Phương Pháp Lagrange Giải Phương Trình Cấp 1

--- Bài mới hơn ---

  • Tính Toán Ma Trận Và Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Trong Mathematica
  • Luận Văn Phương Pháp Newton Cải Tiến Giải Phương Trình Phi Tuyến Với Độ Hội Tụ Bậc Cao
  • Một Số Giải Pháp Giúp Học Sinh Học Tốt: “ Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình – Hệ Phương Trình : Trường Thcs Tân Khánh
  • Chuyên Đề: Phương Pháp Giải Phương Trình Vô Tỉ
  • Một Số Kỹ Thuật Giải Hệ Phương Trình
  • Trong phần bài tập PTĐHR trong cuốn của Pinchover-Rubinstein có một số bài yêu cầu sử dụng phương pháp Lagrange để giải. Cụ thể xét phương trình nửa tuyến tính cấp 1:

    Phương pháp Lagrange giúp ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên theo cách nhìn:

    nghiệm của phương trình là mặt cong tạo bởi các đường cong là giao của hai họ mặt cong:

    Khi đó với mỗi hàm cho ta một mặt cong

    nghiệm của phương trình đang xét:

    Chú ý mặt cong nghiệm có véc-tơ pháp tuyến Do đó là véc-tơ tiếp xúc của mặt cong nghiệm.

    Trong sách của Pinchover-Rubinstein đưa ra cách như sau: lấy các trường véc-tơ vuông góc với Tiếp đến tìm là các hàm thỏa mãn

    Khi đó trên các đường cong đặc trưng của mặt cong nghiệm ta có

    Như vậy là hằng số trên mỗi đường cong đặc trưng của mặt cong nghiệm. Nói cách khác chính là các hàm cần tìm.

    Để cụ thể ta xem ví dụ sau:

    VD:

    Trường véc-tơ tiếp xúc Ta lấy các trường véc-tơ

    .

    Khi đó

    và nghiệm tổng quát

    hay

    Ta có thể nhìn cách trên qua hệ phương trình đặc trưng

    hay

    .

    Khi đó thỏa mãn

    Như vậy là hai nghiệm độc lập tuyến tính của “hệ phương trình đặc trưng”. Việc lập luận để

    là nghiệm của phương trình đang xét, các bạn tham khảo bài giảng

    Để cụ thể ta quay lại ví dụ trên, có hệ phương trình đặc trưng

    hay

    Xét

    ta tích phân lên ta được

    . Lấy

    Lại có

    .

    Giản ước rồi tích phân lên ta được

    Chọn .

    Như vậy ta lại được kết quả như cách trước.

    Share this:

    Like this:

    Số lượt thích

    Đang tải…

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Dùng Để Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 9 Tại Trường Thcs Quang Trung – Thành Phố Thanh Hóa
  • Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Bằng Phương Pháp Thế
  • Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Trên Excel?
  • Bài 5 – 6 : Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
  • Bài Tập Phương Trình Hóa Học Lớp 10 Về Halogen
  • Nhân Tử Lagrange Với Đẳng Thức

    --- Bài mới hơn ---

  • Cực Trị Có Điều Kiện (Cực Trị Ràng Buộc)
  • Cách Đăng Ký Ioe, Tạo Tài Khoản Ioe Thi Tiếng Anh Trực Tuyến Trên Máy
  • Sử Dụng Ioe Trên Điện Thoại Android, Iphone
  • Công Bố Giải Thưởng Cuộc Thi Ioe Toàn Quốc Năm Học 2022
  • Hướng Dẫn Iq Option Giải Đấu
  • Phương pháp nhân tử Lagrange ( method of Lagrange multipliers) là một kỹ thuật cực kì hữu dụng để giải các bài toán tối ưu có ràng buộc. Trong chuỗi bài viết này tối sẽ chia làm 2 phần: (1) Ràng buộc là đẳng thức; (2) Ràng buộc là bất đẳng thức. Bài viết đầu tiên này tôi sẽ tập trung vào tối ưu có ràng buộc là đẳng thức.

