Top #10 Cách Giải Hệ Bất Phương Trình Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 8/2022 # Top Trend | Maiphuongus.net

Giải Bất Phương Trình? Và Cách Giải Hệ Bất Phương Trình?

--- Bài mới hơn ---

  • Đại Số 10/chương Iv/§2. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn
  • Các Dạng Toán Về Hàm Số Lượng Giác Và Bài Tập Vận Dụng
  • Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
  • 5 Dạng Bài Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Bài 1 “xin Đừng Quên”
  • Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác
  • Ví dụ về bất phương trình:

    2x + 3 ≥ -6

    • Vế trái của bất phương trình: 2x + 3
    • Vế phải của bất phương trình: -6

    Bất phương trình có hai vế không bằng nhau, có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn. Nghiệm của bất phương trình không phải chỉ là một giá trị mà sẽ bao gồm cả một tập hợp giá trị thỏa mãn điều kiện của bất phương trình.

    Có rất nhiều dạng bất phương trình khác nhau như : bất phương trình bậc một, bất phương trình bậc hai, bất phương trình vô tỷ, bất phương trình chứa căn, bất phương trình logarit. Mỗi dạng bài lại có một cách giải bất phương trình khác nhau, tùy theo đặc điểm của bất phương trình.

    Nhưng bên trên mình đã ví dụ cho các bạn một cách dễ hiểu nhất về bất phương trình rồi. Các bạn có thể tham khảo.

    2. Các dạng của bất phương trình:

    * Bất phương trình tương đương

    1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

    * Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

    + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi thì bất phương trình:

    * Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau

    + Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình.

    + Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương.

    + Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu.

    * Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

    Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b ;

    Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng fleft( x right) = a{x^2} + bx + c;(a ne 0).

    Phương pháp giải bất phương trình đại số 1 ấn Phương pháp 1: Lập bảng

    Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu f(x)

    a) b)Giải

      Dấu f(x)

      --- Bài cũ hơn ---

    1. Hạn Tam Tai Là Gì? Cách Hóa Giải Hạn Tam Tai Như Thế Nào?
    2. Cách Hóa Giải Hạn Tam Tai Năm 2022
    3. Cách Hóa Giải Hạn Tam Tai Năm Nhâm Thìn (2012)
    4. Cách Hóa Giải Hạn Tam Tai Năm Quý Tỵ (2013)
    5. Tam Tai Là Gì? Cách Hóa Giải Hạn Tam Tai Năm Mới 2022 Tân Sửu
    6. Toán 10] Bất Phương Và Hệ Bất Phương Trình 1 Ẩn (Kèm Lời Giải)

      --- Bài mới hơn ---

    7. Lý Thuyết Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Toán 11
    8. Bài 2 – 3 – 4 : Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn – Cách Giải
    9. Chuyên Đề Một Số Dạng Bài Tập Sử Dụng Phương Trình Ion Rút Gọn
    10. Sử Dụng Phương Trình Ion Thu Gọn Để Giải Bài Tập Hóa
    11. Phương Pháp Giải Hóa Học
    12. MỤC LỤC

      • BÀI 2_CHƯƠNG 4_ĐẠI SỐ 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 ẨN
        • I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
          • Bất phương trình một ẩn
          • Điều kiện của một bất phương trình
          • Bất phương trình chứa tham số
        • II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
        • III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
          • Bất phương trình tương đương
          • Phép biến đổi tương đương
          • Cộng (trừ)
          • Nhân (chia)
          • Bình phương
          • Chú ý
        • Dạng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CẶP BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
          • a) Phương pháp giải tự luận.
          • b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
          • Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
        • Dạng 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
          • a) Phương pháp giải tự luận.
          • b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
          • Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
        • Dạng 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
          • a) Phương pháp giải tự luận.
          • b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
          • Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
        • Dạng 4: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
          • a) Phương pháp giải tự luận.
          • b) Bài tập vận dụng có chia mức độ

          • Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
        • Dạng 5: TÌM THAM SỐ ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
          • a) Phương pháp giải tự luận.
          • b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
          • Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
        • III – ĐỀ KIỂM TRA 25 CÂU 45 PHÚT CUỐI BÀI
        • HƯỚNG DẪN MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG

      Nếu các em không mình mất thời gian tải và in đề làm bài thì có thể tham gia thi online miễn phí có kèm lời giải chi tiết tại chúng tôi .

      --- Bài cũ hơn ---

    13. Cách Cúng Tam Tai Tại Nhà
    14. Cách Tính Hạn Tháng Hạn Nguyệt Vận Trong Tử Vi Chính Xác
    15. Phương Pháp Luận Đoán Vận Hạn Trong Tử Vi
    16. Một Số Kinh Nghiệm Giải Đoán Vận Hạn
    17. Hạn Địa Võng Là Gì, Tốt Hay Xấu? Chiếu Mệnh Nam Nữ Tuổi Nào Năm 2022
    18. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

      --- Bài mới hơn ---

    19. Giáo Án Đại Số 10
    20. Tìm Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác
    21. “xử Gọn” Bài Tập Tìm Gtln Gtnn Của Hàm Số Lớp 12 Về Lượng Giác
    22. Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Nâng Cao
    23. 200 Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 Có Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
    24. Bài viết hướng dẫn phương pháp xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ứng dụng bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán về kinh tế và đời sống.

      2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

      * Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

      * Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:

      + Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại.

      + Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

      a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $left( d right):text{ 2}x-y=0$, ta có $left( d right)$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

      Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm$Mleft( 1;0 right)$, ta thấy $(1; 0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

      Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $(d)$ và chứa điểm $Mleft( 1;0 right)$ (miền không được tô màu trên hình vẽ).

      a) Vẽ các đường thẳng $left( d right):x+y-2=0$, $left( d’ right):x-3y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

      Xét điểm $text{O}left( 0;0 right)$, thấy $left( 0;0 right)$ không phải là nghiệm của bất phương trình $x+y-2ge 0$ và $x-3y+3le 0.$

      Do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $left( d right)$ và $left( d’ right).$

      Ta có $left( x-y right)left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} right)ge 0$ $Leftrightarrow left( x-y right)left( x+y right)left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} right)ge 0$ $Leftrightarrow left( x-y right)left( x+y right)ge 0$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}

      x-yge 0 \

      x+yge 0 \

      end{matrix} right.$ $(1)$ hoặc $left{ begin{matrix}

      x-yle 0 \

      x+yle 0 \

      end{matrix} right.$ $(2).$

      Như vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình $(1)$ và $(2).$

      Vẽ các đường thẳng $left( d right):x+y=0$, $left( d’ right):x-y=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

      Xét điểm $Mleft( 1;0 right)$, ta có $left( 1;0 right)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ $(1)$ do đó $Mleft( 1;0 right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $(1).$

      Xét điểm $Nleft( -1;0 right)$, ta có $left( -1;0 right)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ $(2)$ do đó $Nleft( -1;0 right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $(2).$

      Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $left( d right)$, $left( d’ right).$

      Ví dụ 5. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại $I$ cần $2$kg nguyên liệu và $30$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $40000$ đồng. Mỗi kg sản phẩm loại $II$ cần $4$kg nguyên liệu và $15$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $30000$ đồng. Xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lợi nhuận cao nhất?

      Phân tích bài toán: Gọi $x$ ($xge 0$) là số kg loại $I$ cần sản xuất, $y$ ($yge 0$) là số kg loại $II$ cần sản xuất.

      Suy ra số nguyên liệu cần dùng là $2x+4y$, thời gian là $30x+15y$, có mức lợi nhuận là $40000x+30000y.$

      Theo giả thiết bài toán xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc suy ra $2x+4yle 200$ hay $x+2y-100le 0$, $30x+15yle 1200$ hay $2x+y-80le 0.$

      Bài toán trở thành: Tìm $x$, $y$ thoả mãn hệ $left{ begin{align}

      & x+2y-100le 0 \

      & 2x+y-80le 0 \

      & xge 0 \

      & yge 0 \

      end{align} right.$ $(*)$ sao cho $Lleft( x;y right)=40000x+30000y$ đạt giá trị lớn nhất.

      Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $left( d right):x+2y-100=0$, $left( d’ right):2x+y-80=0.$

      Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình $(*)$ là phần mặt phẳng (tứ giác) không tô màu trên hình vẽ.

      Bài toán 3. Một công ty cần thuê xe vận chuyển $140$ người và $9$ tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có $10$ xe hiệu MITSUBISHI và $9$ xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở $20$ người và $0,6$ tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở $10$ người và $1,5$ tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là $4$ triệu đồng, một xe hiệu FORD là $3$ triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?

      Bài toán 4 . Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần: Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, … Giả sử số đường có thể chuẩn bị được là $300$kg, đậu là $200$kg, các nguyên liệu khác bao nhiêu cũng có. Sản xuất một cái bánh đậu xanh cần $0,06$kg đường, $0,08$kg đậu và cho lãi $2$ ngàn đồng. Sản xuất một cái bánh dẻo cần $0,07$kg đường, $0,04$kg đậu và cho lãi $1,8$ ngàn đồng. Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về đường, đậu và tổng số lãi thu được là lớn nhất (nếu sản xuất bao nhiêu cũng bán hết)?

      2. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

      Bài toán 1.

      a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $left( d right):x-3y=0$.

