({displaystyle ax^{2}+bx+c=0})
với x là ẩn số chưa biết và a, b, c là các số đã biết sao cho a khác 0. Các số a, b, và c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hay số hạng tự do.
II. Giải phương trình bậc 2
Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến thường được sử dụng trong chương trình giáo dục là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm, hoặc đồ thị.
1. Phương pháp công thức nhân tử hóa
Đây là phương pháp phân tích một phương trình bậc hai về dạng tích của các nhân tử. Một khi biểu thức bậc hai đã được phân tích thành nhân tử, bạn có thể tìm được đáp án khả thi cho giá trị của x bằng cách cho từng nhân tử bằng không và giải. Vì đang cần tìm giá trị của x sao cho phương trình bằng không, bất kỳ x nào khiến một nhân tử bằng không cũng sẽ là nghiệm khả thi của phương trình đó.
Ví dụ: Giải phương trình sau (x^2 + 5x + 6 = 0) bằng phương pháp nhân tử chung?
(x^2 + 5x + 6 = 0)
(leftrightarrow (x+3)(x-2)=0)
(leftrightarrowleft[begin{array}{l} x+3=0 \ x-2=0 \ end{array}right.)
(leftrightarrowleft[begin{array}{l} x=-3 \ x=2 \ end{array}right.)
Vậy nghiệm của phương trình bậc 2 là x = -3 hoặc x = 2
2. Phương pháp phần bù bình phương
Trong đại số sơ cấp, phần bù bình phương là phương thức chuyển đổi một đa thức bậc hai theo dạng ({displaystyle ax^{2}+bx+c,!}) thành dạng:
({displaystyle a(x-h)^{2}+k,})
Theo nghĩa này, “hằng số k” không phụ thuộc vào x. Biểu thức bên trong dấu ngoặc đơn có dạng (x − k). Do đó, ta có thể chuyển đổi ({displaystyle ax^{2}+bx+c,!}) thành ({displaystyle a(x-h)^{2}+k,}) và ta phải tìm h và k.
Ví dụ: Giải phương trình (2x^2 + 4x – 4 = 0) bằng phương pháp phần bù bình phương?
({displaystyle Leftrightarrow x^{2}+2x=2})
({displaystyle Leftrightarrow x^{2}+2x+1=2+1})
({displaystyle Leftrightarrow left(x+1right)^{2}=3})
({displaystyle Leftrightarrow x+1=pm {sqrt {3}}})
({displaystyle Leftrightarrow x=-1pm {sqrt {3}}})
3. Phương pháp công thức nghiệm phương trình bậc 2
Đối với phương trình (ax^2+bx+c=0(aneq 0)) và biệt thức (Δ=b^2−4ac):
Công thức nghiệm của phương trinh bậc hai:
(x1= dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2}) và (x2= dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2})
+) Nếu Δ=0 thì phương trình có nghiệm kép (x1=x2=-dfrac{b}{2a})
+) Nếu Δ<0 thì phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình bậc 2 sau: (2x^2-7x+3=0)
(2x^2-7x+3=0)
Ta có: a=2, b=-7, c=3
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
(x_1=dfrac{-(-7)-sqrt{25}}{2.2}=dfrac{7-5}{4}=dfrac{1}{2})
(x_2=dfrac{-(-7)+sqrt{25}}{2.2}=dfrac{7+5}{4}=dfrac{12}{4}=3)
4. Phương pháp đồ thị
Phương pháp giải:Ta biết rằng hàm số: (y = ax^2 + bx + c), với a ≠ 0 được gọi là Parabol (P), có đồ thị:
Số nghiệm của phương trình (ax^2 + bx + c = 0) chính bằng số giao điểm của đồ thị parabol (y = ax^2 + bx + c) với trục hoành.Để biện luận theo tham số m, số nghiệm của phương trình: (ax^2 + bx + c = m)ta xét vị trí tương đối của đường thẳng (d): y = m với Parabol (P): (y = ax^2 + bx + c)Để giải một phương trình bằng phương pháp đồ thị ta thực hiện tuần tự theo các bước sau đây:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu về dạng: (ax^2 + bx + c = g(m))
Bước 2: Vẽ (P): (y = ax^2 + bx + c)
Bước 3: Khi đó, số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng (d): y = g(m) với Parabol (P): (y = ax^2 + bx + c).
Bước 4: Bằng việc dịch chuyển đường thẳng (d) song song với Ox ta sẽ nhận được kết luận tương ứng.
Bước 5: Kết luận.
Chú ý: Phương pháp này tỏ ra đặc biệt hiệu quả với yêu cầu về nghiệm thuộc (α; β) cho trước.
III. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
Phương trình trùng phương: (ax^4 + bx^2 + c = 0), (a ≠ 0) (*)
Phương pháp: đặt (t = x^2 ≥ 0) thì (*) (⇔ at^2 + bt + c = 0)
(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0) với (dfrac{e}{a} =dfrac{d}{b}^2 ne 0)
Phương pháp: Chia hai vế cho (x^2 ne 0), rồi đặt (t = x + dfrac{a}{x} ⇒ t^2 = (x + dfrac{a}{x})^2) với (a = dfrac{d}{b})
((x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex^2) với (a.b = c.d)
Phương pháp giải: Đặt ( t = x^2 + ab + dfrac{a+b+c+d}{2}x) thì phương trình
(⇔ (t + dfrac{a+b-c-d}{2}x)(t – dfrac{a+b-c-d}{2}x) = ex^2) (có dạng đẳng cấp)
Phương pháp giải: Đặt (x = t-dfrac{a+b}{2} ⇒ (t + a)^4 + (t – a)^4 = c) với (a = dfrac{a-b}{2})
IV. Giải bất phương trình bậc 2
Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng:
Đặt (Δ = b^2 – 4ac). Ta có các trường hợp sau:
1. Nếu Δ < 0 và:
a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: ({displaystyle varnothing }).
2. Nếu Δ = 0 và:
a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: ({displaystyle varnothing }.)
({displaystyle x_{1}={frac {-b-{sqrt {Delta }}}{2a}};quad quad x_{2}={frac {-b+{sqrt {Delta }}}{2a}}})
Khi đó:
Nếu a < 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: ({displaystyle (x_{1};x_{2}),})