    1.1. Phát biểu bài toán

    Tìm cực trị của hàm số đa biến $color{#0c7f99}f(mathbf{x})$ thoả mãn điều kiện hàm đa biến $color{#bc2612}g(mathbf{x})=c$ với $c$ là hằng số: $$ begin{aligned} text{maximize (or minimize)}&color{#0c7f99}f(mathbf{x}) crtext{subject to:}~&color{#bc2612}g(mathbf{x}) = c end{aligned} $$

    1.2. Ứng dụng kỹ thuật nhân tử Lagrange

    Để giải quyết bài toàn này, ta sử dụng kỹ thuật Lagrange như sau:

    • Bước 1: Thêm một biến nhân tử Lagrange $color{#0d923f}lambda$ và định nghĩa một hàm Lagrangian $mathcal{L}$ như sau: $$mathcal{L}(mathbf{x},textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#0c7f99}{f(mathbf{x})}-textcolor{#0d923f}lambdabig(textcolor{#bc2612}{g(mathbf{x})-c}big)$$
    • Bước 2: Giải đạo hàm (gradient) của $mathcal{L}$ bằng véc-to $mathbf{0}$: $$nablamathcal{L}(mathbf{x},textcolor{#0d923f}lambda)=mathbf{0}$$
    • Bước 3: Dựa vào các nghiệm $(mathbf{x^* },textcolor{#0d923f}lambda^* )$ tìm được ở trên, thế vào hàm $color{#0c7f99}f(mathbf{x})$ rồi chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là ta được giá trị cần tìm (thực ra chỉ cần nghiệm $mathbf{x^* }$ là đủ): $$ begin{cases} textcolor{blue}{f_{min}} &= displaystylemin_{mathbf{x^* }}color{#0c7f99}f(mathbf{x^* }) cr textcolor{red}{f_{max}} &= displaystylemax_{mathbf{x^* }}color{#0c7f99}f(mathbf{x^* }) end{cases} $$

    Nếu bạn để ý một chút thì phương trình ở bước 2 tương đương với hệ phương trình sau: $$ begin{cases} nablatextcolor{#0c7f99}{f(mathbf{x})} &= textcolor{#0d923f}lambdanablatextcolor{#bc2612}{g(mathbf{x})} cr color{#bc2612}g(mathbf{x}) &= color{#bc2612}c end{cases} $$

    Bởi: $$ nablamathcal{L}(mathbf{x},textcolor{#0d923f}lambda)= begin{bmatrix} dfrac{partialmathcal{L}}{partialmathbf{x}} crcr dfrac{partialmathcal{L}}{partialmathbf{textcolor{#0d923f}lambda}} end{bmatrix}= begin{bmatrix} nablatextcolor{#0c7f99}{f(mathbf{x})}-textcolor{#0d923f}lambdanablatextcolor{#bc2612}{g(mathbf{x})} cr color{#bc2612}g(mathbf{x})-c end{bmatrix} $$

    Tức là ở đây, khi giải bằng tay bạn có thể làm ngơ hàm $mathcal{L}(mathbf{x},textcolor{#0d923f}lambda)$ mà vẫn giải tốt. Tuy nhiên, việc biểu diễn qua hàm Lagrangian này sẽ giúp ta dễ dàng sài luôn được các cách giải phổng thông khác và các chương trình máy tính có sẵn.

    1.3. Ví dụ minh họa

    Bài toán:

    Giả sử nhà máy của bạn sản suất thiết bị phụ tùng bằng thép. Chi phí nhân công mỗi giờ là $$20$ và giá 1 tấn thép là $$170$. Lợi nhuận $R$ được mô hình hoá như sau:

    $$R(h,s)=200h^{{2}/{3}}s^{{1}/{3}}$$ Trong đó:

    Hãy tính lợi nhuận lớn nhất có thể thu được nếu kinh phí của bạn là $$20,000$.

