Top 17 # Cách Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Bằng Ma Trận / 2023 Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 12/2022 # Top Trend | Maiphuongus.net

Tính Toán Ma Trận Và Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Mathematica / 2023

Xây dựng các ma trận

Table[f, {i,m}, {j,n}] Xây dựng ma trận cỡ m x n với là hàm của i, j để phát sinh phần tử khi i, j chạy từ 1 tới m, n Table[Random[], {m}, {n}] Sinh ma trận ngẫu nhiên cỡ m x n Sinh ma trận m x n tam giác dưới Array[f, {m,n}] Sinh ma trận m x n các phần tử dạng f[i,j] DiagonalMatrix[{...}] Sinh ma trận đường chéo, các phần tử trên đường chéo ở trong tham số danh sách IdentityMatrix[n] Tạo ma trận đơn vị cấp n Normal[SparseArray[ MatrixForm[] Hiện thị ma trận với định dạng lưới chữ nhật

Ví dụ:

In[1]:=

Table[a[i, j], {i, 2}, {j, 2}]

Out[1]:=

( left( begin{array}{cc} a(1,1) & a(1,2) \ a(2,1) & a(2,2) \ end{array} right) )

Đọc và cập nhật dữ liệu phần tử ma trận

m[[i, j]] Truy cập phần tử ma trận m ở vị trí dòng i, cột j (để đọc hoặc gán) m[[i]] Dòng thứ i của ma trận m (để đọc hoặc gán) m[All,[i]] Cột thứ i của ma trận m (để đọc hoặc gán) Take[m, {i0, i1}, {j0, j1}] Ma trận con từ m (trích từ dòng i0 đến i1, cột j0 đến j1) Tr[m, List] Các phần tử trên đường chéo ArrayRules[m] Những vị trí có giá trị khác 0 của ma trận VectorQ[expr] True nếu expr là một vector MatrixQ[expr] True nếu expr là ma trận Dimensions[expr] Lấy cỡ ma trận

Một số phép toán trên ma trận, vector

Những phép toán dựa trên các hàm Mathematica lấy ma trận (vector, danh sách) làm tham số thì nó sẽ thực hiện trên từng phần tử của ma trận đó.

Ví dụ:

In[1]:=

Sqrt[{a, b, c}]

Out[1]:=

( left{sqrt{a},sqrt{b},sqrt{c}right} )

Tổng hai vector cùng cỡ sẽ thực hiện trên các phần tử tương ứng của 2 vector, nhưng nếu cộng một số với một vector thì số đó cộng với từng phần tử của vector (tương tự cho nhân, chia).

In[1]:=

{a, b} + {c , d}

Out[1]:=

{a + c, b + d}

In[1]:=

c {a, b}

Out[1]:=

{a c, b c}

Nhân hai ma trận

Nhân 2 ma trận thì dùng ký hiệu dấu chấm m . v

In[1]:=

{{a, b}, {c, d}} . {{1, 2}, {3, 4}}

Out[1]:=

{{a + 3 b, 2 a + 4 b}, {c + 3 d, 2 c + 4 d}}

Nghịch đảo ma trận

Inverse[m] tìm ma trận nghịch đảo của ma trận m

In[1]:=

Inverse[{{1, -2}, {3, 2.}}]

Out[1]:=

{{0.25, 0.25}, {-0.375, 0.125}}

Transpose[m] Chuyển trí ma trận Inverse[m] Nghịch đảo ma trận Det[m] Tính định thức ma trận MatrixRank[m] Hạng ma trận m Eigenvalues[m] Trị riệng của m Eigenvectors[m] Vector riêng của m

Giải hệ phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính dạng m . x = b có nghiệm duy nhất khi Det[ m ] != 0, nếu bằng 0 thì vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

LinearSolve[m, b] Giải hệ m . x = b Inverse[m].[b] Tương đương với giải hệ bằng LinearSolve NullSpace[m] Giải hệ m.x = {0 .. 0} (hệ có vector hệ số bằng 0)

Ví dụ:

m = {{1, 5}, {2, 1}} m . {x, y} == {a, b} Solve[%, {x, y}] LinearSolve[m, {a, b}]

Giải Hệ Phương Trình Đại Số Tuyến Tính Bằng Excel / 2023

Sử dụng phương pháp ma trận để giải HPTTT là đơn giản nhất khi sử dụng Excel. HPTTT có dạng:

trong đó A là ma trận hệ số, x là vectơ biến số và b là vectơ kết quả.

HPTTT được biến đổi thành:

Xét hệ ba phương trình ba ẩn sau:

-8×1 + x2 + 2×3 = 0

5×1 + 7×2 – 3×3 = 10 (*)

2×1 + x2 – 2×3 = -2

Hệ ba phương trình này có thể viết dưới dạng ma trận sau:

-8 1 2 x1 0

5 7 3 x2 = 10

2 1 2 x3 -2

* Bước 1: nhập ma trận A vào các ô A6:C8

A6 -8 B6 1 C6 2

A7 5 B7 7 C7 -3

A8 2 B8 1 C8 -2

* Bước 2: nhập vectơ kết quả vào các ô E6:E8

E6 0 E7 10 E8 -2

* Bước 3: chọn các ô A11:C13, gõ công thức: =MINVERSE(A6:C8) và nhấn Ctrl+Shift+Enter để chèn công thức này vào cả vùng được lựa chọn ta thu được ma trận nghịch đảo của ma trận A.

