10 THPT, có một dạng toán mà học sinh thường sai lầm, hoặc không giải quyết trọn vẹn là việc giải và biện luận các phương trình và bất phương trình bậc hai chứa tham số, đặc biệt loại chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vì vậy người giáo viên phải có phương pháp giúp học sinh cách tiếp cận tốt và hiệu quả về loại toán này. Trong đề tài này, ngoài phương pháp trực tiếp, tôi dùng phương pháp đồ thị bậc nhất và bậc hai, gợi mở cho học sinh hướng giải quyết khá tốt cho các dạng mà tham số ở hệ số tự do (vì chỉ gới hạn ở đồ thị bậc nhất và bậc hai cho lớp 10, sau này đã khảo sát được các hàm khác, học sinh sẽ được ôn lại tổng thể). Chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu sót, mong thầy và các bạn bổ sung thêm đề đề tài được hoàn chỉnh và tốt hơn. II- NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC 1) Tính tích cực học tập của học sinh thể hiện ở chỗ: – Sự tự nguyện tham gia trả lời các câu hỏi và yêu cầu hoạt động của thầy. – Thích tham gia tranh luận. – Mong muốn được đóng góp với thầy, với bạn những thông tin mới. – Tập trung chú ý vào các vấn đề đang học. – Kiên trì làm xong các bài đã học, không nản chí trước các tình huống khó khăn. 2) Người chủ động không chỉ làm theo những gì đã được định sẵn, được yêu cầu mà còn làm theo kế hoạch riêng của mình. 3) Biểu hiện của sáng tạo là: – Nhìn nhận một sự vật theo một khía cạnh mới, nhìn nhận một sự kiện dưới nhiều góc độ khác nhau. – Biết đặt ra nhiều giả thiết khi phải lý giải một hiện tượng, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi phải xử lý một tình huống. – không vội vã bằng lòng với giải pháp đã có, không suy nghĩa cứng nhắc theo những quy tắc đã học trước đó, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống mới. III- NỘI DUNG – Công thức phá dấu giá trị tuyệt đối: – Đồ thị hàm số bậc nhất y=ax+b – Đồ thị hàm số bậc hai y=ax2+bx+c – Xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai. ‚ Đặt vấn đề cho học sinh: A- PHƯƠNG TRÌNH DẠNG BẬC HAI CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI * Bài toán 1: Giải biện luận các phương trình sau: Các hoạt động: HĐ 1: Cho học sinh chủ động làm bằng các kiến thức đã biết về loại này Phân thành 3 nhóm, nghiên cứu rồi đại diện báo cáo trước lớp. ( Đối với học sinh, đa số sẽ làm trực tiếp ) HĐ 1.2 : Biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 có điều kiện ẩn HĐ 2: Đại diện nhóm lên báo cáo Các nhóm khác cho ý kiến Giáo viên nhận xét, chỉnh sửa và tổng kết phương pháp chung. HĐ 2.1: Cách kết luận bài toán khi chia làm nhiều trường hợp như các bài trên Sau đây là một đáp án đúng, đã được giáo viên chỉnh sửa hoàn chỉnh : + Xét phương trình (1) : x2-2x-m=0, có =1+m – Nếu < 0 Û m <-1: (1) vô nghiệm + Xét phương trình (2): x2-2x+m=0, có =1-m – Nếu 1: (2) vô nghiệm Kiểm tra điều kiện nghiệm x < 0: Nghiệm x4 không thoả mãnNghiệm x3 =< 0 Û m < 0. + Kết luận: Dùng trục tham số m, có kết luận như sau: – Nếu m < -1: PT có nghiệm x3= – Nếu m=-1: PT có nghiệm x1=x2=1, x3=1-, x4=1+ – Nếu -1 < m < 0: PT có nghiệm x2=, x3= – Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=0, x2=x4=2 Có dạng: Û + Xét PT (1) Û x2=. – Nếu 2-m 2, PT (1) vô nghiệm Kiểm tra điều kiện -1 < x < 2: – Nghiệm x1 -1 Û 0 < m < 2 + Xét PT (2) Û x3=. Nghiệm này thoả mãn khi: -1 < < 2 Û -6 < m < 0 + Kết luận: Dùng 2 trục tham số m, có kết luận: – Nếu m 0 : PT vô nghiệm – Nếu m=-6: PT có nghiệm x2=x3=2 – Nếu -6 < m < 0: PT có nghiệm x2=, x3= – Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=-1, x2=1 – Nếu 0 < m < 2: có nghiệm x1, x2= – Nếu m=2: Có nghiệm x1=x2=0 Bài 3: + Xét (1): Có =1-3m – Nếu 1/3: (1) vô nghiệm + Xét (2): Có =1+m – Nếu < 0 Û m < -1: (2) vô nghiệm + Kết luận: Dùng 2 trục tham số, có: – Nếu m < -1: PT có 2 nghiệm x1=, x2= – Nếu m=-1: PT có nghiệm x3=x4=x1=-1, x2=3 – Nếu -1 < m < 1/3: PT có 4 nghiệm x1=, x2=, x3=-1-,, x4=-1+ – Nếu m=1/3: PT có nghiệm x3=-2, x1=x4= 0, x2=2 * Nhận xét và gợi ý hướng mới: – Qua cách làm trên ta thấy, phải rất vững kiến thức về biện luận phương trình bậc nhất và bậc hai mới có thể giải quyết trọn vẹn như trên. Mặc dù cách làm tương đối cồng kềnh, phức tạp nhưng lại có tác dụng khi không rút được tham số m, đặc biệt nếu là bất phương trình thì lại càng phức tạp vì ta còn phải so sánh sự lớn nhỏ giữa các nghiệm. – Vậy, đối với các dạng trên, cụ thể là 3 bài trên chúng ta có cách giải quyết nào tốt hơn không ? – Để học sinh suy nghĩ và đề xuất phương pháp. – Gợi ý của giáo viên: Trong 3 bài trên đều có thể rút được tham số m về 1 vế, vế còn lại là 1 hàm số bậc nhất hoặc bậc hai với điều kiện nào đó. – Sự tương giao giữa đồ thị 2 vế là số nghiệm phương trình đã cho. – Vậy ta có thể dùng phương pháp đồ thị để giải quyết loại toán này dễ dàng hơn. HĐ 3: Để học sinh làm theo 3 nhóm các bài trên bằng đồ thị. Đại diện lên trình bày HĐ 3.1: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, bậc hai với tập xác định tương ứng. HĐ 3.2: Tìm hiểu ý nghĩa hình học của nghiệm trên hệ trục toạ độ Sau đây là đáp án: Bài 1: (1) y x y x 2 -1 -6 2 (1) (2) y =m x1 y =m (2) + Xét (1) Û x2-2x-m=0, 1 nếu có nghiệm, gọi x1=1-, x2=1+ + Xét (2) Û x2-2x+m=0, 2 1 0 nếu có nghiệm, gọi x3=1-, x4 x2 x1 x4=1+ VT y=m là đường thẳng song x3 song hoặc trùng ox -1 VP là 2 (P) y=x2-2x và –x2+2x, với tập xác định tương ứng Số giao điểm đồ thị 2 vế là số nghiệm của PT đã cho Đồ thị có dạng hình vẽ + Từ đồ thị ta