      Ta thấy $(1; 0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

      Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $(d)$ và chứa điểm $Mleft( 1;0 right)$ (miền không được tô màu trên hình vẽ).

      . Gọi $x$, $y$ lần lượt là số cái bánh Đậu xanh, bánh Dẻo ($x,yin N$).

      Bài toán trở thành tìm số tự nhiên $x$, $y$ thoả mãn hệ: $left{ begin{align}

      & 6x+7yle 30000 \

      & 2x+yle 5000 \

      end{align} right.$ sao cho $L=2x+1,8y$ lớn nhất.

      Từ đó ta có: $left{ begin{align}

      & x=625 \

      & y=3750 \

      end{align} right.$ thì $L=2x+1,8y$ đạt giá trị lớn nhất.

      Vậy cần $625$ bánh đậu xanh và $3750$ bánh dẻo thì lợi nhuận lớn nhất.

      --- Bài cũ hơn ---

    25. Tam Tai Là Gì? Các Tính Tuổi Tam Tai Hợp Và Giải Hạn Tam Tai
    26. Hạn Tam Tai Là Gì? Các Tuổi Phạm Tam Tai 2022 Và Cách Giải Hạn
    27. Giải Đoán Tiểu Hạn Qua 8 Câu Phú Kinh Điển Trong Tử Vi
    28. Cách Tính Vận Hạn Trong Tử Vi
    29. Luận Đoán Về Đại Hạn Và Tiểu Hạn
    30. Chuyên Đề Lượng Giác: Phương Trình – Bất Phương Trình – Hệ Phương Trình

      --- Bài mới hơn ---

    31. Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
    32. Bất Phương Trình Bậc Hai Và Bất Phương Trình Qui Về Bậc Hai
    33. Cách Giải Phương Trình Logarit Khác Cơ Số
    34. Giải Bất Phương Trình Logarit Bằng Máy Tính Casio – Lingocard.vn
    35. Chuyên Đề Bất Phương Trình Lớp 10 Violet
    36. ThS. Đoàn Vương Nguyên chúng tôi

      CHUYÊN ĐỀ

      LƯỢNG GIÁC

      PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

      A. Biểu diễn cung – góc lượng giác

      Nếu cung (hoặc góc) lượng giác ¼AM có số đo là k2

      n

      p

      a + (hoặc 0 k.360a

      n

      +

      o

      )

      với k Î ¢ , n +Î ¥ thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau.

      Ví dụ 1. Nếu sđ ¼AM k2

      3

      p

      = + p thì có 1 điểm M tại vị trí

      3

      p (ta chọn k = 0).

      Ví dụ 2. Nếu sđ ¼AM k

      6

      p

      = + p thì có 2 điểm M tại các vị trí

      6

      p và 7

      6

      p

      (ta chọn k = 0, k = 1).

      Ví dụ 3. Nếu sđ ¼ 2AM k

      4 3

      p p

      = + thì có 3 điểm M tại các vị trí

      4

      p , 11

      12

      p và 19

      12

      p

      (ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2).

      Ví dụ 4. Nếu sđ ¼ k.360AM 45 k.90 45

      4

      = + = +

      o

      o o o thì có 4 điểm M tại các vị

      trí 450, 1350, 2250 và 3150 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3).

      Ví dụ 5. Tổng hợp hai cung x k

      6

      p

      = – + p và x k

      3

      p

      = + p .

      Giải

      Biểu diễn 2 cung x k

      6

      p

      = – + p

      và x k

      3

      p

      = + p trên đường tròn

      lượng giác ta được 4 điểm

      6

      p

      – ,

      3

      p , 5

      6

      p và 4

      3

      p cách đều nhau.

      Vậy cung tổng hợp là:

      x k

      3 2

      p p

      = + .

      B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

      2

      I. Hàm số lượng giác

      1. Hàm số y = cosx

      1) Miền xác định D = ¡ .

      2) Miền giá trị G = .

      3) Hàm số y = sinx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T 2= p .

      4) (sinx)/ = cosx.

      5) Đồ thị hàm số y = sinx đối xứng qua gốc tọa độ O.

      3. Hàm số y = tgx

      1) Miền xác định { }D k , k2

      p

      = + p Ρ ¢ .

      2) Miền giá trị G = ¡ .

      3) Hàm số y = tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p .

      4) (tgx)/ = 1 + tg2x = 2

      1

      cos x

      .

      5) Đồ thị hàm số y = tgx đối xứng qua gốc tọa độ O.

      3

      4. Hàm số y = cotgx

      1) Miền xác định { }D k , k= p Ρ ¢ .

      2) Miền giá trị G = ¡ .

      3) Hàm số y = cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p .

      4) (cotgx)/ = – (1 + cotg2x) = 2

      1

      sin x

      – .

      5) Đồ thị hàm số y = cotgx đối xứng qua gốc tọa độ O.

      5. Chu kỳ của hàm số lượng giác

      5.1. Định nghĩa

      f(x + T) = f(x).

      4

      Ví dụ 1. Hàm số y = sin5x có chu kỳ 2T

      5

      p

      = vì:

      ( )2sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5×5

      p

      + = + p = .

      Hơn nữa, 2T

      5

      p

      = là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ 2p .

      5.2. Phương pháp giải toán

      5.2.1. Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx)

      Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx), n +Î ¢ có chu kỳ 2T

      n

      p

      = .

      Ví dụ 2. Hàm số y = cos7x có chu kỳ 2T

      7

      p

      = .

      5.2.2. Hàm số xy sin

      n

      = và xy cos

      n

      =

      Hàm số xy sin

      n

      = và xy cos

      n

      = , n +Î ¢ có chu kỳ T n2= p .

      Ví dụ 3. Hàm số xy sin

      3

      = có chu kỳ T 6= p .

      5.2.3. Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx)

      Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx), n +Î ¢ có chu kỳ T

      n

      p

      = .

      Ví dụ 4. Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T

      6

      p

      = .

      5.2.4. Hàm số xy tg

      n

      = và xy cotg

      n

      =

      Hàm số xy tg

      n

      = và xy cotg

      n

      = , n +Î ¢ có chu kỳ T n= p .

      Ví dụ 5. Hàm số xy tg

      3

      = có chu kỳ T 3= p .

      5.2.5. Hàm số y f(x) g(x)= ±

      Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có chu kỳ lần lượt là 1

      m

      T

      n

      = p và 2

      p

      T

      k

      = p .

      Để tìm chu kỳ của hàm số y f(x) g(x)= ± ta thực hiện các bước sau:

      Bước 1. Quy đồng m mk

      n nk

      = , p np

      k nk

      = và tìm bội số chung nhỏ nhất A của mk, np.

      Bước 2. Chu kỳ của y f(x) g(x)= ± là AT

      nk

      = p .

      5

      Ví dụ 6. Tìm chu kỳ của hàm số xy cos3x tg

      3

      = – .

      Giải

      Hàm số y = cos3x, xy tg

      3

      = có chu kỳ lần lượt là 2

      3

      p và 3p .

      Ta có:

      2 2

      BCNN(2; 9)3 3 T 6

      9 3

      3

      3

      p pìï =ïïï Þ = p = píï pï p =ïïî

      .

      Vậy chu kỳ của hàm số xy cos3x tg

      3

      = – là T 6= p .

      II. Phương trình lượng giác cơ bản

      1) cos x cos= a

      x k2

      , k

      x k2

      = a + pé

      êÛ Îê = -a + pêë

      Z

      2) sin x sin= a Û

      x k2

      , k

      x +k2

      = a + pé

      ê Îê = p – a pêë

      Z

      3) tgx tg x k , k= a Û = a + p Î Z

      4) cotgx cotg x k , k= a Û = a + p Î Z

      Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ

      1) cos x 0 x k , k

      2

      p

      = Û = + p Î Z

      2) cos x 1 x k2 , k= Û = p Î Z

      3) cos x 1 x k2 , k= – Û = p + p Î Z

      4) sin x 0 x k , k= Û = p Î Z

      5) sin x 1 x k2 , k

      2

      p

      = Û = + p Î Z

      6) sin x 1 x k2 , k

      2

      p

      = – Û = – + p Î Z

      Ví dụ 1. Xét số nghiệm của phương trình xcos x 0+ =

      p

      .

      Giải

      Ta có x xcos x 0 cos x+ = Û = -

      p p

      (1).

      Suy ra (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx và

      x

      y = -

      p

      (đi qua điểm ( p ; – 1)).

      6

      Dựa vào đồ thị, ta suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

      Ví dụ 2. Giải phương trình:

      (cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3)

      0

      2 cos x 1

      + – -

      =

      +

      (2).

      Giải

      Điều kiện: 22cos x 1 0 x k2

      3

      p

      + ¹ Û ¹ ± + p .

      Ta có:

      cos x 1 x k2

      1

      (2) cos x x k2

      2 3

      tgx 3 x k

      3

      é= -é = p + pêê êê pêêÛ = Û = ± + pêê êê ê pê = ê = + pë êë

      .

      So với điều kiện và tổng hợp

      nghiệm (hình vẽ), phương trình

      (2) có họ nghiệm là:

      2

      x k , k

      3 3

      p p

      = + Î ¢ .

