Skkn: Giải Bài Toán Bắng Cách Lập Pt, Hệ Pt

--- Bài mới hơn ---

  • Hỏi Cách Làm Bài Toán Thừa Kế !!!
  • Phương Pháp Giải Bài Toán Quy Đồng Mẫu Của Nhiều Phân Số
  • Một Số Cách Giải Bài Toán Chuyển Động Lớp 5
  • Các Bài Toán Điển Hình Lớp 5
  • Cách Giải Các Bài Toán Trung Bình Cộng Lớp 4
  • SKKN: Giải bài toán bắng cách lập PT, hệ PT

    Chuyên đề:

    Rèn kỹ năng giải bài tập toán

    bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

    I/ Đặt vấn đề:

    Như chúng ta đã biết, ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã được giải phương trình. Đó là những phương trình rất đơn giản dưới dạng điền số thích hợp vào ô trống. Đối với học sinh lớp cao thì tính phức tạp của phương trình cũng dần được nâng lên.

    + Đối với lớp 1, lớp 2 thì phương trình rất đơn giản, thường là dưới dạng điền vào ô trống:

    ( + 3 = 7

    + Đối với học sinh lớp 3 thì phương trình phức tạp hơn:

    x + 2 + 3 = 6.

    + Đối với học sinh lớp 4, 5, 6 phương trình có dạng:

    x : 4 = 8 : 2

    x x 5 + 8 = 33

    (x – 12) x 8 = 16

    Tất cả các loại Toán trên, mối quan hệ giữa các đại lượng trong đề toán được gắn kết với nhau bằng các mối quan hệ toán học. Các đại lượng chỉ là những con số tự nhiên bất kỳ. Đặc biệt là các phương trình được viết sẵn học sinh chỉ việc giải phương trình là hoàn thành nhiệm vụ.

    Đối với học sinh lớp 8, lớp 9 trở lên các đề toán về giải phương trình không còn đơn giản như vậy nữa mà nó là các dạng toán có lời, căn cứ vào có để lập ra phương trình kết quả, đáp số đúng không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình mà còn phụ thuộc vào việc lập phương trình.

    Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình đối với học sinh THCS là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho không phải là những phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,…Do đó trong quá trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lí. VD: ẩn số là con người, đồ vật, … phải nguyên dương nếu tìm ra đáp số âm hoặc không nguyên là vô lí.

    Chính vì vậy, người thầy không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức như trong SGK mà còn dạy cho học sinh cách giải bài tập. Người thầy khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựa trên các quy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình dễ dàng. Đây là bước đặc biệt quan trọng và khó khăn với học sinh.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hướng Dẫn Hs Giải Các Bài Toán Về Hình Vuông Và Hình Tròn Liên Quan Đến Tỉ Số Phần Trăm.
  • Ứng Dụng Phần Mềm Mathcad Sáng Tạo Và Giải Bài Toán Bất Đẳng Thức Bằng Phương Pháp Tiếp Tuyến
  • Chia Sẻ Kinh Nghiệm Cách Làm Bài Tập Chia Bài Tập Thừa Kế
  • Huong Dan Giai Bai Tap Kinh Te Vĩ Mô Phan 2
  • Các Bài Tập Môn Kinh Tế Vĩ Mô (Có Đáp Án)
  • Bài 2 – 3 – 4 : Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn – Cách Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Một Số Dạng Bài Tập Sử Dụng Phương Trình Ion Rút Gọn
  • Sử Dụng Phương Trình Ion Thu Gọn Để Giải Bài Tập Hóa
  • Phương Pháp Giải Hóa Học
  • Bài Test Iq, Trắc Nghiệm Iq Chuẩn Quốc Tế, Kiểm Tra Iq 2022
  • Cách Chơi Qua Sông Iq Đầy Đủ (32 Câu), Đáp Án Game Qua Sông Iq
  • BÀI 2 – 3 – 4

    Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – cách giải

    –o0o–

    Định nghĩa :

    Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng :

    Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế :

    Bước 1 : chọn một phương trình biểu diễn nghiệm đơn gian nhất.

    Bước 2 : thế vào phương trình còn lại.

