Top 8 # Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Bằng Tay Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 3/2023 # Top Trend

( 1. Phương trình có dạng: 1), trong đó a, b, c, d là các số thực cho trước .

2. Cách giải: Bây giờ ta đi xét cách giải phương trình (1).

Vì ( nên ta có thể chia hai vế của phương trình (1) cho a. Do vậy ta chỉ cần đi giải phương trình dạng : 2) .

Đặt ((, khi đó 2) trở thành : 3)

Trong đó: .

Đặt . Để xét số nghiệm của (3), ta khảo sát sự tương giao của hàm số với trục Ox.

Chú ý hàm bậc ba cắt Ox tại

· Một điểm hàm luôn đơn điệu hoặc

· Hai điểm

· Ba điểm

Xét hàm số , ta có: .

* Nếu là hàm đồng biến có một nghiệm.

* Nếu và

.

Từ đây ta có các kết quả sau:

* Nếu có nghiệm duy nhất. Để tìm nghiệm này ta làm như sau:

Đặt , khi đó (3) trở thành:

Ta chọn u,v sao cho: , lúc đó ta có hệ:

(là nghiệm phương trình: 4)

( 4) có hai nghiệm:

(*)

Công thức (*) gọi là công thức Cardano.

* Nếu , khi đó (3) có hai nghiệm, một nghiệm kép ( hoặc ) và một nghiệm đơn. Tức là:

hoặc (**).

* Nếu , khi đó (3) có ba nghiệm phân biệt và ba nghiệm này nằm trong khoảng . Để tìm ba nghiệm này ta đặt , với ta đưa (3) về dạng: (5), trong đó .

Giải (5) ta được ba nghiệm , từ đây suy ra ba nghiệm của phương trình (3) là :

(***).

Trong một số trường hợp để giải phương trình bậc ba ta đi tìm một nghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức và chuyển phương trình đã cho về phương trình tích của một nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai.

Ví dụ 1: Giải phương trình : .

Giải: Ta thấy phương trình có một nghiệm (dùng MTBT) nên ta biến đổi phương trình : .

Ví dụ 2: Giải phương trình : .

Giải: Ta có: nên phương

trình có duy nhất nghiệm:

.

Ví dụ 3: Giải phương trình : (1).

Giải:

Ta có: nên phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng . Đặt với

(2) trở thành:

.

Vì nên ta có: .

Vậy phương trình có ba nghiệm: .

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

(1).

Giải: Vì tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm nên :

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác 1 .

Vậy là giá trị cần tìm.

Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt:

Giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

(2)

Yêu cầu bài toán có hai nghiệm phân biệt.

TH 1: có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm

bằng 1. Điều này có .

TH 2: có một nghiệm khác 1. Khi đó xảy ra hai khả năng

Khả năng 1: .

Khả năng 2: .

Vậy các giá trị của m cần tìm là: .

Giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm. Ta chứng minh (1).

* Nếu ba nghiệm của phương trình trùng nhau thì đúng.

* Nếu ba nghiệm phương trình chỉ có hai nghiệm trùng nhau hoắc ba nghiệm đó là phân biệt. Khi đó ta có: ,

( trong đó: )

.

đpcm.

Từ cách chứng minh trên ta suy ra được nếu có (1) thì phương trình có ba nghiệm

Nguyễn Tất Thu

Để giải phương trình bậc 3 có hai phương pháp giải, việc thứ nhất là giải bằng máy tính và giải tay tùy thuộc vào phương trình đó mà ta áp dụng, và tùy theo bậc lớp học được phép sử dụng hay không. Bài này gia sư TTV chia sẽ cho tất cả các cách giải phương trình bậc 3 chuẩn mực nhất, nghiệm lẻ, hay một ẩn, tổng quát … và là trên máy tính. Chúng ta bắng đầu nào

Phương trình bậc 3 có dạng chuẩn sau

Phương pháp Cardano giải phương trình bậc 3

), và mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với

). Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia cho không. Thứ nhất, nếu p= 0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u khác 0, i.e.

Cách giải phương trình bậc 3 trên máy tính fx570es

Đây là phần tóm tắt kết quả bài giải phương trình bậc ba:

Đặt các giá trị:

1) Nếu

2) Nếu

: Phương trình có một nghiệm bội

3) Nếu

: Phương trình có một nghiệm duy nhất

bài viết thuộc nguồn sở hữu của: Trung tâm gia sư TPHCM Trí Tuệ Việ

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN NHẤT CỦA CHÚNG TÔI

Quý phụ huynh có con em cần Gia Sư Dạy Kèm Tại Nhà xin liên hệ cho chúng tôi.