* Bước 4: chọn các ô E11:E13, gõ công thức: =MMULT(A11:C13,E6:E8) và nhấn Ctrl+Shift+Enter để chèn công thức này vào cả vùng được lựa chọn ta thu được nghiệm của hệ ba phương trình trên trong các cột E11:E13 (xem hình 1)

Nghiệm của hệ phương trình là:

x1=1 x2=2 x3=3

Phương Pháp lặp Gauss-Seidel

Hình 2

Bản chất của phép lặp Gauss là nghiệm ở bước lặp i được dùng để tính cho bước lặp i+1 còn bản chất của phép lặp Gauss-Seidel là kết quả tính toán ẩn xk được đưa ngay vào tính toán ẩn xk+1 trong cùng một bước lặp i, đây là một bước cải tiến đáng kể phương pháp Gauss. Ta xem xét việc sử dụng Excel để giải HPTTT theo phương pháp Gauss-Seidel.

Biến đổi hệ phương trình trên ta có:

* Bước 1: chọn Tools – Options – Calculation tab và thay đổi Calculation từ Automatic thành Manual, bỏ chọn Recalculate Before Save, chọn Iterations và đặt Maximum Iteration bằng 1, Maximum change bằng 0,001(xem hình 2).

* Bước 2: trong ô B3 nhập True, trong các ô A8:A10 nhập giá trị 0 (giá trị khởi tạo ban đầu).

* Bước 3: trong ô B8 nhập công thức =(C9+2*C10)/8; trong ô B9 nhập công thức =(10-5*C8+3*C10)/7; trong ô B10 nhập công thức =(2+2*C8+C9)/2

* Bước 4: trong ô C8 nhập công thức =IF(B3=TRUE,A8,B8);trong ô C9 nhập công thức =IF(B3=TRUE,A9,B9); trong ô C10 nhập công thức =IF(B3=TRUE, A10,B10)

Ta thấy các công thức trong cột B tính theo các giá trị trong cột C, các giá trị này lại nhận kết quả tính toán từ cột B, như vậy từ công thức thứ hai trong cột B trở đi có thể sử dụng các giá trị mới tính ở các công thức trên.

* Bước 5: định dạng các ô B8:C10 là Number với ba số thập phân sau dấu phẩy

Hình 3

* Bước 6: khi ô B3 ở trạng thái True nhấn F9 để tính với giá trị khởi tạo ban đầu, sau đó thay đổi trạng thái ô B3 thành False và nhấn F9 để lặp lại quá trình tính toán với các giá trị trong cột C, tiếp tục nhấn F9 cho đến khi các giá trị hội tụ ta nhận được nghiệm của hệ ba phương trình trên trong các ô C8:C10 (xem hình 3).

Trong trường hợp quá nhiều bước lặp nghĩa là phải nhấn nhiều lần F9 (trong ví dụ trên phải lặp 10 bước) thì ta có thể tăng số bước lặp trong một lần nhấn F9 bằng cách chọn Tool s- Options và đặt Maximum Iteration lớn hơn 1.

Phương pháp nghịch đảo ma trận đơn giản nhưng chỉ phù hợp với hệ phương trình có số ẩn không quá lớn (dưới 60 ẩn) với số ẩn lớn hơn nên dùng phương pháp Gauss-Seidel. Ngoài ra còn nhiều phương pháp khác nhưng trong phạm vi bài này không đề cập đến, mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn.

vlhuong@hotmail.com

Ma Trận Bcg Là Gì? Cách Tính Ma Trận Bcg Nhanh Chóng / 2023

Ma trận BCG là gì?

Được tạo bởi Boston Consulting Group , ma trận Boston – còn được gọi là ma trận BCG hoặc ma trận tăng trưởng – cung cấp cho doanh nghiệp một khuôn khổ để phân tích sản phẩm theo tăng trưởng và thị phần. Ma trận đã được sử dụng từ năm 1968 để giúp các công ty hiểu rõ hơn về những sản phẩm nào tốt nhất giúp họ tận dụng cơ hội tăng trưởng thị phần.

1. Con chó: Đây là những sản phẩm có mức tăng trưởng thấp hoặc thị phần.

2. Dấu hỏi: Các sản phẩm ở các thị trường tăng trưởng cao với thị phần thấp.

3. Ngôi sao: Sản phẩm ở các thị trường tăng trưởng cao với thị phần cao.

4. Bò sữa: Sản phẩm ở các thị trường tăng trưởng thấp với thị phần cao.

Cách thiết lập ma trận BCG

Ghép các thành tố trong ma trận, chúng ta có những kết luận như sau:

1. Ngôi sao: Đại diện cho những sản phẩm có thể cạnh tranh tốt trên thị trường, vốn có những đối thủ cạnh tranh mạnh khác. Thường các sản phẩm thuộc góc phần tư này cần nguồn đầu tư khủng để duy trì tốc độ tăng trưởng của nó.

Khi tốc độ tăng trưởng của sản phẩm suy giảm, sản phẩm sẽ trở thành bò sữa nếu nó vẫn duy trì lượng thị phần lớn trên thị trường.

2. Bò sữa: Đại diện cho những sản phẩm có tốc độ tăng trưởng thấp, nhưng vẫn chiếm thị phần lớn trên thị trường. Ở góc phần tư này, sản phẩm đã có chỗ đứng vững chắc trong lòng khách hàng, nên nó chỉ cần khoản đầu tư vừa đủ để duy trì lợi thế cạnh tranh.