    Giải hệ phương trình bằng phương pháp đại số :

    Bước 1 : cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình cho ra phương trình mới.

     Bước 2 : dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

    Ví dụ : giải hệ phương trình :

    (*)

    Giải.

    Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế :

    Ta nhận thấy với Phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất.

    Giải hệ phương trình bằng phương pháp đại số :

    Ta nhận thấy rằng khử biến x bằng cách : nhân -2 vào hai vế phương trình (2), sau đó cộng từng vế của hai phương trình.

    ========================

    BÀI TẬP SGK :

    BÀI 12 TRANG 15 : giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế.

    a)     

    vậy : nghiệm của hệ : (10; 7).

    ————————————————————————————————-

    BÀI 20 TRANG 19 : giải các hệ phương trình bằng phương pháp đại số.

    a)

    vậy : nghiệm của hệ : (2; -3).

    ========================================

    BÀI TẬP BỔ SUNG :

    BÀI 1 : hệ phương trình vô nghiệm :

    vậy : hệ vô nghiệm .

    BÀI 2 : hệ phương trình vô số nghiệm :

    Chia sẻ:

    Like this:

    Số lượt thích

    Đang tải…

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lý Thuyết Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Toán 11
  • Toán 10] Bất Phương Và Hệ Bất Phương Trình 1 Ẩn (Kèm Lời Giải)
  • Cách Cúng Tam Tai Tại Nhà
  • Cách Tính Hạn Tháng Hạn Nguyệt Vận Trong Tử Vi Chính Xác
  • Phương Pháp Luận Đoán Vận Hạn Trong Tử Vi
  • T19 Tiết 42 Pt Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Xoay Rubik 5X5X5 Nhanh Nhất, Dễ Như Giải Rubik 3X3X3
  • Uống Thuốc Tây Bị Mệt, Huyết Áp Không Ổn Định Thì Phải Làm Sao? Đọc Ngay Để Biết!
  • Tác Hại Khi Lạm Dụng Thuốc Chống Say Rượu
  • 5 Cách Giải Rượu Nhanh Chóng Không Cần Sử Dụng Thuốc Chống Say
  • Soạn Bài Liên Kết Trong Văn Bản
  • HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

    GHI BẢNG

    Hoạt động 1: (7′)

    – GV: Giới thiệu phương trình như thế nào được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

    – GV: Cho VD

    Hoạt động 2: (15′)

    – GV: Giới thiệu quy tắc chuyển vế để biến đổi một phương trình.

    – GV: Làm mẫu VD1a và cho HS lên bảng làm hai câu còn lại.

    – GV: Giới thiệu quy tắc nhân với một số và giải thích cho HS hiểu rõ vì sao lại có quy tắc chia.

    – HS: Chú ý theo dõi

    – HS: Chú ý theo dõi.

    – HS: Chú ý theo dõi cách giải và lên bảng làm hai câu b và c.

    – HS: Chú ý theo dõi.

    1. Định nghĩa:

    Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

    VD: a) 2x – 1 = 0

    b) 3 – 5y = 0

    2. Hai quy tắc biến đổi phương trình:

    a) Quy tắc chuyển vế:

    Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạn tử đó.

    VD 1: Giải các phương trình

    a) x – 4 = 0 x = 4

    b)

    c) 0,5 – x = 0 x = 0,5

    b) Quy tắc nhân với một số:(sgk)

    HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

    GHI BẢNG

    – GV: Làm mẫu VD2a và cho HS lên bảng làm hai câu còn lại.

    Hoạt động 3: (10′)

    – GV: Hướng dẫn HS dùng hai quy tắc trên để giải phương trình bậc nhất một ẩn.

    – GV: Yêu cầu HS lên bảng làm câu b.

    – GV: Giới thiệu nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất một ẩn.

    – GV: Chốt ý cho HS phương trình ax + b ( a≠ 0) luôn có nghiệm duy nhất

    – HS: Chú ý theo dõi cách giải và lên bảng làm hai câu b và c.

    – HS: Chú ý theo dõi.

    – HS: Một HS lên bảng làm câu b, các em khác làm vào vở, theo dõi và nhận xét bài làm của bạn.

    – HS: Nhắc lại

    – HS: Chú ý theo dõi.