có kết luận: – Nếu m < -1: PT có nghiệm x3=1-, – Nếu m=-1: PT có nghiệm x1=x2=1, x3=1-, x4=1+ – Nếu -1 < m < 0: PT có nghiệm x2=,1+ x3=1-, – Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=0, x2=x4=2 Bài 2: 0 Û x2 x3 -2 Û + Xét PT (1): 2×2+m-2=0, nếu có nghiệm, gọi x1=-, x2= + Xét PT (2): 2x+m+2=0, nếu có nghiệm, gọi x3=- VT y=m là đường thẳng song song hoặc trùng ox VP là (P) y=-x2+2 và đường thẳng (D) y= –2x-2, với tập xác định : -1 < x < 2 Đồ thị có dạng hình vẽ + Từ đồ thị ta có kết luận: – Nếu m 0 : PT vô nghiệm – Nếu m=-6: PT có nghiệm x2=x3=2 – Nếu -6 < m < 0: PT có nghiệm x2=, x3=- – Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=-1, x2=1 (1) y x 2 1 1 -1 -3 y =m (2) x3 – Nếu 0 < m < 2: PT có nghiệm x1=-, x2= – Nếu m=2: PT có nghiệm x1=x2=0. Bài 3: -2 0 Û x2+m= ±(2x-2m) Û 3m= x1 x2 * Xét PT (1): x2-2x+3m=0, nếu có nghiệm, gọi x1=1-, x4 x2=1+ * Xét PT (2): x2-2x-m=0, nếu có nghiệm, gọi x3=1-, x4=1+ + VT y=3m là đường thẳng song song hoặc trùng Ox + VP là 2 (P) y=-x2+2x và y=3×2+6x , với tập xác định tương ứng Đồ thị có dạng hình vẽ + Từ đồ thị ta có kết luận: – Nếu m < -1: PT có 2 nghiệm x1=1-, x2=1+ – Nếu m=-1: PT có nghiệm x3=x4=x1=-1, x2=3 – Nếu -1 < m < 1/3: PT có 4 nghiệm x1=1-, x2=1+, x3=1-,, x4=1+ – Nếu m=-1/3: PT có nghiệm x3=-2, x1=x4=0, x2=2 * Nhận xét: Qua cách làm bằng đồ thị như trên, ta thấy: Bài toán đơn giản và gọn hơn rất nhiều, không phải kiểm tra điều kiện nghiệm, là công đoạn rất cồng kềnh. Qua đó, chúng ta có thể xử lý tất cả các bài dạng trên được theo cách này. * Tổng quát kiến thức: Trong giới hạn của chương trình lớp 10 và để sử dụng được đồ thị bậc nhất, bậc hai ta chỉ đề cập dạng như trên Để học sinh tự tổng quát lên 3 dạng toán phương trình chứa dấu tuyệt đối tương ứng ( rút được tham số m ) Ký hiệu: f(x,m) là biểu thức bậc nhất hoặc bậc hai chứa tham số m, thì ta có 3 bài toán tổng quát và cách giải bằng đồ thị tương ứng sau: HĐ 4: Nếu các phương trình trên đổi thành các bất phương trình, điều kiện bài thay đổi như thế nào ? Sử dụng các kết quả trên vào phần bất phương trình sau: B- BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG BẬC HAI CHỨA DẤU TUYỆT ĐỐI Khi học sinh làm xong dạng trên, có thể áp dụng cho bất phương trình dạng đó. Nhưng việc đọc nghiệm sẽ phức tạp hơn, đó cũng là một cách để học sinh củng cố, đào sâu hơn về đồ thị bậc nhất, bậc hai, ý nghĩa hình học của nó trên hệ toạ độ. PP: Vẫn dùng phương pháp trên, chia nhóm học sinh làm 3 bài tập sau, đại diện nhóm chữa, các hoạt động tương tự trên. * Bài toán 2: Giải biện luận các bất phương trình sau: y x y =m (2) (1) Bài 1: 1 Bất PT Û m < VT y=m là đường thẳng song song hoặc trùng ox x2 x4 x3 x1 VP là 2 (P) y=x2-2x