    Lời giải:

    Mỗi giờ làm việc tốn $$20$ và mỗi tấn thép tốn $$170$ nên tổng chi phí tính theo $h$ và $s$ là: $$B(h,s)=20h+170s$$ Do kinh phí $B$ là $$20,000$ nên ta có ràng buộc: $$color{#bc2612}20h+170s=20,000$$

    Để có cái nhìn rõ ràng hơn về bài toán, ta thử biểu diễn nó qua đồ thị như sau:

    Nhìn vào đồ thị trên ta có thể thấy lợi nhuận (đường màu xanh) đạt lớn nhất với điều kiện ngân quỹ (đường màu đỏ) tại điểm giao bên trái của 2 đường.

    Cái nhìn trực quan là thế, còn giờ ta sẽ giải bằng phương pháp nhân tử Lagrange để tối ưu hoá hàm $color{#0c7f99}R(h,s)$ ràng buộc bởi đẳng thức $color{#bc2612}{B(h,s)}=20,000$. Theo phân tích ở trên ta sẽ có: $$ begin{cases} nablatextcolor{#0c7f99}{R(h,s)} &= textcolor{#0d923f}lambdanablatextcolor{#bc2612}{B(h,s)} cr color{#bc2612}B(h,s) &= color{#bc2612}20,000 end{cases} $$

    Phân tích ra ta được: $$ begin{cases} color{#0c7f99}200cdotdfrac{2}{3}h^{-{1}/{3}}s^{{1}/{3}} &= 20textcolor{#0d923f}lambda crcr color{#0c7f99}200cdotdfrac{1}{3}h^{{2}/{3}}s^{-{2}/{3}} &= 170textcolor{#0d923f}lambda crcr color{#bc2612}20h+170s &= color{#bc2612}20,000 end{cases} $$

    Giải ra ta có kết quả: $$ begin{cases} textcolor{#0c7f99}h &= dfrac{2,000}{3} approx 667 crcr textcolor{#0c7f99}s &= dfrac{2,000}{51} approx 39 crcr color{#0d923f}lambda &= sqrt[3]{dfrac{8,000}{459}} approx 2.593 end{cases} $$

    Thế vào công thức tính lợi nhuận ta có: $$R(667, 39)=200(667)^{{2}/{3}}(39)^{{1}/{3}} approx fcolorbox{red}{aqua}{51,777}$$

    Như vậy, để đạt được lợi nhuận lớn nhất ta cần 667 giờ lao động với 39 tấn thép và lợi nhận có thể đạt được tối đa là $$51,777$.

    2.1. Cái nhìn hình học

    Chiếu đồ hình của $color{#0c7f99}f(mathbf{x})$ và $color{#bc2612}g(mathbf{x})=c$ qua dạng đường đồng mức ( Contour Line). Đầu tiên ta có thể thấy rằng giá trị cực trị của hàm $color{#0c7f99}f(mathbf{x})$ bị ràng buộc bởi $color{#bc2612}g(mathbf{x})=c$ chính là điểm tiếp xúc của đường đồng mức của chúng.

    Đường đồng mức của $f(x,y)$ là tập của tất cả các điểm $(x^* ,y^* )$ để $f(x^* ,y^* )=k$ với $k$ là hằng số.

    Ví dụ, với $color{#0c7f99}f(mathbf{x})=2x+y$, $color{#bc2612}g(mathbf{x})=x^2+y^2$ và $color{#bc2612}c=1$, ta sẽ có mô hình đồ thị như sau.

    Đường đồng mức khi được chiếu xuống sẽ có dạng:

    Nhưng dù thế nào đi nữa, nếu $k$ là điểm cực trị của hàm $color{#0c7f99}f$ thì đường đồng mức $color{#0c7f99}f(x,y)=k$ sẽ luôn tiếp xúc với đường đồng mức của $color{#bc2612}g(mathbf{x})=c$ tại điểm đó.

    Mặt khác, gradient lại luôn vuông góc với đường đồng mức tại điểm tương ứng.