Tất nhiên, doanh nghiệp cần phải duy trì chỗ đứng của sản phẩm thuộc khu vực này, để có nguồn lợi nhuận tốt để có tiền đầu tư cho các ngôi sao.

3. Dấu hỏi: Đại diện cho những sản phẩm nằm ở thị trường có tốc độ tăng trưởng cao, nhưng lại chỉ chiếm thị phần hạn hẹp. Vấn đề ở đây là sản phẩm này có thể có tiềm năng trong tương lai, nhưng lại cần khoản đầu tư tương đối để cạnh tranh với những đối thủ mạnh ngoài kia.

4. Chó (hay còn gọi là chó mực trong một số tài liệu): Đại diện cho những sản phẩm rơi vào thị trường kém hấp dẫn, có thị phần thấp trong các thị trường đó. Thường với những sản phẩm này, doanh nghiệp hiếm khi đầu tư tiền bạc vào chúng. Nếu có chăng, họ chỉ cố gắng thu hồi đủ vốn để kịp thời rút lui.

Ưu điểm và nhược điểm

Lợi ích của ma trận BCG:

Dễ thực hiện;

Nó là điểm khởi đầu tốt để phân tích kỹ lưỡng hơn.

Kinh doanh chỉ có thể được phân loại thành bốn góc phần tư. Có thể khó hiểu khi phân loại một đơn vị kinh doanh rơi ngay giữa.

Nó không định nghĩa ‘thị trường’ là gì. Các doanh nghiệp có thể được phân loại là những bò sữa, trong khi chúng thực sự là những con chó, hoặc ngược lại.

Không bao gồm các yếu tố bên ngoài khác có thể thay đổi hoàn toàn tình hình.

Thị phần và tăng trưởng ngành không phải là yếu tố duy nhất của lợi nhuận. Bên cạnh đó, thị phần cao không có nghĩa nhất thiết là lợi nhuận cao.

Nó phủ nhận sự cộng hưởng giữa các đơn vị khác nhau cùng tồn tại. Chó có thể quan trọng như bò sữa đối với các doanh nghiệp nếu nó giúp đạt được lợi thế cạnh tranh cho phần còn lại của công ty.

Cách tính ma trận BCG nhanh chóng

Ví dụ ma trận BCG

Ma trận  BCG của Vinamilk

SBU Thị phần SBU(%) Thị phần đối thủ cạnh tranh (%) Mức thị phần tương đối trong ngành (%) Mức tăng trưởng của doanh số bán hàng trong ngành (%) Doanh thu (Nghìn tỷ VNĐ)

Sữa nước 50 33 1.52 21 9296.55

Sữa bột 30 24 1.25 23 7702.86

Sữa đặc 75 25 3.00 10 4515.47

SBU sữa bột

Sữa bột của Vinamilk chiếm 30% thị phần nhưng thị trường tiêu thụ sản phẩm sữa bột của Vinamilk chủ yếu ở khu vực nông thôn. Ở các thành phố lớn, thị phần của sữa bột Vinamilk gặp phải sự cạnh tranh lớn từ các hãng sữa nước ngoài do tâm lý tiêu dùng của người dân thành thị ưa chuộng hàng ngoại.

Tuy nhiên, nhóm sản phẩm sữa bột của Vinamilk ngày càng đa dạng để đáp ứng với nhu cầu thực tế về phân khúc khách hàng và đối tượng khách hàng mục tiêu, không chỉ giới hạn ở đối tượng trẻ em mà còn đã được mở rộng sang nhiều đối tượng như phụ nữ mang thai, người lớn tuổi, người bị bệnh tiểu đường, người thừa cân, béo phì. Chính vì vậy, đây vẫn sẽ là lợi thế không nhỏ giúp Vinamilk tiếp tục nắm giữ thị phần.

SBU sữa nước

SBU sữa nước tiếp tục là mặt hàng chủ lực, chiếm tỷ trọng lớn nhất trong tổng doanh thu của Vinamilk. Năm 2012, thị trường sữa nước (sữa pha sẵn) vẫn do Vinamilk và Friesland Campina nắm giữ. Với lợi thế hơn về dòng sản phẩm sữa tươi tiệt trùng 100%, được sản xuất theo chu trình khép kín từ khâu chăn nuôi, thu mua, chế biến và đóng gói; sữa nước vẫn là phân khúc mang lại nhiều cơ hội và lợi nhuận cho Vinamilk.

SBU sữa đặc

SBU sữa đặc của Vinamilk xuất hiện khá sớm và cho đến giờ vẫn có chỗ đứng nhất định trên thị trường. SBU sữa đặc là dòng sản phẩm có thị phần cao nhưng mức tăng trưởng thấp nên cần có chính sách đầu tư thích hợp

Giải pháp: Vinamilk nên tiếp tục duy trì đầu tư, đẩy mạnh các sản phẩm hướng tới đối tượng khách hàng bình dân và cách kênh phân phối sản phẩm.

Ví dụ ma trận BCG của Apple

Bò tiền mặt

Trong những năm qua iTunes, MacBook và iMac đã đạt được vị trí trở thành một Cash Cow cho công ty.

Công ty đã tự tạo ra một phân khúc thích hợp và có cơ sở của những người trung thành chỉ thích các sản phẩm của Apple.

Sao

Các đơn vị kinh doanh đại diện cho ngôi sao của một tổ chức cũng chia sẻ tính năng có thị phần cao, nhưng điều khiến họ khác biệt so với bò tiền là ngành công nghiệp tương ứng của họ vẫn có thể mở rộng hơn nữa.