    VD 2: Giải các phương trình

    a)

    b)

    c)

    3. Cách giải phương trình bậc nhất 1 ẩn:

    VD 1: Giải các phương trình

    a)

    Tập nghiệm của ph.trình trên:

    b)

    Tập nghiệm của ph.trình trên:

    Tổng quát: Phương trình ax + b = 0 luôn có nghiệm duy nhất

    4. Củng Cố: (5′)

    – GV cho HS làm bài tập 8a, c.

    5. Hướng Dẫn Và Dặn Dò Về nhà: ( 2′)

    – Về nhà xem lại các VD và bài tập đã giải.

    – Làm các bài tập còn lại.

    6. Rút Kinh Nghiệm Tiết Dạy:

    ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

    --- Bài cũ hơn ---

  • Dạng 3: Sử Dụng Phương Pháp Đồ Thị Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
  • Brain Out Cấp 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 Đáp Án
  • Đáp Án Game Brain Out Từ Level 101 Đến Level 200
  • Đáp Án Brain Out, Giải Brain Out Tất Cả Level (Cập Nhật Liên Tục)
  • 5+ Cách Nhận Biết Người Chơi Ngải 100% Chuẩn Xác
  • Giải Hệ Pt Bằng Phương Pháp Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Đạo Hàm
  • Giải Toán Nhanh & Giải Phương Trình, Đồ Thị Hàm Số Cho Android
  • Chuyên Đề Giải Phương Trình Đa Thức Bậc Cao
  • Phương Pháp Giải Một Số Dạng Phương Trình Môn Toán Ở Cấp Thcs
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Rèn Kỹ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8
  • Giải hệ phương trình sau :

    Giải

    .

    Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1)

    Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)

    Chú ý : Tại sao ta không đưa chúng về dạng : , sau đó xét hàm số ?

    Giải hệ phương trình sau :

    Giải

    Từ (2) :

    Thay vào phương trình (1):. Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải phương trình mũ .Phương trình có dạng :

    Do đó phương trình trở thành :

    Xét hàm số : suy ra hàm f(t) đồng biến trên R . Do vậy để xảy ra f(b)=f(a) chỉ xảy ra khi a=b :

    ( vì x khác 0 ) và

    Chú ý : Vì ta sử dụng được phương pháp hàm số vì a,b thuộc R

    Giải hệ phương trình sau :

    Giải

    .

    Đặt : x-1=t suy ra (*) trở thành :

    +/ Trường hợp chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 .

    Thay vào (2) ta có : . Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2).

    +/ Trường hợp :

    Bài 5 Giải hệ phương trình sau :

    Giải

    .

    -Trường hợp 1: y=, thay vào (2) :

    -Trường hợp :

    . Phương trình vô nghiệm .

    Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)=

    * Chú ý : Ta còn có cách giải khác

    – Phương trình (1) khi x=0 và y=0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) ).

    – Chia 2 vế phương trình (1) cho

    – Xét hàm số : . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để phương trình có nghiệm thì chỉ xảy ra khi : . Đến đây ta giải như ở phần trên

    Bài 6. Giải hệ phương trình sau : .

    Giải

    – Trường hợp 1: .

    Thay vào (2)

    – Trường hợp : .

    Thay vào (2) :

    Vậy hệ có nghiệm :

    Bài 7 Giải hệ phương trình sau :

    Giải

    a. . Từ (2) viết lại :

    Ta xét hàm số f(t)=. Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên ta có : . (*)

    Thay vào (1) :

    * Nếu x+y=1 thay vào (2) ta được :

    +/ Với vô nghiệm vì

    Bài 8. Giải hệ phương trinh :

    Giải

    Từ . . – Điều kiện :

    – Từ (1) :

    – Xét hàm số : . Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến .

    Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lời Giải Phương Trình Vi Phân Bậc Hai
  • Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình
  • Lập Phương Trình Hóa Học
  • Tính Theo Phương Trình Hóa Học Là Gì? Những Dạng Bài Tập Và Cách Giải
  • Các Cách Cân Bằng Phương Trình Hóa Học Lớp 8 Bạn Cần Biết
  • Giải Hệ Pt Bằng Pp Thế Vnxike2 Ppt

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Cách Chuyển Về Hệ Phương Trình Hữu Tỉ
  • Kỹ Thuật Sử Dụng Máy Tính Casio, Viancal Để Giải Pt Bậc 4
  • Mục tiêu

    – HS hiểu được cách biến đổi hệ phương trình bằng phương pháp thế

    – HS nắm vững cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế .

    – HS biết xử lí các trường hợp đặc biệt (hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm )

    II. Chuẩn bị

    Giáo viên: SGK , máy chiếu .

    2. Học sinh : SGK, bảng nhóm , bút dạ ….

    HS1. Kiểm tra (x;y) = (2; – 1) có là nghiệm của hệ phương trình sau không?

    HS2:Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau và minh hoạ bằng đồ thị.

    Kiểm tra bài cũ:

    Tiết 33:

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

    BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    Ví dụ: Xét hệ phương trình

    B1:Từ PT(1) biểu diễn x theo y

    B2: Ta có hệ PT(II) tương đương hệ PT(I).

    Giải hệ PT(II).Khi đó nghiệm của hệ PT(II) chính là nghiệm của hệ PT(I)

    Từ PT (2′) ta có : y = – 5

    Vậy hệ PT(I) đã cho có nghiệm là (- 13;-5)

    Thế x từ PT (1′) vào PT (2).

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    Thay y = – 5 Vào PT(1′)

    ta có : x = – 13

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG

    PHƯƠNG PHÁP THẾ

    1. Quy tắc thế

    Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương thông qua hai bước :

    Bước 1: Từ một phương trình của HPT ban đầu ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ta được phương trình (*) .

    Bước 2: Thay phương trình (*) vào phương trình còn lại ta được phương trình (**) . Thay các phương trình của HPT (I) bởi các phương trình (*) và (**) ta được HPT mới tương đương HPT ban đầu.

    2.Vận dụng

    Ví dụ 2

    Giải hệ phương trình

    Giải

    Vậy hệ (II) có nghiệm duy nhất là (2 ; 1)

    Trong hệ phương trình nếu ẩn nào của phương trình có hệ số bằng 1 hoặc -1 ta nên biểu diễn ẩn đó theo ẩn còn lại

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ )

    Giải

    Vậy hệ phương trình (II) có nghiệm duy nhất là (7 ;5 )

    ?1

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    Ta có

    Đặc điểm PT một ẩn

    Số ngiệm của hệ

    HPT đã cho có một nghiệm duy nhất

    HPT đã cho vô nghiệm

    HPT đã cho có vô số nghiệm

    Đặc điểm

    Ví dụ

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    3y = 3

    1 nghiệm duy nhất

    0y = 9

    Vô nghiệm

    0x = 0

    vô số nghiệm

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    1. Quy tắc thế

    2. Áp dụng

    Chú ý :

    * Số nghiệm của phương trình một ẩn trong hệ phương trình mới chính là số nghiệm của hệ đã cho.

    Ví dụ 3

    Giải hệ phương trình

    Giải

    ?2

    Minh hoạ hình học

    Vậy HPT(III) vô số nghiệm

    Do d1 trùng với d2 nên hệ có vô số nghiệm

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    d1

    d2

    ?3

    Cho hệ phương trình

    Bằng minh hoạ hình học và bằng phương pháp thế ,chứng tỏ rằng hệ (IV) vô nghiệm.

    Nhóm 1

    Minh hoạ hình học

    Nhóm 2

    Giải phương trình bằng phương pháp thế

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    1)Dùng quy tắc thế biến đổi hệ đã cho thành hệ mới ,trong đó có một phương trình một ẩn.

    2)Giải phương trình một ẩn vừa có ,rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

    *Tóm tắc cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế :

    GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

    HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

    Học thuộc quy tắc thế , xem lại cách giải

    hệ phương trình bằng phương pháp thế .