      Chú ý:

      Các họ nghiệm 2x k

      3 3

      p p

      = – +

      và 2x k

      3

      p

      = p + cũng là các họ

      nghiệm của (2).

      III. Các dạng phương trình lượng giác

      1. Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác

      1) acos2x + bcosx + c = 0

      2) asin2x + bsinx + c = 0

      3) atg2x + btgx + c = 0

      4) acotg2x + bcotgx + c = 0

      7

      Phương pháp giải toán

      Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t

      (nếu có).

      Bước 2. Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0.

      Chú ý:

      Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên

      thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm

      (nếu có).

      Ví dụ 1. Giải phương trình 22 sin x sinx 2 0+ – = (1).

      Giải

      Đặt t = sinx, 1 t 1- £ £ ta có:

      2(1) 2t t 2 0Û + – =

      1

      t t 2

      2

      Û = Ú = – (loại)

      sin x sin

      4

      p

      Û =

      3

      x k2 x k2

      4 4

      p p

      Û = + p Ú = + p .

      Vậy (1) có các họ nghiệm

      x k2

      4

      , k

      3

      x k2

      4

      pé = + pê

      ê Îê p

      ê = + p

      ë

      ¢ .

      Ví dụ 2. Giải phương trình 4 45(1 cos x) 2 sin x cos x+ = + – (2).

      Giải

      Ta có:

      2 2 2(2) 3 5 cos x sin x cos x 2cos x 5cos x 2 0Û + = – Û + + = .

      Đặt t = cosx, 1 t 1- £ £ ta suy ra:

      2(2) 2t 5t 2 0Û + + =

      1

      t t 2

      2

      Û = – Ú = – (loại)

      2cos x cos

      3

      p

      Û =

      2

      x k2

      3

      p

      Û = ± + p .

      Vậy (2) có các họ nghiệm 2x k2 , k

      3

      p

      = ± + p Î ¢ .

      Ví dụ 3. Giải phương trình 2

      3

      2 3tgx 6 0

      cos x

      + – = (3).

      Giải

      Điều kiện x k

      2

      p

      ¹ + p , ta có:

      2 2(3) 3(1 tg x) 2 3tgx 6 0 3tg x 2tgx 3 0Û + + – = Û + – = .

      Đặt t = tgx, ta suy ra:

      2(3) 3t 2t 3 0Û + – =

      1

      t t 3

      3

      Û = Ú =

      8

      ( )

      tgx tg x k

      6 6

      x ktgx tg

      33

      p pé é= = + pê ê

      ê êÛ Û ppê ê = – + p= -ê êëë

      (thỏa điều kiện).

      Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều

      nhau.

      Vậy (3) có họ nghiệm là x k , k

      6 2

      p p

      = + Î ¢ .

      Ví dụ 4. Tìm m để phương trình 2sin x sin x m 0- + = (4) có nghiệm thuộc

      đoạn 7;

      6 6

      p pé ù

      ê ú

      ë û

      .

      Giải

      Với 7 1x ; sin x 1

      6 6 2

      p pé ùÎ Þ – £ £ê ú

      ë û

      .

      Đặt t = sinx, ta suy ra:

      2 1(4) m t t, t 1

      2

      Û = – + – £ £ .

      Xét hàm số 2y t t= – + , ta có bảng biến thiên:

      t –1/2 1/2 1

      y

      1/4

      –3/4 0

      Suy ra (4) có nghiệm 7 3 1x ; m

      6 6 4 4

      p pé ùÎ Û – £ £ê ú

      ë û

      .

      Cách khác:

      ( )

      2

      2 1 1(4) t t m m t

      4 2

      Û – = – Û – = – .

      Do ( )

      21 1 1 1

      t 1 1 t 0 t 1

      2 2 2 2

      – £ £ Û – £ – £ Û £ – £ nên:

      1 3 10 m 1 m

      4 4 4

      £ – £ Û – £ £ .

      Ví dụ 5. Tìm m để phương trình tgx mcotgx 2- = (5) có nghiệm.

      Giải

      Cách giải sai:

      Đặt t tgx t 0= Þ ¹ , ta suy ra:

      ( )22

      m

      (5) t 2 m t 2t m t 1 1 1

      t

      Û – = Û = – Û = – – ³ – (a).

      Mặt khác: t 0 m 0¹ Þ ¹ (b).

      Từ (a) và (b) ta suy ra (5) có nghiệm 1 m 0Û – £ ¹ (sai).

      Cách giải đúng:

      9

      Đặt t tgx t 0= Þ ¹ , ta suy ra:

      2m(5) t 2 m t 2t

      t

      Û – = Û = – .

      Xét hàm số 2y t 2t= – , ta có bảng biến thiên:

      t -¥ 0 1 +¥

      y

      +¥ +¥

      0 –1

      Vậy (5) có nghiệm m 1Û ³ – .

      2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx

      asinx + bcosx + c = 0 (*)

      (a và b khác 0)

      Phương pháp giải toán

      Cách 1

      Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt b tg

      a

      = a .

      Bước 2. (*) c csin x tg cos x sin(x ) cos

      a a

      Û + a = Û + a = a .

      Cách 2

      Bước 1. Chia hai vế (*) cho 2 2a b+ và đặt:

      2 2 2 2

      a b

      cos , sin

      a b a b

      = a = a

      + +

      .

      Bước 2.

      (*)

      2 2

      c

      sin x cos cos x sin

      a b

      Û a + a =

      +

      2 2

      c

      sin(x )

      a b

      Û + a =

      +

      .

      Chú ý:

      Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

      a2 + b2 ³ c2

      Ví dụ 1. Giải phương trình 3 sin x cosx 2- = (1).

      Giải

      Cách 1

      1 2 2

      (1) sin x cos x sin x tg cos x

      63 3 3

      p

      Û – = Û – =

      ( ) ( )2sin x cos sin x 16 6 63

      p p p

      Û – = Û – =

      2x k2 x k2 , k

      6 2 3

      p p p

      Û – = + p Û = + p Î ¢ .

      Cách 2

      10

      ( )3 1(1) sin x cos x 1 sin x 12 2 6

      p

      Û – = Û – =

      2x k2 x k2 , k

      6 2 3

      p p p

      Û – = + p Û = + p Î ¢ .

      Vậy (1) có họ nghiệm 2x k2 , k

      3

      p

      = + p Î ¢ .

      Ví dụ 2. Giải phương trình sin 5x 3 cos 5x 2 sin7x+ = (2).

      Cách 1

      (2) sin 5x tg cos5x 2 sin7x

      3

      p

      Û + =

      ( )sin 5x 2cos sin 7×3 3

      p p

      Û + =

      ( )

      7x 5x k2

      3

      sin 5x sin 7x

      23 7x 5x k2

      3

      pé = + + pêp êÛ + = Û ê p

      ê = – + p

      ë

      x k

      6 , k

      x k

      18 6

      pé = + pê

      êÛ Îp pê = +êë

      ¢ .

      Cách 2

      ( )1 3(2) sin 5x cos 5x sin 7x sin 7x sin 5×2 2 3

      p

      Û + = Û = +

      7x 5x k2

      3

      2

      7x 5x k2

      3

      pé = + + pê

      êÛ ê p

      ê = – + p

      ë

      x k

      6 , k

      x k

      18 6

      pé = + pê

      êÛ Îp pê = +êë

      ¢ .

      Vậy (2) có các họ nghiệm

      x k

      6 , k

      x k

      18 6

      pé = + pê

      ê Îp pê = +êë

      ¢ .

      Ví dụ 3. Giải phương trình 3 sin 2x 3 cos2x 4- = – (3).

      Giải

      Do 2 2 23 ( 3) ( 4)+ – < – nên phương trình (3) vô nghiệm.

      Ví dụ 4. Tìm m để phương trình:

      22m cos x 2(m 1)sin x cos x 3m 1 0- – – – = (4) có nghiệm.

      Giải

      Ta có:

      11

      (4) mcos2x (m 1)sin2x 2m 1Û – – = + .

      Suy ra:

      (4) có nghiệm 2 2 2m (m 1) (2m 1) 3 m 0Û + – ³ + Û – £ £ .

      3. Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx

      3.1. Đẳng cấp bậc hai

      asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*)

      Phương pháp giải toán

      Cách 1

      Bước 1. Kiểm tra x k

      2

      p

      = + p có là nghiệm của (*) không.

      Bước 2. Với x k

      2

      p

      ¹ + p , chia hai vế của (*) cho cos2x ta được:

      (*) Û atg2x + btgx + c = 0.

      Cách 2

      Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x

      và cos2x.

      Ví dụ 1. Giải phương trình:

      2( 3 1)sin x ( 3 1)sin x cos x 3 0+ – – – = (1).

      Giải

      Nhận thấy x k

      2

      p

      = + p không thỏa (1).

      Với x k

      2

      p

      ¹ + p , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:

      2 2(1) ( 3 1)tg x ( 3 1)tgx 3(1 tg x) 0Û + – – – + =

      2tg x ( 3 1)tgx 3 0Û – – – =

      x ktgx 1

      4

      tgx 3 tgx k

      3

      pé = – + p= -é êê êÛ Ûê pê=ê = + pë êë

      .

      Vậy các họ nghiệm của (1) là

      x k

      4 , k

      tgx k

      3

      pé = – + pê

      ê Îpê = + pêë

      ¢ .

      Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + 2 3 sinxcosx + 1 = cos2x (2).

      Giải

      ( ) ( )(2) 3 sin2x cos2x 1 sin 2x sin6 6

      p p

      Û – = – Û – = –

      12

      x k2x k2

      6 6

      27 x k2x k2 36 6

      p pé = pé- = – + pê êêÛ Û ê pê p p ê = + pê – = + p êëë

      .

      Cách khác:

      2(2) sin x 3 sin x cos x 0Û + = Û

      sin x 0

      sin x 3 cos x 0

      ê … oán

      Bước 1. Đặt t = sinx + cosx = ( )2 sin x 4

      p

      +

      2 t 2Þ – £ £ và

      2t 1

      sin x cos x

      2

      -

      = .

      Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t.

      Chú ý:

      Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng

      cách đặt t = sinx – cosx.

      Ví dụ 1. Giải phương trình:

      ( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + 2 + 1 = 0 (1).

      Giải

      Đặt t = sinx + cosx 2 t 2Þ – £ £ và sin2x = t2 – 1.

      Thay vào (1) ta được:

      2t ( 2 1)t 2 0 t 1 t 2+ + + = Û = – Ú = – .

      14

      ( )

      ( )

      ( ) ( )

      ( )

      2 sin x 1 sin x sin

      4 4 4(1)

      2 sin x 2 sin x 1

      4 4

      p p pé é+ = – + = -ê ê

      ê êÛ Ûê êp p

      + = – + = -ê ê

      ë ë

      x k2

      x k24 4

      25

      x k2 x k2

      4 4

      3

      x k2 x k2

      4 2 4

      p pé é p+ = – + pê ê = – + pê ê

      ê p p ê

      Û + = + p Û = p + pê ê

      ê ê

      ê êp p pê ê+ = – + p = – + pêê ëë

      .

      Vậy (1) có các họ nghiệm:

      x k2= p + p , x k2

      2

      p

      = – + p , 3x k2

      4

      p

      = – + p (k )Î ¢ .

      Ví dụ 2. Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2).

      Giải

      Đặt t = sinx – cosx 2 t 2Þ – £ £ và

      21 t

      sin x cos x

      2

      -

      = .

      Thay vào (2) ta được:

      2

      2

      t 11 t

      6t 6 t 12t 13 0

      2 t 13

      = -é- ê= – Û + – = Û ê = -êë (loaïi )

      .

      ( ) ( ) ( )(2) 2 sin x 1 sin x sin4 4 4

      p p p

      Û + = – Û + = –

      x k2 x k24 4 2

      5 x k2x k2

      4 4

      p pé p+ = – + p éê = – + pêêÛ Û êê p p ê = p + p+ = + pê ëë

      .

      Vậy (2) có các họ nghiệm x k2= p + p , x k2

      2

      p

      = – + p (k )Î ¢ .

      Ví dụ 3. Tìm m để phương trình m(cos x sin x) sin2x 0- + = (3) có nghiệm

      thuộc khoảng ( ); 4

      p

      p .

      Giải

      Đặt ( ) 2t cos x sin x 2 cos x sin2x 1 t4

      p

      = – = + Þ = – .

      Ta có:

      ( ) ( )5x ; x 1 cos x 04 2 4 4 4

      p p p p p

      Î p Þ < + < Þ – £ + <

      ( )2 2 cos x 0 2 t 04

      p

      Þ – £ + < Þ – £ < .

      15

      Thay vào (3) ta được:

      2 2 1mt 1 t 0 mt t 1 m t

      t

      + – = Û = – Û = – (do t < 0).

      Xét hàm số [ )1f(t) t , t 2; 0

      t

      = – Î – , ta có:

      [ )/ 2

      1

      f (t) 1 0 t 2; 0

      t

      t 0

      2

      f( 2) , lim f(t)

      2 -®

      – = – = +¥ .

      Vậy (3) có nghiệm 2m

      2

      Û ³ – .

      Chú ý:

      Ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số f(t):

      t 2- 0

      /f (t) +

      f(t)

      2

      2

      5. Dạng phương trình khác

      Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi

      để đưa về các dạng đã biết cách giải.

      Ví dụ 1. Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1).

      Giải

      1 1 1 1

      (1) cos 8x cos6x cos8x cos2x

      2 2 2 2

      Û + = +

      x k6x 2x k2 2cos 6x cos2x

      6x 2x k2 x k

      4

      pé == + pé êê êÛ = Û Ûê pê= – + pê =ë êë

      .

      Vậy (1) có họ nghiệm là x k , k

      4

      p

      = Î ¢ .

      Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2).

      Giải

      (2) 2 sin 3x cos x 2 sin 3x cos3x sin 3x(cos 3x cos x) 0Û = Û – =

      x ksin 3x 0 3x k 3

      cos 3x cos x 3x x k2 x k

      2

      pé == = péé êêê êÛ Û Ûêê pê= = ± + pê =ë ë êë

      .

      Vậy (2) có họ nghiệm là x k

      2

      p

      = , x k (k )

      3

      p

      = Î ¢ .

      C. BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

      16

      I. Bất phương trình lượng giác cơ bản

      1. Bất phương trình cơ bản của cosx

      1) cos x cos k2 x k2 , k³ a Û -a + p £ £ a + p Î ¢ (hình vẽ)

      3) cos x cos k2 x 2 k2 , k£ a Û a + p £ £ p – a + p Î ¢

      4) cos x cos k2 x 2 k2 , k< a Û a + p < < p – a + p Î ¢

      2. Bất phương trình cơ bản của sinx

      1) sin x sin k2 x k2 , k³ a Û a + p £ £ p – a + p Î ¢ (hình vẽ)

      3) sin x sin k2 x k2 , k£ a Û -p – a + p £ £ a + p Î ¢

      4) sin x sin k2 x k2 , k< a Û -p – a + p < < a + p Î ¢

      3. Bất phương trình cơ bản của tgx

      17

      1) tgx tg k x k , k

      2

      p

      ³ a Û a + p £ < + p Î ¢ (hình vẽ)

      2) tgx tg k x k , k

      2

      p

      > a Û a + p < < + p Î ¢

      3) tgx tg k x k , k

      2

      p

      £ a Û – + p < £ a + p Î ¢

      4) tgx tg k x k , k

      2

      p

      < a Û – + p < < a + p Î ¢

      4. Bất phương trình cơ bản của cotgx

      1) cotgx cotg k x k , k³ a Û p < £ a + p Î ¢ (hình vẽ)

      3) cotgx cotg k x k , k£ a Û a + p £ < p + p Î ¢

      4) cotgx cotg k x k , k< a Û a + p < < p + p Î ¢

      Chú ý:

      18

      Khi giải bất phương trình lượng giác ta nên vẽ đường tròn lượng giác để chọn

      nghiệm.

      Ví dụ 1. Tìm miền xác định của hàm số y cos2x= .

      Giải

      Ta có:

      cos2x 0 k2 2x k2

      2 2

      p p

      ³ Û – + p £ £ + p

      k x k

      4 4

      p p

      Û – + p £ £ + p .

      Vậy miền xác định là D k ; k , k

      4 4

      p pé ù= – + p + p Îê úë û

      ¢ .

      Ví dụ 2. Tìm miền xác định của hàm số y sin 2x= .

      Giải

      Ta có:

      sin2x 0 k2 2x k2³ Û p £ £ p + p k x k

      2

      p

      Û p £ £ + p .

      Vậy miền xác định là D k ; k , k

      2

      pé ù= p + p Îê úë û

      ¢ .

      Ví dụ 3. Tìm miền xác định của hàm số y tg3x= .

      Giải

      Ta có:

      tg3x 0 k 3x k

      2

      p

      ³ Û p £ < + p k x k

      3 6 3

      p p p

      Û £ < + .

      Vậy miền xác định là )D k ; k , k3 6 3

      p p pé= + Îêë

      ¢ .

      Ví dụ 4. Giải bất phương trình 2sin x

      2

      ³ .

      Giải

      2

      sin x sin x sin

      2 4

      p

      ³ Û ³

      3

      k2 x k2 , k

      4 4

      p p

      Û + p £ £ + p Î ¢ .

      Ví dụ 5. Giải bất phương trình 3cos x

      2

      < – .

      Giải

      3 5

      cos x cos x cos

      2 6

      p

      < – Û <

      5 7

      k2 x k2 , k

      6 6

      p p

      Û + p < < + p Î ¢ .

      19

      Giải

      ( )tgx 1 tgx tg 4

      p

      > – Û > – k x k , k

      4 2

      p p

      Û + p < < + p Î ¢ .

      Ví dụ 7. Giải bất phương trình cotgx 3£ .

      Giải

      cotgx 3 cotgx cotg

      6

      p

      £ Û £ k x k , k

      6

      p

      Û + p £ < p + p Î ¢ .

      Giải

      Ta có :

      ( ) ( ) ( )2 cos x 2 cos x 0 2 sin x sin 04 8 8

      p p p

      ( ) 9sin x 0 k2 x k28 8 8

      p p p

      Chú ý:

      Cách giải sau đây sai:

      ( )

      x k

      2cos x cos x

      4 k2 0

      4

      x k , k 0, k

      2

      p

      Nhận thấy 3x

      2

      p

      = không thỏa bất phương trình.