Đối với Apple, iPhone của họ chắc chắn là Ngôi sao cho họ. Với mỗi lần ra mắt mới của Apple iPhone, công ty quản lý để thiết lập các kỷ lục bán hàng mới.

Biết về sức mạnh thiết kế và công nghệ của mình, iPhone của Apple có tập hợp những người trung thành của riêng mình nhờ đó nó dễ dàng xoay sở để thoát khỏi sự cạnh tranh có sẵn trên thị trường.

Apple iPad và Apple Smartwatch  cũng được coi là Ngôi sao cho công ty và hiện đang trong quá trình chuyển đổi để trở thành Cows Cash cho công ty.

Dấu chấm hỏi

Apple TV kiếm được một ít tiền, nhưng nó không đạt được tiềm năng thực sự của nó.

Nếu Apple có thể giải quyết một vài vấn đề về hệ sinh thái, họ thực sự có thể sở hữu không gian TV. Có rất nhiều tin đồn về một sản phẩm Apple TV có thể có thể chiếm ưu thế như iPod / iPhone / i Pad

Loài chó

Chó là những sản phẩm được cho là có tiềm năng phát triển nhưng không thể tạo ra phép màu do sự tăng trưởng thị trường chậm.

Apple iPod được coi là thứ lớn tiếp theo khi chúng được giới thiệu trên thị trường nhưng cuối cùng không tạo được tác động đáng kể do cạnh tranh cao và nhu cầu khách hàng thấp.

Ý nghĩa của ma trận BCG

Ma trận BCG 

là một công cụ

hữu ích

 giúp 

phân bổ

 nguồn đầu tư cho 

công ty

 một 

bí quyết

hợp lý

.

Ma trận BCG là một lát cắt nhỏ của bức tranh tổng quan về

vấn đề

 hiện tại 

của công ty

.

Ma trận BCG ít có

thành quả

dự báo

 cho tương lai.

Ma trận BCG sẽ

có những

 sai sót dựa trên những giả định được 

xác định

 từ ma trận.

Chú ý

 khi 

dùng

 ma trận BCG

Thị trường phát triển cũng

có thể là

 thước đo không 

đầy đủ

 về tính hấp dẫn của thị trường.

Thị trường

chia sẻ

 là thước đo về 

năng lực

sản sinh ra

tiền bạc

mặt hàng

.

Nếu như

 chỉ 

tập trung vào

Thị trường phát triển và Thị trường chia sẻ sẽ 

làm cho

công ty

quên

 đi 

những yếu tố

 khác giúp 

ảnh hưởng

 tới sự 

phát triển

bền vững

 của 

sản phẩm

.