Trung Tâm Chuyên Cung Cấp Gia Sư Dạy Kèm Tại Nhà Các Môn:

– Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Tiếng Anh…Từ Lớp 1 Đến 12, LTĐH – Anh Văn Giao Tiếp: Xuất Cảnh, Du Học, Buôn Bán………. – Luyện Thi: IELTS – TOELF – TOEIC… – Các thứ tiếng: Hoa(Trung) – Hàn – Nhật – Pháp… – Các môn năng khiếu: Vẽ – Đàn – Nhạc… – Tin học: Word, Excel, Eccess, PowerPoint… – Luyện viết chữ đẹp… – Tiếng việt cho người nước ngoài

Trung Tâm Dạy Kèm Tại Nhà các Quận 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 , Thủ Đức, Tân Bình, Tân Phú, Gò Vấp, Phú Nhuận, Bình Thạnh, Bình Tân, Nhà Bè, Hóc Môn.

Lưu ý: Trung Tâm sẽ cho gia sư dạy thử từ 1 – 2 buổi trước khi dạy chính thức để đảm bảo chất lượng gia sư của trung tâm.

Quý phụ huynh và các bạn gia sư có nhu cầu xin liên hệ:

Điện Thoại : 0906 801 079 – 0932 622 625 (Thầy Huy – Cô Oanh)

B. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC 3 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Dạng cơ bản: 3 3A B A B= ⇔ = 33 A B A B= ⇔ = 2. Các dạng khác: Giải phương trình: 3 3 3A B C= = (*) 33 3( A B) C⇔ + = 3 3 3 3A B 3 A B ( A B) C (1)⇔ + + + = thay 3 3 3A B C+ = vào (1) ta được: 3A B 3 AB C+ + = (2) Cần nhớ (2) là hệ quả của (*), khi giải tìm nghiệm của (2) ta phải thử lại đối với phương trình (1). II. CÁC VÍ DỤ. Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 3 32x 1 x 1 3x 2− + − = − (1) (CAO ĐẲNG HẢI QUAN năm 1997). Giải Lập phương 2 vế: 3 332x 1 x 1 3 (2x 1)(x 1)( 2x 1 x 1) 3x 2− + − + − − − + − = − 333 (2x 1)(x 1) 3x 2 0⇔ − − − = 1x2x 1 0 2 x 1 0 x 1 3x 2 0 2x 3 ⎡ =⎢− =⎡ ⎢⎢⇔ − = ⇔ =⎢⎢ ⎢⎢ − =⎣ ⎢ =⎢⎣ . Thử lại: 3 31 1 1x : (1) 2 2 2 = ⇔ − = − (thỏa) 3 3x 1: (1) 1 1= ⇔ = (thỏa) 33 32 1 1x : (1) 0 3 3 3 = ⇔ + − = (thỏa) 141 Vậy phương trình có 3 nghiệm : 1 2x ,x 1,x 2 3 = = = Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 3 3x 1 x 2 x 3 0 (1)+ + + + + = Giải Nhận xét x = – 2 là nghiệm của phương trình (1) Ta chứng minh x = – 2 duy nhất. Đặt 3 3 3f(x) x 1 x 2 x 3= + + + + + vì x + 1, x + 2, x + 3 là những hàm số tăng trên R ⇒ hàm số f(x) tăng trên tập R và có nghiệm x = – 2. ⇒ x = – 2 duy nhất. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 2.1. Giải phương trình: 3 312 x 4 x 4− + + = 2.2. Giải phương trình: 3 35x 7 5x 12 1+ − − = 2.3. Giải phương trình: 3 324 x 5 x 1+ − + = 2.4. Giải phương trình: 3 39 x 1 7 x 1 4− + + + + = 142 HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT 2.1. 3 312 x 4 x 4− + + = (1) Lập phương 2 vế và rút gọn ta được: 2x 8x 16 0 x 4− + = ⇔ = Thử x = 4 vào (1) thỏa. 2.2. 3 35x 7 5x 12 1+ − − = Đặt 3 3u 5x 7,v 5x 12= + = − 23 3 u v 1u v 1 (u v) (u v) 3uv 19u v 19 − =⎧− =⎧⎪ ⎪⇒ ⇔⎨ ⎨ ⎡ ⎤− − + =− =⎪ ⎪⎩ ⎣ ⎦⎩ u v 1 u 3 u 2 uv 6 v 2 v 3 − = = = −⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= = = −⎩ ⎩ ⎩ 3 3 3 3 5x 7 3 5x 7 2 x 4 x 3 5x 12 2 5x 12 3 ⎧ ⎧+ = + = −⎪ ⎪⇔ ∨ ⇒ = ∨ = −⎨ ⎨− = − = −⎪ ⎪⎩ ⎩ 2.3. 3 324 x 5 x 1+ − + = Đặt 3 3u 24 x ,v 5 x= + = + 3 3 u v 1 u 3 u 2 x 9 v 2 v 3u v 19 − =⎧ = = −⎧ ⎧⎪⇒ ⇔ ∨ ⇒ =⎨ ⎨ ⎨= = −− =⎪ ⎩ ⎩⎩ 2.4. 3 39 x 1 7 x 1 4− + + + + = Đặt 3 3u 9 x 1,v 7 x 1= − + = + + 3 3 u v 4 u v 4 u v 2 uv 4u v 16 + =⎧ + =⎧⎪⇒ ⇔ ⇔ = =⎨ ⎨ =+ =⎪ ⎩⎩ ⇒ x = 0.