      Ví dụ 9. Giải bất phương trình 3 1cos x

      2 2

      – £ £ .

      Giải

      Ta có:

      20

      3 1

      cos x

      2 2

      – £ £

      5

      cos cos x cos

      6 3

      p p

      Û £ £

      5

      k2 x k2

      3 6

      7 5

      k2 x k2

      6 3

      p pé + p £ £ + pê

      êÛ ê p pê + p £ £ + pêë

      .

      Ví dụ 10. Giải bất phương trình 1 2sin x

      2 2

      – £ < .

      Giải

      Ta có:

      1 2

      sin x

      2 2

      – £ <

      ( )sin sin x sin6 4

      p p

      Û – £ <

      3

      k2 x k2

      4 4

      5

      k2 x k2

      6 6

      p pé + p < < + pê

      êÛ ê p pê- + p £ £ – + pêë

      .

      Ví dụ 11. Giải bất phương trình (2 cos x 1)(2 cos x 3) 0- – ³ .

      Giải

      Ta có:

      (2 cos x 1)(2 cos x 3) 0- – ³

      1 3

      cos x cos x

      2 2

      Û £ Ú ³

      cos x cos cos x cos

      3 6

      p p

      Û £ Ú ³

      k2 x k2

      6 6

      5

      k2 x k2

      3 3

      p pé- + p £ £ + pê

      êÛ ê p p

      + p £ £ + pê

      ë

      .

      Giải

      Ta có:

      21

      2 3

      sin x sin x

      2 2

      ( )sin x sin 4

      sin x sin

      3

      pé < -ê

      4

      k2 x k2

      3 3

      5 7

      k2 x k2

      4 4

      p pé + p < < + pê

      êÛ ê p pê + p < < + pêë

      .

      Ví dụ 13. Giải bất phương trình 24 sin x 2( 3 1)sin x 3 0- + + £ .

      Giải

      Ta có:

      24 sin x 2( 3 1)sin x 3 0- + + £

      1 3

      sin x

      2 2

      Û £ £

      k2 x k2

      6 3

      2 5

      k2 x k2

      3 6

      p pé + p £ £ + pê

      êÛ ê p p

      ê + p £ £ + p

      ë

      .

      Ví dụ 14. Giải hệ bất phương trình

      1

      cos x

      2

      1

      sin x

      2

      ìï ³ïïïíïï <ïïî

      .

      Giải

      Ta có:

      1

      cos x cos x cos

      2 3

      1 sin x sinsin x 62

      pìï ìï³ ³ï ïï ïï Ûí í pï ïï ï <<ï ïïîïî

      k2 x k2

      3 3

      7

      k2 x k2

      6 6

      p pìï- + p £ £ – + pïïïÛ í p pïï- + p < < + pïïî

      k2 x k2

      3 6

      p p

      Û – + p £ < + p .

      22

      Ví dụ 15. Giải hệ bất phương trình

      cos x 0

      1 2

      sin x

      2 2

      <ìïïïíï- < £ïïî

      .

      Giải

      Ta có:

      cos x 0

      1 2

      sin x

      2 2

      <ìïïïíï- < £ïïî

      3

      k2 x k2

      2 2

      k2 x k2

      6 4

      3 7

      k2 x k2

      4 6

      p pìï + p £ £ + pïïïï p pï éï – + p < £ + pÛ íêï êïï ê p pïï ê + p £ < + pïïî ë

      3 7

      k2 x k2

      4 6

      p p

      Û + p £ < + p .

      II. Hệ phương trình lượng giác

      1. Hệ phương trình 1 ẩn

      Phương pháp giải

      Cách 1

      Giải 1 phương trình và thế nghiệm vào phương trình còn lại.

      Cách 2

      Bước 1. Giải cả hai phương trình độc lập với nhau.

      Bước 2. Nghiệm chung là nghiệm của hệ phương trình.

      Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

      2cos x 1 (1)

      3

      sin2x (2)

      2

      ì =ïïïíï =ïïî

      .

      Giải

      Cách 1

      (1) x k2 x k2

      3 3

      p p

      Û = + p Ú = – + p .

      + Thay x k2

      3

      p

      = + p vào (2) ta được:

      23

      ( )2 3sin k4 sin3 3 2

      p p

      + p = = (nhận).

      + Thay x k2

      3

      p

      = – + p vào (2) ta được:

      ( )2 3sin k4 sin3 3 2

      p p

      – + p = – = – (loại).

      Cách 2

      x k2

      32cos x 1

      x k x k23 6 3sin 2x

      2

      x k

      3

      pìï = ± + pïï=ì ïï ïï p pïï Û = + p Û = + pí íï ï=ï ïï ïî pï = + pïïî

      .

      Vậy hệ phương trình có nghiệm x k2 , k

      3

      p

      = + p Î ¢ .

      Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

      cotgx 1

      2

      sin x

      2

      =ìïïïíï =ïïî

      .

      Giải

      Ta có điều kiện x k¹ p .

      x k

      4cotgx 1

      x k2 x k22 4 4sin x

      2 3

      x k2

      4

      pìïï = + pï= ïìï ïï p pïï ïÛ = + p Û = + pí íï ï=ï ïï ïî pïï = + pïïî

      .

      Vậy hệ phương trình có nghiệm x k2 , k

      4

      p

      = + p Î ¢ .

      Ví dụ 3. Giải phương trình 2cos2x – 3sin25x = 2.

      Giải

      2 2 2 22 cos x 3 sin 5x 2 3 sin 5x 2 sin x 0- = Û + =

      x ksin x 0

      x k

      sin 5x 0 x k

      5

      = pìï=ìï ïï ïÛ Û Û = pí í pï ï= =ï ïî ïî

      .

      Vậy hệ phương trình có nghiệm x k , k= p Î ¢ .

      24

      Chú ý:

      Khi giải hệ phương trình lượng giác 1 ẩn ta nên vẽ đường tròn lượng giác để giao

      nghiệm.

      2. Hệ phương trình 2 ẩn

      Phương pháp giải

      Không có cách giải tổng quát, tùy vào hệ phương trình cụ thể ta dùng phương pháp

      thế hoặc cộng và trừ hai phương trình rồi dùng công thức biến đổi.

      Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

      sin x cos y 1 (1)

      x y (2)

      3

      ì + =ïïïí pï + =ïïî

      .

      Giải

      Ta có:

      x y x y

      (1) 2 sin cos 1

      2 2

      + -

      Û =

      x y x y2 sin cos 1 k2

      6 2 2

      p – -

      Û = Û = p (3).

      Từ (2) và (3), ta suy ra hệ phương trình có nghiệm

      x k2

      6 , k

      y k2

      6

      pìï = + pïï Îí pïï = – pïïî

      ¢ .

      Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

      1

      cos x cos y

      2

      1

      sin x sin y

      2

      ìï =ïïïíïï = -ïïî

      .

      Giải

      Ta có:

      1

      cos x cos y cos x cos y sin x sin y 02

      1 cos x cos y sin x sin y 1

      sin x sin y

      2

      ìï =ï + =ìïïï ïÛí íï ï – =ï ïî= -ïïî

      cos(x y) 0 x y k

      2

      cos(x y) 1 x y m2

      pìïì – = – = + pï ïï ïÛ Ûí íï ï+ = + = pï ïî ïî

      .

      Vậy hệ phương trình có nghiệm

      x (2m k)

      4 2 , (m, k )

      y (2m k)

      4 2

      p pìï = + +ïï Îí p pïï = – + -ïïî

      ¢ .

      25

      Ví dụ 3. Giải hệ phương trình

      2 3

      tgx tgy

      3

      2 3

      cotgx cotgy

      3

      ìïï + =ïïíïï + = -ïïî

      .

      Giải

      Ta có điều kiện :

      x kcos x sin x 0 2

      cos y sin y 0 y m

      2

      pìï ¹¹ ïìï ïï Ûí í pï ï¹ï ï ¹î ïïî

      .

      2 32 3 tgx tgytgx tgy

      33

      1 1 2 32 3

      cotgx cotgy

      tgx tgy 33

      ìì ïï ïï + =+ = ïï ïï Ûí íï ïï ï + = -+ = -ï ïï ïî ïî

      2 3

      tgx tgy

      3

      tgxtgy 1

      ìïï + =ïÛ Þíïï = -ïî

      tgx, tgy là nghiệm của phương trình:

      2

      1tgx 3 tgx

      33X 2X 3 0 1

      tgy tgy 33

      ì ì=ï ï = -ï ïï ï- – = Û Úí íï ï= -ï ï =ï ïî î

      .

      So với điều kiện, hệ phương trình có nghiệm:

      x l x q

      3 6 , (l, q )

      y q y l

      6 3

      p pì ìï ï= + p = – + pï ïï ïÛ Ú Îí íp pï ïï ï= – + p = + pï ïï ïî î

      ¢ .

      ..