    – Bài tập : 12 đến 15 SGK trang15

    CẢM ƠN CÁC THẦY CÔ GIÁO CÙNG CÁC EM

    ĐÃ NHIỆT TÌNH THAM GIA TIẾT HỌC

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chương Iii. §3. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Các Dạng Toán Về Số Phức, Cách Giải Và Bài Tập
  • Cách Trình Bày Dạng Bài Tự Luận Khi Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn
  • Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • Cđ Giải Hpt Không Mẫu Mực
  • Đề Tài Skkn “giải Pt Vô Tỉ Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ”

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn H/s Giải Pt Vô Tỷ
  • Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Cao
  • Iphone 5S, 5 Đầy Bộ Nhớ, Nguyên Nhân Và Cách Khắc Phục
  • Vấn Đề Cơ Bản Của Triết Học Chủ Nghĩa Duy Vật Và Chủ Nghĩa Duy Tâm
  • Đề tài SKKN “Giải PT vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ”

    NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

    PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VỚI CÁCH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

    A. Lý do chọn đề tài

    Toán học là môn học cơ bản trong nhà trường phổ thông, đối với học sinh môn toán nói chung và môn đại số nói riêng là một môn học khó. Bởi vậy không ít học sinh dù đã cố gắng xong kết quả môn toán nói chung và phân môn đại số nói riêng còn thấp so với yêu cầu. Để nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện các nhà trường nói chung, các giáo viên trực tiếp giảng dạy nói riêng cần phải có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng môn đại số của học sinh THPT

    Nhằm mục đích nâng cao chất lượng học sinh khi học môn đại số nói chung và phương trình vô tỉ nói riêng, nên tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm ”Phương trình vô tỉ với cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ”

    B. Mục đích nghiên cứu đề tài

    Xây dựng những dạng bài tập cơ bản và phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ. Giúp học sinh nâng cao trách nhiệm trong học tập, khắc phục tính chủ quan tự mãn, đặc biệt là phát triển năng lực tự đánh giá. Giúp người thầy tự điều chỉnh hoạt động dạy và học cho phù hợp.

    C. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

    Đối tượng: Học sinh lớp 10, 11 trường THPT Tuần Giáo.

    Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu các dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ.

    D. Nhiệm vụ nghiên cứu

    + Giúp học sinh khối 10, 11 nắm chắc kiến thức cơ bản về phương trình vô tỉ với cách giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

    + Học sinh hứng thú học và đạt kết quả cao.

    E. Phương pháp nghiên cứu

    + Nghiên cứu phương trình vô tỉ, đặc biệt với cách giải đặt ẩn phụ

    + Lấy ý kiến

    + Thử nghiệm sư phạm

    F. Nội dung nghiên cứu: Giải PT vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

    Khi giải pt dạng , chúng ta đều biết phải bình phương hai vế để khử căn bậc hai. Vậy với pt , và một số pt dạng khác có giải được bằng phương pháp đó không? Đây là câu hỏi mà nhiều học sinh chưa trả lời được. Qua nhiều năm dạy học sinh THPT tôi rút ra được kinh nghiệm giải pt vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

    I. Dạng 1 : Sử dụng ẩn phụ để chuyển PT ban đầu thành 1 pt với ẩn phụ.

    1)Các phép đặt ẩn phụ thường gặp :

    PT chứa và f(x)

    Đặt t = ( t 0 ) f(x) = t2

    PT chứa , và . = k ( k= const)

    Đặt t= ( t 0 ) =

    PT chứa ± ; và f(x) + g(x) = k ( k= const)

    Đặt t = ± = ±

    PT chứa Đặt x = sint với thoặc x = cost với t

    PT chứa Đặt x = tant với thoặc x = cott với t

    PT dạng đặt ta thu được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta thu được pt bậc hai

    PT dạng đặt ta được pt bậc hai

    2) Chú ý : Với PT vô tỉ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.

    3) Các ví dụ :

    VD1 : GPT : + = 3 (1)

    Đặt t = x2 – 3x + 3 Ta có : t = Đk t

    Khi đó (1) có dạng + = 3

    t + t + 3 + 2 = 9

    = 3 – t

    t = 1

    x2 – 3x + 3 = 1

    KL : PT có 2 nghiệm x= 1 ; x = 2.