Là phương trình có dạng

II. Cách giải một số phương trình bậc bốn đặc biệt.

* Cách giải :

* Chú ý : Khi giải phương trình này ta thường gặp phương trình dạng . Khi đó cần lưu ý :

* Ví dụ minh họa : Lời giải : Lời giải :

Chú ý : Đối với hai ví dụ trên ta có thể xem chúng là các phương trình bậc hai đối với nên ta có thể giải quyết nhanh gọn như sau

Ví dụ 3. Giải phương trình +x2-2x-1=0. Lời giải :

Ta có +x2-2x-1=0⇔+x2-2x+1 -2=0⇔+-2=0.

Vậy phương trình có nghiệm x=0,x=2.

3. Cách giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng : Dạng ax4±bx3+cx2±bx+a=0.

* Cách giải : * Chú ý : Ta luôn có * Ví dụ minh họa :

Phân tích : Rõ ràng các hệ số của phương trình đối xứng nhau qua số hạng có nên ta giải theo phương pháp như trên.

Lời giải :

+ Trường hợp 1 : Với phương trình trở thành (vô lí). Vậy không phải là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2. Giải phương trình

Lời giải :

+ Trường hợp 1 : Với không thỏa mãn phương trình đã cho.

Lưu ý : Việc xét hai trường hợp như trên là cần thiết vì muốn chia hai vế phương trình cho một số thì số đó phải khác 0.

4. Cách giải phương trình bậc bốn khi đã nhẩm trước ít nhất hai nghiệm. Khi gặp một phương trình bậc bốn không thuộc các dạng đặc biệt như trên thì ta có thể nhẩm trước hai nghiệm và tìm cách đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích. Phương pháp này chỉ áp dụng khi ta đã biết trước hai nghiệm (thường là nghiệm nguyên) của phương trình đó.Cách làm như sau :

Xét phương trình dạng

Bước 2. Thực hiện phép chia cho (lưu ý rằng đây là phép chia hết).

* Lưu ý : Các bước 1, 2 ta có thể thực hiện trên giấy nháp để lấy kết quả sử dụng cho bước 3.

+ Nhận thấy rằng phương trình có nghiệm x=1,x=-1.

+ Thực hiện phép chia x4-5×3+5×2+5x-6 cho x-1 x+1 =x2-1 như sau:

Lời giải :

Ta có : undefined

Ví dụ 2 : Giải phương trình

Thực hiện phép chia cho x-1 x-2 =x2-3x+2 như sau

Vậy ta có

Lời giải : Chú ý : Cách làm này có thể áp dụng để giải phương trình bậc ba và đối với phương trình bậc ba ta chỉ cần nhẩm được một nghiệm x=x0 rồi thực hiện phép chia cho x-x0. 5. Cách giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp đồng nhất hệ số.

Đây là phương pháp đặc biệt được áp dụng khi giải phương trình bậc 4 không có nghiệm nguyên và chỉ giải quyết được một số bài toán nhất định bằng cách phân tích một đa thức bậc bốn thành tích của hai tam thức bậc hai với giả định : . Bài toán có giải quyết được hay không phụ thuộc vào việc có tìm được các hệ số hay không.

Ví dụ 1 : Giải phương trình

+ Nhận xét rằng, trong ví dụ ta sẽ khó nhẩm được nghiệm, do đó ta nghĩ đến phương án cân bằng hệ số như sau : Giả sử

+ Thay các giá trị tìm được vào (*) ta có . Tới đây ta có thể giải quyêt dễ dàng bài toán.

+ Lưu ý rằng việc đồng nhất hệ số được thực hiện trên giấy nháp.

Lời giải :

Ví dụ 2 : Giải phương trình

+ Vậy ta có :

Lời giải :