      --- Bài cũ hơn ---

    37. Lý Thuyết Phương Trình Chứa Căn Môn Toán Lớp 10
    38. Chuyên Đề 3: Phương Trình Và Bất Phương Trình Chứa Căn Thức
    39. Chuyên Đề Bất Phương Trình
    40. Bài Tập Về Xét Dấu Của Tam Thức Bậc 2, Bất Phương Trình Bậc 2 Và Lời Giải
    41. Thuốc Đông Y Chữa Mát Gan Giải Độc
    42. Các Bài Tập Về Phương Trình, Bất Phương Trình, Hệ Phương Trình

      --- Bài mới hơn ---

    43. Giáo Án Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
    44. Chuyên Đề Phương Trình – Bất Phương Trình Vô Tỉ
    45. Cách Giải Nén File Zip Trên Iphone, Ipad Không Cần Tải Thêm App
    46. Cách Mở Tệp Apk Trên Pc ▷ ➡️ Creative Stop ▷ ➡️
    47. Cách Giải Nén File Rar Bị Đặt Mật Khẩu
    48. KIẾN THỨC CƠ BẢN

      1./ Cho

      2./ Cho tối giản) , ta có

      3./ Cho

      +

      +

      +

      +

      +

      B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

      Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

      ( Chú ý : có nghĩa khi có nghĩa)

      Bước 2: Đưa về cùng cơ số và biến đổi phương trình về một trong các dạng

      sau đây

      Dạng 1:

      Cách giải:

      + Nếu g(x) 0 thì phương trình vô nghiệm

      Dạng 2:

      Cách giải:

      Dạng 3:

      Cách giải: Đặt . Ta có phương trình bậc hai theo t

      giải tìm t thay vào cách đặt tìm x

      Sau khi tìm được x kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của

      phương trình.

      C./ CÁC BÀI TOÁN MẪU

      Bài 1: Giải các phương trình sau:

      a./ b./

      Giải:

      a./

      b./

      Bài 2: Giải các phương trình sau

      a./ b./

      Giải:

      a./

      b./

      Bài 3: Giải các phương trình sau

      a./ b./

      c./

      Giải:

      a./

      b./

      c./

      Đặt , ta có

      D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

      Bài 1: Giải các phương trình sau

      a./ ( ĐS: x=1 hay x=2)

      b./ ( ĐS: x=2)

      c./ e6x – 3e3x +2 = 0 ( ĐS: x = 0 hoaëc )

      d./ ( ĐS: x=1 hay x=2)

      e./ 2 2x+1 – 2 x+3 – 64 = 0 ( ĐS: x=3)

      Bài 2: Giải các phương trình sau ( nâng cao)

      a./ ( ĐS: x=0 hay x=)

      b./ (ĐS: x=0)

      c./ (ĐS: x=1)

      PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

      A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN

      1./ Định nghĩa:

      Suy ra :

      2./ Các công thức: Cho ta có

      +

      +

      + ;

      +

      +

      + ;

      + ;

      B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

      Bước 1: Đặt điều kiện ( Chú ý: Điều kiện cho là )

      Bước 2: Đưa về cùng cơ số và biến đổi về một trong các dạng sau

      Dạng 1:

      Cách giải:

      Dạng 2:

      Cách giải:

      Dạng 3:

      Cách giải: Đặt

      Sau khi tìm được x , kết hợp với điều kiện ta được nghiệm .

      Chú ý: Có thể đặt , trong đólà một biểu thức chứa logarit.

      C./ BÀI TẬP MẪU

      Bài 1: Giải các phương trình sau:

      a./ b./

      c./ d./

      Giải:

      a./ (1)

      ĐK:

      c./ (1) ĐK:

      ( thỏa ĐK)

      Vậy phương trình có nghiệm là x=1

      d./ (1)

      Vậy phương trình có nghiệm là : x=16

      Bài 2: Giải các phương trình sau:

      a./ b./

      c./ d./

      Giải:

      a./

      b./ (1)

      ĐK:

      Đặt: , ta có :

      thỏa (*)

      Vậy phương trình có nghiệm là : x = 3 và x = 5/4.

      c./ (1)

      Đặt: t= lgx , ta có: thỏa (*)

      Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 và x = 107

      d./

      ĐK: (*)

      Đặt: , ta có: . Thỏa (*)

      Vậy phương trình có nghiệm là x=2.

      D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

      Bài 1: Giải các phương trình sau

      1./ ( ĐS: x = )

      2./ ( ĐS: x = 0)

      3./ ( ĐS: x= 3)

      4./ ( ĐS: x=27)

      Bài 2: Giải các phương trình sau ( nâng cao)

      1./ ( ĐS: x=1)

      2./ ( ĐS: )

      3./ ( ĐS: )

      BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

      A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN

      2./ Nếu 0<a<1 thì

      Nếu 00 thì :

      3./ Cách giải bất phương trình bậc nhất và bậc hai.

      Chú ý: Nếu g(x)0 thì: có nghiệm

      B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

      Bước 1. Đặt điều kiện

      Bước 2. Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng sau:

      Dạng 1:

      Cách giải:

      Giải tìm x kết hợp với ĐK ta có nghiệm

      Nếu g(x) 0 thì (1) thỏa ĐK

      Dạng 2:

      Cách giải:

      Giải tìm x kết hợp với ĐK ta có nghiệm

      Dạng 3:

      Giải tìm t , suy ra x, kết hợp ĐK ta có nghiệm.

      C./ BÀI TẬP MẪU

      Bài 1: Giải các bất phương trình sau

      Giải:

      a./

      b./

      c./

      (1)

      Ta có

      Vậy (1)

      Bài 2: Giải các bất phương trình sau

      Giải:

      Đặt . Ta có:

      Đặt . Ta được:

      Chia hai vế cho ta được:

      D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

      Giải các bất phương trình sau

      2./ ĐS: -1<x<0 hay 1<x<2

      3./ ĐS: x<-1 hay -1/2<x<0

      4./ < 0 ĐS: x<1

      5./ ĐS: x<-1

      6./ ĐS: 0<x<2

      BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

      A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN

      Các công thức như phần phương trình logarit, chú ý thêm các công thức sau

      2./ Nếu 0<a<1 và f(x) thì:

      B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

      Bước 1: Đặt điều kiện , chú ý ĐK của là

      Bước 2: Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng sau

      Dạng 1:

      Cách giải:

      .

      Giải tìm x kết hợp với ĐK ta được nghiệm

      Dạng 2:

      Cách giải:

      .

      Giải tìm x kết hợp với ĐK ta có nghiệm.

      Dạng 3: (1)

      Cách giải: Đặt t= . Ta có bất phương trình: .

      Giải bất phương trình tìm t, suy ra x, kết hợp ĐK ta được nghiệm

      C./ BÀI TẬP MẪU

      Bài 1: Giải các bất phương trình sau

      a./ b./

      c./

      Giải:

      a./ (1)

      ĐK:

      Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm là :

      b./ (1)

      ĐK:

      Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm:

      c./ (1)

      ĐK:

      Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm là: 2 < x < 5.

      Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

      a./ b./

      c./

      Giải:

      a./ (1)

      Kết hợp ĐK ta có nghiệm là

      b./ (1)

      ĐK: (*)

      Đặt : ta có :

      . Kết hợp ĐK (*) ta có nghiệm là :

      c./ (1)

      Đặt . Ta có

      Kết hợp ĐK (*). Ta có nghiệm là

      D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

      Giải các bất phương trình sau

      1./ ĐS: x<2

      2./ ĐS: x<39

      3./ ĐS:

      4./ ĐS:

      5./ ĐS: x<2

      6./ ĐS: hay

      HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

      KIẾN THỨC CƠ BẢN

      Các công thức về lũy thừa, logarit

      Cách tìm giao của hai tập hợp số

      PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

      Kết hợp các phương pháp giải phương trình mũ – logarit với các phương pháp giải hệ phương trình đại số như phương pháp thế, cộng đại số, để giải.Chú ý các cách giải thường gặp sau đây

      + Từ một phương trình trong hệ, giải tìm ẩn này theo ẩn kia, thay vào phương trình còn lại

      + Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đại số

      BÀI TẬP MẪU

      Giải các hệ phương trình sau:

      1./ 2./

      3./ 4./

      Giải

      1./ ĐK:

      . Thỏa ĐK (*)

      Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: (5;2) và (2;5).

      2./

      ĐK: Ta có

      Đặt ta có hệ phương trình

      . Thỏa ĐK(*)

      Vậy hệ phương trình có nghiệm là (16; 256)

      3./

      Đặt . Ta có hệ .

      . Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 2; 2).

      4./

      ĐK:

      . Thỏa (*)

      Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 2; 1)

      D./ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

      Giải các hệ phương trình sau:

      1./ ĐS: (5;5)

      2./ ĐS: (0;1) và (2;4)

      3./ ĐS: (1;1) và (9;3)

      --- Bài cũ hơn ---

    49. Đặt Ẩn Phụ Để Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Chứa Căn
    50. Chuyên Đề Bất Phương Trình Lớp 10 Violet
    51. Giải Bất Phương Trình Logarit Bằng Máy Tính Casio – Lingocard.vn
    52. Cách Giải Phương Trình Logarit Khác Cơ Số
    53. Bất Phương Trình Bậc Hai Và Bất Phương Trình Qui Về Bậc Hai
    54. Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 2: Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn

      --- Bài mới hơn ---

    55. Cách Giải Toán Bằng Máy Tính Bỏ Túi Casio Fx
    56. Giải Bài Tập Trang 47, 48 Sgk Toán 8 Tập 2 Bài 19, 20, 21, 22, 23, 24,
    57. Giải Bài Tập Phần Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Sách Giáo Khoa Toán Lớp 8
    58. Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Mũ Và Bài Tập Áp Dụng
    59. Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Tham Số M
    60. Sách giải toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

      Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 80: Cho một ví dụ về bất phương trình một ẩn, chỉ rõ vế trái và vế phải của bất phương trình này

      Lời giải

      2x + 3 ≥ -6

      Vế trái của bất phương trình: 2x + 3

      Vế phải của bất phương trình: -6

      Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 81: Cho bất phương trình 2x ≤ 3.

      a) Trong các số -2; 2 1/2; π; √10 số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình trên ?

      b) Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.