    VD 2 :GPT : 2×2 + = 8x + 13 (2)

    ĐK : x2 – 4x -5 0 x -1 hoặc x 5

    PT ( 2 ) = -2×2 + 8x + 13 (2′)

    Đặt y = ĐK y 0 Ta có y2 = x2 – 4x – 5

    PT ( 2′) y = – 2y2 + 3

    2y2 + y – 3 = 0 loại

    Với y = 1 x2 – 4x – 5 = 1 x2 – 4x – 6 = 0 tm ĐK

    --- Bài cũ hơn ---

  • Chuyên Đề Về Pt Vô Tỉ
  • Skkn Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 9 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • Skkn:các Phương Pháp Giải Pt Vô Tỉ
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Giúp Học Sinh Nắm Chắc Các Cách Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • Phương Pháp Liên Hợp Giải Phương Trình Vô Tỷ
  • Hệ Phương Trình Hai Ẩn Là Gì? Bài Tập Và Cách Giải Hệ Phương Trình 2 Ẩn

    --- Bài mới hơn ---

  • Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Ứng Dụng Đạo Hàm Trong Giải Phương Trình, Bất Phương Trình
  • Giải Bài Tập Phần Phương Trình Tích Sách Giáo Khoa Toán Lớp 8
  • Trắc Nghiệm Giải Bất Phương Trình Logarit Bằng Cách Đặt Ẩn Phụ
  • Những Lưu Ý Khi Giải Bài Toán Bất Phương Trình Dành Cho Học Sinh Lớp 9
  • Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng : (left{begin{matrix} ax+by=c a’x+b’y=c’ end{matrix}right.)
  • Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
  • Định nghĩa hệ phương trình hai ẩn?

    • ((d)parallel (d’)) thì hệ vô nghiệm
    • ((d)times (d’)) thì hệ có nghiệm duy nhất
    • ((d)equiv (d’)) thì hệ có vô số nghiệm
    • Hệ phương trình tương đương
    • Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn
    • Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ

    Gọi (d): ax + by = c; (d’): a’x + b’y = c’. Khi đó ta có

    Phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn bậc nhất

    Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (left{begin{matrix} x – y = 3 3x – 4y = 4 end{matrix}right.)

    (left{begin{matrix} x – y = 3 3x – 4y = 4 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x = y + 3 3(y+3) – 4y = 4 end{matrix}right.)

    • Nhân cả hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
    • Áp dụng quy tắc cộng đại số để được phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 ( phương trình một ẩn)
    • Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

    (Leftrightarrow left{begin{matrix} x = y + 3 3y + 9 – 4y = 4 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x = y + 3 y = 5 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 8 y = 5 end{matrix}right.)

    Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (8;5)

    Ví dụ 2: Giải phương trình: (left{begin{matrix} x – 5y = 19, (1) 3x + 2y = 6, (2) end{matrix}right.)

    Nhân cả 2 vế của phương trình (1) với 3 ta được: (left{begin{matrix} 3x – 15y = 57 3x + 2y = 6 end{matrix}right.)

    Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có: (-17y = 51 Rightarrow y=-3)

    Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (left{begin{matrix} x = 4 y = -3 end{matrix}right.)

    Một số dạng hệ phương trình đặc biệt

    Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ không đổi.

    Đặt (S = x + y; P = xy, (S^2geq 4P))

    Giải hệ để tìm S và P

    Với mỗi cặp (S;P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình (t^2 – St + P = 0)

    Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: (left{begin{matrix} x + y + 2xy = 2 x^3 + y^3 = 8 end{matrix}right.)

    Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó phương trình trở thành:

    (left{begin{matrix} S + 2P = 2 S(S^2-3P) = 8 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} P= frac{2 – S}{2} S(S^2-frac{6-3S}{2})=8 end{matrix}right.)

    (Rightarrow 2S^3 + 3S^2 – 6S -16 = 0 Leftrightarrow (S-2)(2S^2+7S+8)=0 Leftrightarrow S = 2 Rightarrow P=0)

    • Hệ hai phương trình x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương trình bày trở thành phương trình kia và ngược lại
    • Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
    • Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
    • Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
    • Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn.
    • Giải phương trình một ẩn vừa tìm được rồi suy ra nghiệm của hệ

    Suy ra x, y là nghiệm của phương trình (t^2-2t=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} t = 0 t = 2 end{array}right.)

    Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (0;2) hoặc (2;0)

    Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: (left{begin{matrix} x^2 = 3x + 2y y^2 = 3y + 2x end{matrix}right.)