Hữu Đệ – Tổng hợp và edit

Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 Es Plus / 2023

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 1 Bí Kíp Công Phá Kì Thi THPT Quốc Gia Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 ES PLUS Version 2.0 I, Giới thiệu Xin chào tất cả các em! Khi các em đang đọc những dòng này là các em đang nắm trên tay bí kíp giải hệ phương trình giúp tăng khả năng lấy điểm thứ 9 của các em một cách dễ dàng hơn. Hi vọng, sau khi đọc xong tài liệu này, các em sẽ cảm thấy Hệ Phương Trình thật đơn giản và không còn thấy sợ câu thứ 9 này nữa. Ở phiên bản 2.0 này anh sẽ bổ sung, sửa đổi, hoàn thiện, nâng cấp rất nhiều vấn đề của version 1.0 II, Lý do chọn đề tài Có rất nhiều em gửi thắc mắc tới anh : "tại sao anh lại giải câu hệ như vậy ?" đó cũng là câu hỏi anh đã từng băn khoăn hồi còn ôn thi như các em, mà không một thầy giáo nào giải thích cho anh cả, anh phải tự mò mẫm cho mình 1 lý do, các thầy chỉ dạy cho mình phương pháp làm là chính chứ rất ít khi các thầy giải thích tại sao và thường chỉ đưa ra dấu hiệu là người ta cho thế này thì mình làm thế này. Nhưng hôm nay, anh sẽ trình bày với các em một hướng đi mới trong việc công pháp điểm thứ 9 này với máy tính fx 570 ES PLUS, đảm bảo học xong các em ở mức Trung Bình - khá chăm chỉ 1 chút cũng sẽ làm được, thực tế là sau khi anh phát hành version 1.0 đã khá nhiều bạn quay lại cảm ơn anh, vì đã làm thành công nhiều hệ phương trình. III, Yêu cầu chung 1. Có tinh thần Quyết tâm đỗ Đại Học !!! 2. Có kiến thức căn bản sử dụng các phương pháp thế, đưa về phương trình tích, phương pháp hàm số, phương pháp đánh giá... Ví dụ như: Đưa về phương trình tích 0 . 0 0 A A B B      Phương pháp hàm số: ( ) ( )f x f y mà hàm f đồng biến ( nghịch biến) trên đoạn  ;a b và  , ;x y a b Thì phương trình có nghiệm duy nhất là x = y Phương pháp đánh giá: thường là sử dụng BĐT Cô-Si vì BĐT này có trong SGK lớp 10 Ta có : , 0; 2a b a b ab    3. Có 1 chiếc máy tính có tính năng SOLVE : fx 570 es plus, fx 570 es, .... Lý do anh chọn Fx 570 ES PLUS vì đây là máy tính hiện đại nhất được mang vào phòng thi bây giờ và là bản nâng cấp của fx 570 es nên sẽ cho tốc độ cao hơn chút và có một số tính năng mới. IV, Nội Dung Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác kh on gb oc uo .co m Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 2 Anh sẽ hướng dẫn các em công phá tất cả các hệ phương trình từ 2010 cho tới nay bằng máy fx 570 es plus theo cách tự nhiên và dễ hiểu nhất. * Đường lối chung để giải 1 hệ phương trình : Vậy vai trò của máy ở đây là gì ? Máy tính sẽ giúp ta làm chủ cuộc chơi chứ không phải tác giả nữa, tức là nhờ máy ta sẽ tìm được mối quan hệ ở Bước 2 để áp dụng phương pháp cho thích hợp, tránh hiện tượng "mò", và ở Bước 3 cũng vậy. Vai trò chính là giúp ta định hướng cách làm nhanh hơn.  Nội dung chính của tài liệu này: (Anh chỉ bám sát nội dung thi, không đi quá xa đà vào những hệ quá khó, quá phức tạp so với đề thi) Anh sẽ chia ra làm 2 dạng cơ bản : 1. Từ 1 phương trình là đã tìm luôn được quy luật ( 90% Đề thi thử và ĐH cho dạng này) Biểu hiện: khi cho Y nguyên thì X, 2X tìm được là số nguyên 2. Phải kết hợp 2 phương trình thì mới tìm ra được quy luật ( một số đề thi thử cho) Biểu hiện là cho Y nguyên nhưng được X, 2X rất lẻ Muốn tìm được quy luật giữa x và y của dạng này các em cần kết hợp 2 phương trình như cộng trừ 2 vế để khử số hạng tự do. *Sau khi tìm được mối liên hệ giữa X và Y thế vào 1 phương trình còn lại thì lại có 2 khả năng chính a. Bấm máy phương trình ra nghiệm đẹp : vậy là xác suất 90% xử lý được b. Bấm máy phương trình ra nghiệm xấu: Từ 1 trong 2 phương trình, hoặc phức tạp hơn là phải kết hợp 2 phương trình Mối quan hệ giữa x và y (muốn làm được điều này thì các em phải dùng các pp thế, đưa về phương trình tích, ẩn phụ, hàm số, đánh giá.) Thế vào 1 trong các phương trình để đưa về phương trình 1 ẩn, có thể là giải được luôn, hoặc có thể là một phương trình chứa căn phải dùng thêm phương pháp mới giải được, tùy vào mức độ đề thi Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác ho gb oc uo .co m Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 3 thường đề ĐH họ chỉ cho nghiệm xấu dạng a a b c       là những nghiệm của phương trình bậc 2, muốn xử lý được ta phải áp dụng định lý Vi-et đảo, anh sẽ nói rõ trong bài tập. Với phương pháp này các em có thể xử lý được 90% các hệ trong đề thi thử THPT Quốc Gia và đề thi chính thức, phương pháp này còn giúp chúng ta luyện