      Lời giải

      a) Các số là nghiệm của bất phương trình trên là: -2;

      Các số không là nghiệm của bất phương trình trên là: 2 1/2; π; √10

      b)2x ≤ 3 ⇔ x ≤ 3/2

      Biểu diễn tập nghiệm trên trục số là:

      Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 2 trang 82: Hai bất phương trình trong ví dụ 1 có tương đương hay không ? Vì sao ?

      Lời giải

      Hai bất phương trình trong VD 1 không tương đương do chúng không có cùng tập nghiệm.

      Bài 1 (trang 87 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

      Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R{0; -1}

      BPT xác định khi

      Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R{-2; 1; 2; 3}

      BPT xác định khi x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ -1.

      Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R{-1}

      Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = (-∞; 1] {-4}.

      Bài 2 (trang 88 SGK Đại Số 10): Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:

      Lời giải

      a) Điều kiện xác định x ≥ -8

      b) Tập xác định: D = R.

      c) Tập xác định D = R.

      Ta có:

      Bài 3 (trang 88 SGK Đại Số 10): Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

      b) 2x 2 + 5 ≤ 2x – 1 và 2x 2 – 2x + 6 ≤ 0

      b) Ta có:

      ⇔ 2x 2 + 5 + 1 – 2x ≤ 2x – 1 + 1 – 2x (Cộng cả hai vế của BPT với 1 – 2x).

      ⇔ 2x 2 – 2x + 6 ≤ 0.

      Vậy hai BPT 2x 2 + 5 ≤ 2x – 1 ⇔ 2x 2 – 2x + 6 ≤ 0.

      Bài 4 (trang 88 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau:

      b. (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x 2 – 5

      Lời giải

      a) Tập xác định D = R.

      b) (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x2 – 5

      ⇔ 2×2 – x + 6x – 3 – 3x + 1 ≤ x2 – x + 3x – 3 + x2 – 5

      ⇔ 2×2 + 2x – 2 ≤ 2×2 + 2x – 8

      ⇔ 6 ≤ 0 (Vô lý).

      Vậy BPT vô nghiệm.

      Bài 5 (trang 88 SGK Đại Số 10): Giải hệ bất phương trình sau:

      Lời giải

      a) Tập xác định D = R.

      Giải từng bất phương trình ta có:

      Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là

      b) Tập xác định D = R.

      Giải từng bất phương trình:

      Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là

      --- Bài cũ hơn ---

    61. Dạng Bài Tập Về Áp Dụng Công Thức Giải Bất Phương Trình Lớp 10 Phải Biết
    62. Giải Bài Tập Trang 99 Sgk Đại Số 10 Bài 1, 2, 3
    63. Giải Độc Gan Bằng Thuốc Đông Y?
    64. Một Số Bài Thuốc Hỗ Trợ Giải Độc Gan Bằng Đông Y
    65. Làm Cách Nào Để Giải Độc Gan Tốt Nhất
    66. Đại Số 10/chương Iv/§2. Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn

      --- Bài mới hơn ---

    67. Các Dạng Toán Về Hàm Số Lượng Giác Và Bài Tập Vận Dụng
    68. Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
    69. 5 Dạng Bài Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Bài 1 “xin Đừng Quên”
    70. Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác
    71. Bài Tập Về Các Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Nâng Cao “hiếm Có Khó Tìm”
    72. Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, thì ta phải:

      • Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;
      • Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

      Khái niệm bất phương trình

      Cũng giống như khái niệm phương trình một ẩn, ta có định nghĩa sau về bất phương trình một ẩn:

      Hoạt động 1

      Cho các bất phương trình sau:

      a) 2 x < 3; b) .

      1. Trong các số: , số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình (a).

      2. Giải các bất phương trình (a) và (b), biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phương trình đó trên các trục số khác nhau và dùng các tập con thường dùng để viết các tập nghiệm đó.

      Tương tự như điều kiện của phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để các biểu thức f(x)g(x) có nghĩa là điều kiện xác định của bất phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của bất phương trình).

      Chẳng hạn, điều kiện của bất phương trình:

      Cũng giống như phương trình chứa tham số. Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác, các chữ này được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Tập nghiệm của bất phương trình có thể phụ thuộc vào tham số.

      Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thì bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

      Chẳng hạn:

      • Bất phương trình (2m + 1)x – 3 < 0 có thể được coi là một bất phương trình ẩn x chứa tham số m.
      • Bất phương trình y2 – 2ty + 1 ≥ 0 có thể được coi là một bất phương trình ẩn y chứa tham số t.

      Bất phương trình tương đương

      Giống như phương trình tương đương, ta có:

      f(x) < g(x) f1(x) < g1(x)

      Hoạt động 2

      Các khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

      a)

      b)

      Cũng như với phương trình, để giải một bất phương trình ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình tương đương cho đến khi được bất phương trình đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy, không làm thay đổi tập nghiệm của bất phương trình, được gọi là các phép biến đổi tương đương.

      Mở rộng từ các quy tắc biến đổi bất phương trình đã biết, ta có một số phép biến đổi tương đương sau, thường được sử dụng khi giải bất phương trình.

      Nếu cộng hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) + f(x) với biểu thức -f(x) ta được bất phương trình P(x) – f(x) < Q(x). Do đó:

      Như vậy, chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

      VÍ DỤ 1

      Xét bất phương trình

      Ta có:

      (Biến đổi đồng nhất)

      (Biến đổi đồng nhất)

      Chuyển vế và ( đổi dấu hạng tử)

      (Biến đổi đồng nhất)

      nếu

      nếu

      Bình phương

      nếu

      VÍ DỤ 3

      Giải bất phương trình

      Lời giải

      Vậy nghiệm của bất phương trình là

      Hệ bất phương trình một ẩn

      Có những bài toán yêu cầu tìm các giá trị của ẩn số x thỏa mãn đồng thời nhiều bất phương trình. Nói cách khác, khi đó ta cần giải một hệ bất phương trình ẩn x.

      Mỗi số thực x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình.

      Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

      Hiển nhiên, tập nghiệm của một hệ bất phương trình là giao của tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Do đó:

      Muốn giải hệ bất phương trình một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.

      VÍ DỤ 4

      Giải hệ bất phương trình

      Lời giải

      Biểu diễn trên trục số:

      Tập nghiệm của (1) là:

      Tập nghiệm của (2) là:

      Tập nghiệm của (3) là:

      Vậy tập nghiệm của hệ là: hay còn có thể viết là .

      1. Một bạn lập luận như sau: Do hai vế của bất phương trình luôn không âm nên bình phương hai vế, ta được bất phương trình tương đương . Theo em, lập luận trên có đúng không? Vì sao?

      2. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

      3. Trong hai bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 2 x – 1 ≥ 0:

      4. Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, hãy chọn ra các cặp bất phương trình tương đương (nếu có):

      c) x – 2 ≤ 0 và ≤ 0;

      d) x – 2 ≥ 0 và ≥ 0;

      Tài liệu tham khảo

        Sách in:

        • Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 80.
        • Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006, trang 113 và 117.
        • Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2001, trang 78 và 88.
        • Tài liệu giáo khoa thí điểm, Đại số 10, Ban khoa học tự nhiên, Nhà xuất bản Giáo dục, 1997, trang 124 và 143.

      Liên kết ngoài

      --- Bài cũ hơn ---

    73. Giải Bất Phương Trình? Và Cách Giải Hệ Bất Phương Trình?
    74. Hạn Tam Tai Là Gì? Cách Hóa Giải Hạn Tam Tai Như Thế Nào?
    75. Cách Hóa Giải Hạn Tam Tai Năm 2022
    76. Cách Hóa Giải Hạn Tam Tai Năm Nhâm Thìn (2012)
    77. Cách Hóa Giải Hạn Tam Tai Năm Quý Tỵ (2013)
    78. Cách Giải Phương Trình Chứa Căn, Bất Phương Trình Chứa Căn

      --- Bài mới hơn ---

    79. Hiệu Nghiệm Ngay Tức Thì!
    80. Cách Nén File Và Giải Nén File –
    81. 20+ Cách Hóa Giải Vận Xui, Vận Đen Hiệu Quả Nhanh Nhất 2022
    82. Arcsin Là Gì? Thuật Ngữ Toán Học Cơ Bản
    83. Hàm Số – Hàm Lượng Giác Ngược – Hàm Hyperbol
    84. Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

      Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

      1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2

      Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.

      Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).

      2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

      Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là

      3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn

      Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.

      4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

      Ví dụ 1. Giải phương trình

      $$sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$

      Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

      Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

      Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

      cup left{ { – 1} right}$.

      Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$

      Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$left$.

      --- Bài cũ hơn ---

    85. Giải Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Lớp 8
    86. Phương Pháp Giải Độc Gan Để Phòng Tránh Viêm Gan, Xơ Gan, Ung Thư Gan
    87. Thải Độc Gan: 6 Cách Giải Độc Gan Đơn Giản Hiệu Quả Bất Ngờ Không Dùng Thuốc Giải Độc Gan
    88. Stress Học Đường – Dấu Hiệu Và Cách Giải Quyết
    89. Hướng Dẫn Xoay Rubik 3X3X3 Theo Cách Đơn Giản Nhất
    90. Các Dạng Toán Bất Phương Trình Mũ, Bất Phương Trình Logarit Cách Giải Và Bài Tập

      --- Bài mới hơn ---

    91. Phương Trình Và Bất Phương Trình Vô Tỷ
    92. Giải Toán Bằng Máy Tính Casio Fx 570Vn Plus
    93. Hướng Dẫn Giải Toán Bằng Máy Tính Casio Fx 570Vn Plus
    94. Giải Toán Bằng Máy Tính Casio Fx
    95. Chương Ii. §6. Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit Chuong Ii 6 Bat Phuong Trinh Mu Va Bat Phuong Trinh Logarit Docx
    96. Vậy bất phương trình mũ và bất phương trình logarit có những dạng toán nào? cách giải các dạng bất phương trình này ra sao? chúng ta cùng đi hệ thống lại các dạng bài tập về bất phương trình mũ và logarit thường gặp và cách giải. Qua đó rèn luyện kỹ năng giải toán bất phương trình qua một số bài tập vận dụng.

      I. Các dạng toán bất phương trình Mũ

      – Để giải bất phương trình mũ dạng này ta sử dụng phép biến đổi tương đương như sau:

      Vậy tập nghiệp của bất phương trình là:

      II. Các dạng toán bất phương trình Logarit

      – Để giải bất phương trình logarit dạng logaf(x) ≤ logag(x) ta thực các phép biến đổi như sau:

      – Để ý cơ số nhỏ hơn 1 nên:

      Kết hợp điều điện, tậy tập nghiệm của bất phương trình là: (5/3;3)

      – Ta có thể thực hiện biến đổi theo 1 trong 2 cách sau:

      – Biến đổi bất phương trình logarit về dạng:

      ⇔ x 2 – 1 < 3(x – 1) ⇔ x 2 – 3x + 2 < 0 ⇔ (x – 1)(x – 2) < 0 ⇔ 1 < x < 2.

      + Cách 2: Bất phương trình biến đổi tương đương về dạng:

      Vậy tập nghiệm của bất phương trình logarit trên là:(1;2)

      ° Dạng 2: Bất phương trình logarit có dạng logaf(x) < b.

      – Để giải bất phương trình logarit dạng logaf(x) ≤ b ta thực các phép biến đổi như sau:

      – Biến đổi tương đương bất phương trình logarit trên về dạng:

      Vậy tập nghiệm của bất phương trình logarit là: (-∞; -30]

      III. Giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

      – Các dạng đặt ẩn phụ trong trường hợp này cũng giống như với phương trình mũ và phương

      trình logarit.

      Vậy bất phương trình có tập nghiệm (log 3 2;+∞).

      Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [-1;1]

      Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: [e-2;+∞)

      --- Bài cũ hơn ---

    97. Cách Giải Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Căn
    98. Các Dạng Bài Tập Bất Phương Trình Vô Tỉ Và Cách Giải
    99. Cách Giải Phương Trình Chứa Dấu Căn Cực Hay, Có Đáp Án
    100. Cách Giải Phương Trình, Bpt Chứa Ẩn Trong Dấu Gttđ, Dấu Căn Phuong Trinh Bat Phuong Trinh Chua Dau Gia Trituyet Doi Dau Can Doc
    101. Bài 29,30,31 ,32,33 Trang 22,23 Toán 8 Tập 2: Luyện Tập Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
    102. Các Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình

      --- Bài mới hơn ---

    103. Bài Tập Chất Điện Li (Tính Độ Điện Li, Nồng Độ Ion Và Ph Dd)
    104. Hướng Dẫn Học Sinh Sử Dụng Phương Trình Ion Thu Gọn Giải Một Số Dạng Bài Toán Hoá Học Nhằm Nâng Cao Chất Lượng Giảng Dạy Môn Hoá Học Ở Trường Thpt Số 2 Mường Khương
    105. Phương Pháp Sử Dụng Phương Trình Ion Thu Gọn Trong Hóa Học Cực Hay, Có Lời Giải.
    106. # Ion Hóa Là Gì? Nước Ion Hóa Có Tốt Không?
    107. Giải Bài Tập 1,2,3,4,5,6,7 Hóa Lớp 11: Phản Ứng Trao Đổi Của Ion Trong Dung Dịch Các Chất Điện Li
    108. 1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn.

      Dạng tổng quát

      a) Nếu một trong hai phương trình là bậc nhất thì dễ dàng giải được hệ bằng phương pháp thế. b) Nếu một trong hai phương trình là thuần nhất bậc hai, chẳng hạn . Khi đó phương trình thứ nhất có dạng , phương trình này cho phép tính được . c) Hệ đẳng cấp bậc hai, tức là . Bằng cách khử đi hệ số tự do ta sẽ tìm ra được một phương trình thuần nhất bậc hai để tìm tỉ số d) Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng phương pháp “tịnh tiến nghiệm” bằng cách đưa vào các ẩn mới (với là các ẩn). Ta sẽ tìm để khi khai triển thì các hạng tử bậc nhất ở cả hai phương trình của hệ đều bị triệt tiêu. Từ đó có hệ đẳng cấp theo mà ta đã biết cách giải.

      Đặt . Hệ trở thành :

      Vậy ta có hệ .

      Dễ dàng giải được hệ này.

      2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng.

      a) Hệ phương trình đối xứng loại I.

      Cách giải chung là đặt ẩn phụ .

      b) Hệ phương trình đối xứng loại II

      Cách giải chung là trừ vế theo vế hai phương trình để thu được nhân tử chung .

      c) Hệ phương trình đối xứng ba ẩn.

      Dạng tổng quát

      Nếu ba số thỏa mãn thì chúng là ba nghiệm của phương trình .

      3. Hệ phương trình hoán vị.

      Dạng tổng quát

      Với thường là các hàm đơn điệu (trên một khoảng nào đó)

      Một số định lí :

      a) Nếu là các hàm đồng biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì .

      b) Nếu là các hàm nghịch biến trên và là nghiệm (trên ) của hệ thì với lẻ, ta có .

      c) Nếu nghịch biến và đồng biến trên tập là là nghiệm (trên ) của hệ thì với chẵn, ta có và .

      Vì .

      4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.

      Phương pháp này chủ yếu dựa vào định lí sau :

      Phương trình thứ nhất có thể viết thành :

      Thay vào phương trình sau :

      Vậy

      5. Phương pháp đặt ẩn phụ.

      Ví dụ : Giải hệ phương trình

      Điều kiện

      Cộng vế theo vế hai phương trình :

      Trừ vế theo vế hai phương trình :

      Vậy nếu ta đặt

      Thì ta có hệ

      Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu.

      6. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.

      “Chất bất đẳng thức” của hệ này nằm ở phương trình thứ hai.

      Điều kiện

      7. Phương pháp biến đổi đẳng thức. a) Đưa về phương trình tích.

      Ta dễ dàng giải được hệ này.

      b) Đưa về phương trình thuần nhất.

      Nhận thấy vế trái của có bậc ba và vế phải của có bậc . Để đưa thành một phương trình thuần nhất (thuần nhất bậc ba) thì ta cần nhân vào vế phải một biểu thức bậc .

      Dễ dàng giải tiếp hệ này.

      8. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác) 9. Phương pháp hệ số bất định.

      Ví dụ : Giải hệ phương trình

      Mục đích ở đây là ta sẽ tạo ra một phương trình mà có thể tính được ẩn này theo ẩn kia.

      Ta cần phối hợp hai phương trình của hệ để tạo một phương trình bậc hai có ẩn là .

      Từ đó được phương trình .

      Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope

      --- Bài cũ hơn ---

    109. Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
    110. Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Nhiều Ẩn
    111. Bài Tập Về Phương Trình Bà Hệ Phương Trình Bậc Nhất Nhiều Ẩn
    112. Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay Giải Nhanh Trắc Nghiệm Lượng Giác
    113. Cách Dùng Vũ Khí Casio Diệt Gọn Câu Hỏi Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Bài 1
    114. Web hay
    115. Links hay
    116. Push
    117. Chủ đề top 10
    118. Chủ đề top 20
    119. Chủ đề top 30
    120. Chủ đề top 40
    121. Chủ đề top 50
    122. Chủ đề top 60
    123. Chủ đề top 70
    124. Chủ đề top 80
    125. Chủ đề top 90
    126. Chủ đề top 100
    127. Bài viết top 10
    128. Bài viết top 20
    129. Bài viết top 30
    130. Bài viết top 40
    131. Bài viết top 50
    132. Bài viết top 60
    133. Bài viết top 70
    134. Bài viết top 80
    135. Bài viết top 90
    136. Bài viết top 100