    Trừ vế với vế của hai phương trình của hệ, ta được:

    (x^2 – y^2 = x-y Leftrightarrow (x-y)(x+y-1) = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=y x=1-y end{array}right.)

    Với (x=y Rightarrow x^2 = 3x Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=0 x=3 end{array}right.)

    Với (x=1-y Rightarrow y^2 = 3y + 2(1-y) Leftrightarrow y^2 -y -2 = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} y=-1 Rightarrow x=0 y= 2 Rightarrow x=-1 end{array}right.)

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) = (0;0), (3;3), (-1;2), (2;-1)

    Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: (left{begin{matrix} f(x;y) = a g(x;y) = b end{matrix}right.)

    Trong đó f(x;y) và g(x;y) là phương trình đẳng cấp bậc hai, với a và b là hằng số.

    Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không

    Nếu x = 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ

    Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình ta khử x rồi giải hệ tìm t

    Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)

    Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx

    Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: (left{begin{matrix} 2x^2 + 3xy + y^2 = 15, (1) x^2 + xy + 2y^2 = 8, (2) end{matrix}right.)

    Khử số hạng tự do từ hệ ta được: (x^2 + 9xy – 22y^2 = 0, (3))

    Đặt x = ty, khi đó ((3) Leftrightarrow y^2(t^2+9t-22) = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} y=0 t=2 t=-11 end{array}right.)

    Với y = 0, hệ có dạng: (left{begin{matrix} 2x^2 = 15 x^2 = 8 end{matrix}right.) vô nghiệm

    Với t = 2, ta được x = 2y ((2) Leftrightarrow y^2 = 1 Leftrightarrow left[begin{array}{l} y_{1} = 1 y_{2} = -1 end{array}right. Rightarrow left[begin{array}{l} left{begin{matrix} x_{1} = 2 y_{1} = 1 end{matrix}right. left{begin{matrix} x_{2} = -2 y_{2} = -1 end{matrix}right. end{array}right.)

    • Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ
    • Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
    • Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
    • Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

    Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm.

    Tác giả: Việt Phương

    --- Bài cũ hơn ---

  • Toán 10 Bài 4: Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Giáo Án Giải Tích 12 Cơ Bản: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Logarit
  • Chương Ii. §6. Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit Chuong Ii 6 Bat Phuong Trinh Mu Va Bat Phuong Trinh Logarit Docx
  • Giải Toán Bằng Máy Tính Casio Fx
  • Hướng Dẫn Giải Toán Bằng Máy Tính Casio Fx 570Vn Plus
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Cực Hay
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Cách Chuyển Về Hệ Phương Trình Hữu Tỉ
  • Kỹ Thuật Sử Dụng Máy Tính Casio, Viancal Để Giải Pt Bậc 4
  • Giải Và Biện Luận Hệ Phương Trình Bậc Nhất
  • Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

    Chuyên đề thi vào 10: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

    Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

    I. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

    + Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa

    + Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn phụ

    + Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số) sau đó kết hợp với điều kiện của ẩn phụ

    + Bước 4: Với mỗi giá trị ẩn phụ tìm được, tìm nghiệm tương ứng của hệ phương trình và kết hợp với điều kiện ban đầu

    II. Bài tập ví dụ giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

    Lời giải:

    a,

    Đặt

    Khi đó hệ (I) trở thành:

    Với

    Với

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

    b,

    Đặt

    Khi đó hệ (I) trở thành:

    Với

    Với

    Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1)

    c,

    Đặt

    Khi đó hệ (I) trở thành:

    Với

    Với

    Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (3; 4)

    d,

    Đặt

    Khi đó hệ (I) trở thành:

    Với

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (0; 1)

    e,

    Đặt

    Hệ (I) trở thành:

    Với

    Với

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 3)

    f,

    Đặt

    Hệ (I) trở thành:

    Với

    Với

    Vậy hệ phương trình có nghiệm

    III. Bài tập tự luyện giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

    11,

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Hệ Pt Bằng Pp Thế Vnxike2 Ppt
  • Chương Iii. §3. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế
  • Các Dạng Toán Về Số Phức, Cách Giải Và Bài Tập
  • Cách Trình Bày Dạng Bài Tự Luận Khi Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất 2 Ẩn
  • Các Dạng Hệ Phương Trình Đặc Biệt
  • §3. Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Nhiều Ẩn

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Và Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Ôn Thi Vào Lớp 10
  • Tài Liệu Phương Trình Chứa Căn File Word Hay Cho Giáo Viên Và Hs
  • Chuyen De Giai He Pt Chua Tham So
  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Có Chứa Tham Số
  • PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

    Phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng: ax + by =c (1) trong đó a, b, c, là các số đã cho, với ab ≠ 0.