giải phương trình vô tỷ rất tốt, thậm chí là bất phương trình vô tỉ. Nhưng phương pháp nào cũng có giới hạn của nó, có điểm mạnh điểm yếu riêng, anh sẽ trình bày cụ thể trong quá trình giải bài. *Dạng 1: Các mối quan hệ được rút ra từ 1 phương trình * Các ví dụ Ví dụ 1: (CĐ-2014) Giải hệ phương trình sau 2 2 2 2 x xy y 7 (x, y R) x xy 2y x 2y           * Nhận xét chung: Hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn, điều đặc biệt là ở chỗ 1 phương trình có thể biến đổi được còn 1 phương trình thì không có gì mà biến đổi, nhìn qua thì các em thấy như vậy Vậy dàn ý chung là: từ phương trình biến đổi được đưa ra mối quan hệ x và y rồi thế vào phương trình không biến đổi được Bằng giác quan ta sẽ tìm các nào đó để xử lý phương trình số 2, các em đa số là sẽ cứ viết dùng đủ mọi cách nhóm và rồi tự biến đổi mò 1 lúc thì nó ra mối quan hệ x và y. Nhưng anh sẽ trình bày 1 phương pháp sử dụng máy tính để tìm mối liên hệ như sau: Sử dụng tính năng Solve: Các em biến đổi phương trình 2 về hết 1 vế : 2 2X XY 2Y X 2Y 0     Ấn trên máy: Alpha X 2x - Alpha X Alpha Y - 2 Alpha Y 2x Alpha + alpha X - 2 alpha Y ( không cần ấn = 0, khác version 1.0) Giải thích "Alpha X, Alpha Y" là gọi biến X, biến Y nhưng với máy tính thì mặc định X là biến, Y là tham số Sau đó các em bấm: Shift Solve Máy hiện : Y?  tức là máy hỏi ban đầu cho tham số Y bằng mấy để còn tìm X Các em khởi tạo giá trị ban đầu cho Y là 0 bằng cách nhập: 0 = Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác k on gb oc uo c.c om Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 4 Bây giờ máy sẽ xử lý Máy hiện: X = 0 tức là khi y=0 thì có nghiệm x=0 -R= 0 sai số của nghiệm là 0 Rồi vậy là được Y=0 thì X=0 Tiếp theo các em ấn "mũi tên chỉ sang trái" để quay trở về phương trình Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1, X=0 Thì máy lại tính ra X = 2 Cứ như vậy tới Y=5, X =0 ta được bảng giá trị sau: Bảng 1: Y 0 1 2 3 4 5 X 0 2 -3 -4 -5 -6 *Cách 2: phức tạp hơn nhưng kiểm soát được toàn bộ nghiệm Với Y = 0 ta đã tìm được 1 nghiệm X = 0 Để xem phương trình có còn nghiệm nào khác không các em làm như sau: Ấn mũi tên sang ngang sửa phương trình thành: 2 2(X XY 2Y X 2Y): (X 0)     Phương trình này để bỏ nghiệm vừa tìm được và tìm nghiệm mới. Sau đó lại bấm như ban đầu thì được X = -1 Sau đó lại ấn 2 2X XY 2Y X 2Y (X 0)(X 1)       Sau đó lại bấm giải nghiệm thì máy báo " Can't solve" tức là vô nghiệm hay hết nghiệm rồi Vậy là được Y=0 thì X=0, X = -1 Tiếp theo các em ấn "mũi tên chỉ sang trái" để quay trở về phương trình Ta lại phải sửa phương trình thành: 2 2X XY 2Y X 2Y    Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1, X=0 Thì máy lại tính ra X = 2 hoặc -2 Cứ như vậy tới Y=5 thì được các kết quả như sau: Bảng 2: Y 0 1 2 3 4 5 X 0 hoặc -1 2 hoặc -2 -3 hoặc 4 -4 hoặc 6 -5 hoặc 8 -6 hoặc 10 Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác kh on bo cu oc .co m Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 5 Cách 2 này tuy đẩy đủ nhưng sẽ rất mất thời gian chỉnh sửa phương trình nên trong tài liệu đa phần anh sẽ giải bằng cách 1, vì những bài thi ĐH không quá phức tạp *Cách 3: Để tìm nghiệm khác ngoài 1 nghiệm tìm được Ví dụ khi Y=0, lúc máy hỏi " Solve for X" Các em ấn 0 = sẽ tìm được nghiệm X = 0 Các em ấn "-9=" thì sẽ được nghiệm X = -1 Các em ấn "9=" thì sẽ được nghiệm X=0 Vậy là ta đã tìm được ngay 2 nghiệm X = -1 và X =0 khi Y= 0 Anh rất hay dùng cách 1 cho hệ và cách 3 cho phương trình 1 ẩn, để tăng tốc độ làm bài Các kết quả này hoàn toàn là do máy, từ bảng 1 ta thấy khi Y = 2 tới Y=5 anh thấy nó xuất hiện 1 quy luật gì đó Tại Y=0, Y=1 không xuất hiện quy luật do có nhân tử khác gây nhiễu bởi vì tính năng Solve là tính năng dò nghiệm theo công thức Newton nên nó sẽ tìm nghiệm gần với giá trị biến hiện tại của X , ở đây các TH chúng ta đều khởi tạo giá trị ban đầu X = 0. Từ Y=2 anh thấy nó xuất hiện 1 quy luật gì đó, dễ dàng nhận thấy là x+y+1 = 0 Vậy anh sẽ biến đổi phương trình 2 theo xem được không: Thêm bớt để ép nhân tử : 2 2 2 2 2 x xy 2y x 2y x xy 2y x 2y 0 x(x y 1) 2xy 2y 2y 0 x(x y 1) 2y(x y 1) 0 (x 2y)(x y 1) 0                               Vậy nghiệm vừa nãy bị nhiễu là do x-2y =0 Còn lại thì dễ dàng rồi nào: 2 ( 1) x y x y      thế vào phương trình đầu tiên * x=2y thì: 2 2 24 2 7 1y y y y      Anh nói thì dài thôi chứ lúc làm thì nhanh lắm!!! Như vậy là anh vừa trình bày chi tiết cách giải 1 bài hệ bằng máy tính casio fx-570 ES Plus nhưng bài trên là 1 bài dễ và chưa sử dụng một ứng dụng chính của Solve là tìm nghiệm phương trình 1 ẩn dù nó có phức tạp tới đâu. Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác k on gb oc uo c.c om Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 6  Nhận xét chung Thấy ngay phương trình số 2 khó biến đổi, phương trình 1 có vẻ dễ hơn , vậy ta thử xem nào Lưu ý ở bài này: điều kiện pt 1 là x y bởi vậy lúc khởi tạo giá trị ban đầu " Solve for X" các em phải nhập số lớn hơn Y, chẳng hạn là "9=" . Tại sao lại thế ? Vì nếu em cho Y = 3 mà giá trị ban đầu X = 2 thì máy sẽ có 2 kiểu dò nghiệm 1 là : 2 2,1 2,2 2,3 ....    2 là : .... 1,7 1,8 1,9 2    Nhưng đi theo đường nào thì x y cũng không xác định ngay, do đó máy dừng dò nghiệm và báo "Can't Solve" Do đó phải khởi tạo giá trị ban đầu của X lớn hơn Y Các em làm tương tự, anh cho kết quả luôn: Y 0 1 2 3 4 5 X 1 2 3 4 5 6 Dựa vào bảng ta thấy luôn : 1x y  hoặc 1x y  Vậy là đầu tiên anh đi theo hướng "x-y-1=0" trước vì vế phải có sẵn rồi kìa, chỉ cần biến đổi những số còn lại xem có được không là chuyển hướng luôn (1 y) x y x 2 (x y 1) y (1 y) x y x 2 (x y 1) y 0 (1 y) x y (x y 1) (y 1) (x y 1) y 0 (1 y) x y 1 (x y 1) 1 y 0                                             Tới đây phải nói là quá may mắn    (1 )( 1) 1 1 0 1 0 1 11 0 pt y x y y x y x y x y yy                         Ví dụ 2: (ĐH-B-2014) Giải hệ phương trình 2 (1 y) x y x 2 (x y 1) y 2y 3x 6y 1 2 x 2y 4x 5y 3                  (x, y là các số thực) Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c.c om Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 7 Thế vào phương trình 2 ta được: Với y = 1 thì 9-3x =0  x=3 Với y = x - 1 2 2 2 3( 1) 6 1 2 1 1 2 3 2 1 y y y y y y y y              Điều kiện ban đầu 0y  mà bây giờ lại có 1y  Vậy  0;1y Dễ thấy VT đồng biến với điều kiện trên, VP thì nghịch biến, các em tính đạo hàm ra sẽ thấy nên nếu phương trình có nghiệm thì sẽ là nghiệm duy nhất Thử bấm máy xem nào: 2 alpha X 2x + 3 alpha X -2 Alpha = 1- alpha X Sau đó bấm Shift solve 0 ,5 = Ta đang tìm X trong khoảng [0;1] mà nên phải khởi tại giá trị ban đầu X = 0,5 chẳng hạn được X=0,618033.. Nếu x nguyên thì xong rồi đó nhưng đằng này có vẻ không còn may mắn nữa. Vậy Bộ Giáo Dục cố tình ra nghiệm lẻ để làm khó ta, nhưng anh đã có cách Ta thử bình phương nghiệm X đó lên xem có đẹp không nhưng câu trả lời là không! Hi vọng nghiệm này không quá xấu, nó có dạng a b c  là dạng nghiệm của phương trình bậc 2 thì ta sẽ giải quyết được. *Tư duy ở đây là: phương trình trên nếu bình phương lên sẽ ra bậc 4 đầy đủ nên có thể phân tích được thành: 2 2 ' '(x )( )Sx P x S x P    Do đó anh chỉ cần tìm được 1 nhân tử 2(x )Sx P  là xong, vậy ta cần tìm 3 trong 4 nghiệm Về lý thuyết là vậy nhưng thực tế anh tìm cả 4 nghiệm luôn Bản chất của phương trình trên là bậc 4 nên ta sẽ bình phương lên để mất căn rồi chuyển sang 1 vế Các em nhập lại phương trình thành: (2 alpha X 2x + 3 alpha X -2) 2 - (1- alpha X) Các em bấm dấu "=" để lưu phương trình vào máy Sau đó bấm Shift solve 0 = Máy báo X = 0,3228. Sau đó các em bấm RCL X Shift STO A để lưu nghiệm X vừa tìm được vào A Vậy là được 1 nghiệm, để tìm nghiệm thứ 2 ta làm như nhau : Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác kh on g oc uo c.c om Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 8 Nhấn nút đẩy lên 2 lần để tìm phương trình ta đã lưu Đưa mũi tên chỉ sang trái, sửa phương trình thành: ((2 alpha X 2x + 3 alpha X -2) 2 - (1- alpha X)): ( X-A) Sau đó bấm Shift solve Máy hỏi A? 0,3228.. thì các em bấm dấu = Máy hiện "Solve for X" thì các em cũng ấn 0= Máy báo X = 0,6180.... Các em ấm phím đẩy sang trái rồi ấn = để lưu lại phương trình Sau đó các em bấm RCL X Shift STO B để lưu nghiệm X vừa tìm được vào B Vậy đã có nghiệm thứ 2, các em lại ấn nút đẩy lên 2 lần, rồi đẩy sang trái để sửa phương trình tìm nghiệm thứ 3 các em lại sửa thành ((2 alpha X 2x + 3 alpha X -2) 2 - (1- alpha X)) : ( X-A)(X-B) Sau đó bấm Shift solve = = 0= Được nghiệm thứ 3 là : X= -1,61803.. Các em ấm phím đẩy sang trái rồi ấn = để lưu lại phương trình Sau đó các em bấm RCL X Shift STO C để lưu nghiệm X vừa tìm được vào C Tương tự phương trình tìm nghiệm thứ 4 : ((2 alpha X 2x + 3 alpha X -2) 2 - (1- alpha X)) : ( X-A)(X-B)(X-C) Sau đó bấm Shift solve = = = 0= Các em sẽ được nghiệm thứ 4 là : X = -2,3228 Vậy ta đã được 4 nghiệm là A,B,C,X Ta biết rõ ràng là nghiệm B = 0,618 là nghiệm của phương trình ban đầu nên ta sẽ xét các tích BA,BC,BX xem tích nào đẹp Thấy ngay: BC = - 1 và B+C = -1 Vậy