và y=-x2+2x, với tập xác định tương ứng 0 2 1 + Xét bất PT (1): Gọi nghiệm của f(x,m)= x2-2x-m nếu có là x1=1-, x2=1+ -1 + Xét bất PT (2): Gọi nghiệm nếu có của g(x,m)=x2-2x+m nếu có là x3=1-, x4=1+ + Ta cần tìm m để đường thẳng y=m không nằm trên đồ thị VP. + Từ đồ thị, ta có kết luận sau: – Nếu m x3=1-, – Nếu 0 1+= x2 Bài 2: Bất PT Û Û y x 3 3/2 2 (1) (2) 2 y x (2) (1) + Như vậy ta cần đường thẳng y=m nằm giữa 2 (P) y=x2-x (1) và y=-x2+3x (2) 9/4 với 0 < x < 2 + Nếu f(x,m)=x2-x-m có nghiệm, x4 gọi x1=1-, x2=1+ + Nếu g(x,m)=x2-3x+m có nghiệm, y =m x2 x1 x3 gọi x3=3-, x4=3+ 1/2 + Từ đồ thị ta có kết luận sau: 1 – Nếu m 9/4: 0 Bất PT vô nghiệm – Nếu -1/4< m < 2 nghiệm là : -1/4 x3=3- < x < 1+=x2 – Nếu m=2 nghiệm là 1< x < 2 – Nếu 2 < m < 9/4 nghiệm là: x3 =3- < x < 3+= x4 Bài 3: + Dễ thấy “m thì x < 0 là nghiệm + Vậy ta tìm m sao cho đường thẳng y=m không nằm trên x2 x4 x1 x3 (P) y=x2-2x hoặc không nằm y =m + Gọi nghiệm của f(x,m)=x2-2x-m -2 -1 0 1 2 nếu có là: x1=1-, x2=1+ + Gọi nghiệm của g(x,m)=x2+2x-m nếu có là: x3=-1-, x4=-1+ -1 + Từ đồ thị ta có kết quả sau: – Với “m: BPT có nghiệm là x < 0 Ngoài ra: – Nếu m 0 – Nếu -11+= x2 Bài 4: Bất PT Û (x2-2x)2 < (x+m)2 Û (x2-3x-m)(x2-x+m) < 0 Û Û (1) y + Nếu f(x,m)=x2-3x-m (1) có nghiệm, 3 2 3/2 1/4 đặt x1=3-, x2=3+ 1 0 x 1/2 + Nếu g(x,m)=x2-x+m (2) có nghiệm, y =m đặt x3=1-, x4=1+ x3 x1 x4 x2 + Ta cần tìm m để đường thẳng y=m hoặc đồng thời không nằm dưới 2 (P) y=x2-3x, y=-x2+x -2 hoặc đồng thời không nằm trên 2 (P) đó. -9/4 (2) + Từ đồ thị ta có kết luận sau: – Nếu m 1+=x4 – Nếu -9/4<m < -2: x3=1- < x < 3-=x1 hoặc x2=3+ < x < 1+=x4 – Nếu -2< m < 0: x4=1+ < x < 3+= x2 hoặc x3=1- < x < 3-= x1 – Nếu 0<m < ¼: x1=3- < x < x3 hoặc x4=1+ < x < 3+=x2 * Giáo viên có thể tự ra các đề toán dạng trên 1 cách dẽ dàng. Có thể lấy các bài mà đồ thị có thể phức tạp hơn song tôi nghĩa không cần thiết, quan trọng hơn là phương pháp xử lý dạng toán này. IV- KẾT LUẬN Qua giải pháp trên, tôi muốn đề cập đến việc ứng dụng đồ thị bậc nhất và đồ thị bậc hai trong lớp 10 vào một loại phương trình, bất phương trình tương đối khó. Qua thực tế giảng dạy, học sinh đã làm rất tốt dạng này. Hơn nữa khi đến lớp 12, các em có thể vẽ đồ thị của hàm số phức tạp hơn, thì phương pháp trên vẫn áp dụng được, và học sinh đã tự làm được điều đó. Mặc dù vậy, không phải bài nào cũng làm được như trên, do đó ngoài việc ứng dụng phương pháp đồ thị, học sinh vẫn phải nắm vững phương pháp làm trực tiếp. Đây chỉ là một phần rất nhỏ trong việc xây dựng dạng toán cho học sinh thực hành. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn bè, đồng nghiệp để giải pháp trên đạt hiệu quả cao hơn nữa hơn . Tôi xin chân thành cảm ơn.