    2. Giải và biện luận phương trình ax + by = c (ab ≠ 0)

    + Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 phương trình có vô số nghiệm, mỗi cặp số (x, y), trong đó

    hoặc đều là nghiệm của phương trình.

    Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số y = . Ta cũng gọi đồ thị đó là đường thẳng ax + by = c.

    Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số y = . Ta cũng gọi đồ thị đó là đường thẳng ax + by = c.

    + Nếu a = 0, b ≠ 0 mỗi cặp số (x; y) trong đó là một nghiệm của phương trình.

    Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bằng đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm P(0; ).

    + Nếu a ≠ 0, b = 0, tập nghiệm của phương trình là các cặp số (x, y) trong đó là số tùy ý.

    Đường thẳng x = song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm Q(; 0) biểu diễn tập nghiệm của phương trình.

    3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

    là hệ phương trình có dạng: (I)

    trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

    Một cặp số (x 0; y 0) đồng thời là nghiệm của (1) và của (2) gọi là một nghiệm của hệ (I).

    Có thể giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hay phương pháp cộng đại số.

    Để giải ta dùng phương pháp cộng đặc số để đưa về hệ phương trình tương đương có dạng tam giác hoặc dùng phương pháp thế để đưa về việc giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

    TÀI LIỆU THAM KHẢO

    phương pháp giải hệ phương trình

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đại Số 10/chương Iii/§3. Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Nhiều Ẩn
  • Một Số Ví Dụ Về Phương Trình Bậc Hai Hai Ẩn
  • Giáo Án Thực Hành Giải Toán Trên Máy Tính Casio Fx 570Ms
  • Tiêt 57 Thực Hành Giải Pt B2 Bằng Máy Tính Casio
  • Chuyên Đề Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
  • Chuyên Đề Và Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

    --- Bài mới hơn ---

  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Ôn Thi Vào Lớp 10
  • Tài Liệu Phương Trình Chứa Căn File Word Hay Cho Giáo Viên Và Hs
  • Chuyen De Giai He Pt Chua Tham So
  • Chuyên Đề Hệ Phương Trình Có Chứa Tham Số
  • Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Nâng Cao)
  • HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ

    A. MỤC TIÊU: Học sinh nắm được

    – Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: và Cách giải

    – Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

    B. NỘI DUNG:

    I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

    Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản

    1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:

    Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

    Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

    2.- Bài tập:

    Bài 1: Giải các hệ phương trình

    1) 2) 3) 4)

    Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

    Bài tập:

    1) 2) 3)

    4) 5) 6)

    7) 8)

    Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình

    Phương pháp giải:

    Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x

    Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)

    Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

    i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b

    – Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

    – Nếu b0 thì hệ vô nghiệm

    ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

    Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:

    Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

    4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

    i) Nếu m2 – 4 0 hay m2 thì x =

    Khi đó y = – . Hệ có nghiệm duy nhất: (;-)

    ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

    Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R

    iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm

    Vậy: – Nếu m2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (;-)

    – Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R

    – Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

    Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

    1) 2) 3)

    4) 5) 6)

    DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

    Phương pháp giải:

    Giải hệ phương trình theo tham số

    Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên

    Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

    Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

    HD Giải:

    để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m

    Vậy với m hệ phương trình có nghiệm duy nhất

    Bài 2:

    Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)

    HD:

    Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n

    Định

    --- Bài cũ hơn ---

  • §3. Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Nhiều Ẩn
  • Đại Số 10/chương Iii/§3. Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Nhiều Ẩn
  • Một Số Ví Dụ Về Phương Trình Bậc Hai Hai Ẩn
  • Giáo Án Thực Hành Giải Toán Trên Máy Tính Casio Fx 570Ms
  • Tiêt 57 Thực Hành Giải Pt B2 Bằng Máy Tính Casio
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100