phương trình chứa nghiệm B,C này là 2 1x x  ( định lý Vi-et đảo) Đây chính là cách phân tích phương trình bậc 4 thành nhân tử với máy tính Vậy ta sẽ cố nhóm để xuất hiện nhân tử này: với bài thì là 2 1y y  , ép nhân tử như sau: Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c.c om Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 9 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2( 1) 1 0 (1 ) 2( 1) 0 1 1 ( 1)(2 ) 0 1 5 1 5 1 ( ) 2 2 1 0 5 1 ( ) 2 y y y y y y y y y y y y y y y y y y tm x y y y loai                                           Ví dụ 3: (ĐH-AA1-2014) Giải hệ phương trình 2 3 x 12 y y(12 x ) 12 x 8x 1 2 y 2            (x, y là số thực) *Nhận xét chung: Ta thấy phương trình 1 dễ biến đổi hơn phương trình 2 Điều kiện 2 2 12 12 y x     * Anh cho bảng kết quả bấm máy luôn Y 2 3 4 5 6 12 0 X 3,16 3 2,828 2,64 2,44 0 3,464 Nhận xét chung là Y tăng thì X giảm Với Y=2, Y=4, Y=5, Y=6 thì kết quả xấu quá ta thử bình phương lên xem có sử dụng được không Y 2 3 4 5 6 12 0 2X 9,9999 9 8 7 6 0 12 Chứng tỏ các bác ở BGD cũng không làm khó ta lắm Nhận thấy 2 12y x  Căn cứ vào phương trình 1 thì sẽ là 212y x  Làm sao để chứng minh điều này, dễ thấy không thể phân thích thành nhân tử như bài trước được Giờ chỉ còn hàm số và đánh giá mà thôi Do x, y không độc lập lên không dùng hàm số được ( kinh nghiệm nhỏ của anh) Vậy thử đánh giá, mà có 2 tích nên chỉ có Cô-si thôi Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác on gb oc uo c.c om Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 10 Chúng ta dùng chức năng CALC để tính giá trị biểu thức Các em nhập nguyên vế trái vào: 2x 12 y y(12 x )   Alpha X 12 - alpha Y + alpha Y - (12 - alpha X 2x ) Sau đó các em bấm CALC Máy hiện X? em nhập 1 = Máy lại hỏi Y? em nhập vào là 11= hoặc tùy ý X 1 1 2 2 3 3 4 Y 10 11 10 11 8 11 Giá trị hàm 11,9 12 11,7 11,38 10,89 8,7 error Ta nhận thấy 12VT VP  vậy đánh giá là phương pháp đúng đắn Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si ta được: 2 2 2 x (12 y) y (12 x )x 12 y y(12 x ) 12 2 2           Dấu "=" xảy ra khi 22 012 1212 xx y y xy x          Thế vào phương trình 2 ta được: 3 28 1 2 10x x x    Ta bấm máy xem có nghiệm nguyên không , có thì coi như xong Các em bấm như sau: Alpha X Shift 2x -8 Alpha X -1 = 2 10 - alpha X 2x Sau đó ấn Shifl Solve 9= Ra được x=3, tới đây có thể mỉm cười được rồi Ta sẽ biến đổi theo x-3 = 0 3 2 3 2 8 1 2 10 ( 8 3) 2(1 10 ) 0 x x x x x x            Anh ghép 1 với 210 x vì khi nhân liên hợp nó xuất hiện 2 9 ( 3)( 3)x x x    bấm máy cái này Được x=3 và 2 nghiệm xấu nhưng không sao vậy là được rồi Ta tiến hành chia 3 8 3x x  cho (x-3) được 2 3 1x x  Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c.c om Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 11 Vậy ta có: 2 2 2 2 2 2 2 ( 3)( 3 1) 2(1 10 ) 0 9 ( 3)( 3 1) 2. 0 1 10 2( 3) ( 3) 3 1 0 1 10 x x x x x x x x x x x x x x                             Ta có 0x  nên 2 2 2( 3) 3 1 0 1 10 x x x x        Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x=y=3 Ví dụ 4: Đề thi thử THPT Quốc Gia của Sở GD TP. HCM Giải hệ phương trình :   22 2 2 1 2 2 1 y y y x x x y x y y y x               Giải: Khi nhìn vào 2 phương trình này thì ta thấy phương trình số 2 dễ biến đổi hơn phương trình 1, em nào không nhìn ra điều này thì đi thử cả 2 phương trình cũng được. Điều kiện: 2, 0x y  Các em nhập phương trình : 2 1x y x y y y x      như sau: Alpha X + 1 AlphaX AlphaY  + AlphaY AlphaX = Alpha Y 2x + Alpha Y Sau đó các em bấm: Shift Solve máy sẽ hiện " Y?" các em nhập 1 = Máy sẽ hiện " Solve for X" tức là khai báo giá trị ban đầu của X Các em bấm " 0 = " Máy sẽ trả về giá trị nghiệm X = 0,5. Vậy Y = 1 thì X = 0,5 Để tìm nghiệm tiếp với Y=2 thì các em bấm : Shift Solve máy sẽ hiện " Y?" các em nhập 2 = Cứ như vậy với Y = 3,4,5 ta thu được bẳng giá trị sau: Y 1 2 3 4 5 X 0,5 0,333= 1/3 0,25 = 1/4 0,2 = 1/5 0,16666.. =1/6 Truy cập chúng tôi để download thêm các tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c.c om Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS Chuyên đề đặc biệt 12 Dựa vào bảng, ta thấy xuất hiện quy luật : 1 1 0 1 X XY X Y       Ta sẽ ép để xuất hiện nhân tử trên như sau: 2 2 2 3 2 2 2 1 1 0 ( 1) 0 ( 1) ( 1) 0 ( 1)( ) 0(3) x y x y y y x xy x y y y y x xy x x y y x xy xy x x y xy x xy x x y                                Rất may ở bài này chúng ta không bị nhiễu bởi nhân tử 2x y như ở ví dụ 1. Với 2, 0x y  thì 1 0xy x   nên từ (3) ta có : 2x y thế vào phương trình (1) ta c