    Như vậy, nếu 2 đường đồng mức tiếp xúc nhau thì gradient tương ứng của chúng tại điểm tiếp xúc là song song với nhau.

    Nói cách khác, giả sử điểm tiếp xúc đó là $(x_0,y_0)$ thì ta có thể biểu diễn quan hệ gradient của chúng như sau: $$nablatextcolor{#0c7f99}{f(x_0,y_0)}=textcolor{#0d923f}{lambda_0}nablatextcolor{#bc2612}{g(x_0,y_0)}$$

    Trong đó $textcolor{#0d923f}lambda$ là một hằng số nào đó. Qua phép biểu diễn này ta có thể quy được thành một hệ phương trình 3 ẩn 3 phương trình và hoàn toàn có thể giải được rất dễ dàng: $$ begin{cases} color{#bc2612}g(x,y) = c cr nablatextcolor{#0c7f99}{f(x,y)}=textcolor{#0d923f}{lambda}nablatextcolor{#bc2612}{g(x,y)} end{cases} $$

    Nghiệm của hệ phương trình trên $(x_0,y_0,textcolor{#0d923f}{lambda_0})$ khi thay thế lại hàm $color{#0c7f99}f(x,y)$ sẽ cho ta được kết quả mong muốn.

    2.2. Gom lại thành 1 hàm

    Từ hệ phương trình trên, Lagrange gom lại thành một phương trình Lagrangian duy nhất: $$mathcal{L}(x,y,textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#0c7f99}{f(x,y)}-textcolor{#0d923f}lambdabig(textcolor{#bc2612}{g(x,y)-c}big)$$

    Để ý rằng, đạo hàm riêng theo $textcolor{#0d923f}lambda$ chính bằng điều kiện ràng buộc: $$mathcal{L}_{textcolor{#0d923f}lambda}(x,y,textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#bc2612}{g(x,y)-c}$$ Đạo hàm theo $x,y$ là: $$ begin{cases} mathcal{L}_x(x,y,textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#0d923f}lambdatextcolor{#bc2612}{g_x(x,y)} cr mathcal{L}_y(x,y,textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#0d923f}lambdatextcolor{#bc2612}{g_y(x,y)} end{cases} $$ Gom lại ta sẽ có: $$nablatextcolor{#0c7f99}{f(x,y)}=textcolor{#0d923f}{lambda}nablatextcolor{#bc2612}{g(x,y)}$$

    Như vậy, bài toán của ta sẽ được biến đổi thành dạng tối ưu hàm $mathcal{L}$ không có điều kiện ràng buộc. Việc này tương đương với giải phương trình gradient của nó bằng véc-to $mathbf{0}$: $$nablamathcal{L}=mathbf{0}$$

    2.3. Mở rộng

    Từ phép biểu diễn như trên ta hoàn toàn có thể tổng quát cho trường hợp có nhiều đẳng thức ràng buộc, khi đó hàm $mathcal{L}$ được định nghĩa như sau: $$mathcal{L}(x,y,textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#0c7f99}{f(x,y)}-sum_{i=1}^ntextcolor{#0d923f}{lambda_i}big(textcolor{#bc2612}{g_i(x,y)-c_i}big)$$

    Trong đó, $color{#bc2612}g_i(x,y)=c_i$ là các đẳng thức ràng buộc, còn $color{#0d923f}lambda_i$ là các hằng số thành phần tương ứng với mỗi đẳng thức. Việc tối ưu hàm $color{#0c7f99}f(x,y)$ cũng sẽ được giải gián tiếp qua gradient của $mathcal{L}$: $$nablamathcal{L}=mathbf{0}$$

    Kỹ thuật Lagrange được lấy cảm hứng từ việc tiếp xúc của các đường đồng mức và gradient của chúng. Để tối ưu 1 hàm với ràng buộc là các đẳng thức, ta có thể thực hiện theo kỹ thuật Lagrange như sau:

    • Bước 1: Thêm một véc-to nhân tử Lagrange $color{#0d923f}lambda$ và định nghĩa một hàm Lagrangian $mathcal{L}$ như sau: $$mathcal{L}(mathbf{x},textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#0c7f99}{f(mathbf{x})}-textcolor{#0d923f}lambda^{intercal}big(textcolor{#bc2612}{g(mathbf{x})-c}big)$$
    • Bước 2: Giải đạo hàm (gradient) của $mathcal{L}$ bằng véc-to $mathbf{0}$: $$nablamathcal{L}(mathbf{x},textcolor{#0d923f}lambda)=mathbf{0}$$
    • Bước 3: Dựa vào các nghiệm $(mathbf{x^* },textcolor{#0d923f}lambda^* )$ tìm được ở trên, thế vào hàm $color{#0c7f99}f(mathbf{x})$ rồi chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là ta được giá trị cần tìm (thực ra chỉ cần nghiệm $mathbf{x^* }$ là đủ): $$ begin{cases} textcolor{blue}{f_{min}} &= displaystylemin_{mathbf{x^* }}color{#0c7f99}f(mathbf{x^* }) cr textcolor{red}{f_{max}} &= displaystylemax_{mathbf{x^* }}color{#0c7f99}f(mathbf{x^* }) end{cases} $$

    Lưu ý rằng do có nhiều đẳng thức ràng buộc nên $color{#bc2612}g(mathbf{x})-c$ là một véc-tơ có bậc là số đẳng thức và các nhân tử Lagrange tương ứng cũng là 1 véc-to $color{#0d923f}lambda$ có bậc tương đương.

    --- Bài cũ hơn ---

  • 3 Cách Hóa Giải Vận Hạn, Vận Xui
  • 5 Cách Giải Hạn Đen Chơi Lô Đề Hiệu Quả Từ Dân Chuyên Nghiệp
  • Bài Tập Về Các Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Nâng Cao “hiếm Có Khó Tìm”
  • Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác
  • 5 Dạng Bài Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Bài 1 “xin Đừng Quên”
  • Các Dạng Bài Tập Về Hàm Số, Đồ Thị Hàm Số Y=Ax Và Cách Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Nhiệt Cơ Thể Nhanh Chỉ Trong 5 Phút
  • 8 Loại Nước Giải Nhiệt Cơ Thể Tốt Hơn Uống Nước Lạnh Hay Dùng Điều Hòa
  • Cách Làm Trà Đào Giải Nhiệt Cơ Thể Nhanh Chóng Ngay Tại Nhà
  • Cách Nấu Canh Rau Ngót Với Thịt Bằm Ngon Giải Nhiệt Cơ Thể Chỉ 4 Bước Đơn Giản Tại Nhà
  • Sống Sót Qua Mùa Hè Với Trọn Bộ Bí Quyết Giải Nhiệt Cơ Thể Đơn Giản, An Toàn
  • Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại cách giải một số dạng bài tập về hàm số, đồ thị hàm số y=ax để các em hiểu rõ hơn và dễ dàng vận dụng giải các bài toán tương tự khi gặp. Nhưng trước tiên chúng ta cùng tóm tắt lại phần lý thuyết của hàm số, đồ thị hàm số:

    I. Lý thuyết về hàm số, đồ thị hàm số

    * Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.

    * Lưu ý: Nếu x thay đổi mà y không thay đổi thì y được gọi là hàm số hằng (hàm hằng).

    * Với mọi x 1; x 2 ∈ R và x 1<x 2 mà f(x 1)<f(x 2) thì hàm số y = f(x) được gọi làm hàm đồng biến.

    * Tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn hệ thức y = f(x) thì được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).

    * Đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm (1; a).

    II. Các dạng bài tập về hàm số và đồ thị hàm số

    – Kiểm tra điều kiện: Mỗi giá trị của x được tương ứng với 1 và chỉ 1 giá trị của y.

    Ví dụ 1 (bài 24 trang 63 SGK Toán 7 tập 1): Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:

    – Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không?

    – Vì với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x.

    * Ví dụ 2 (bài 27 trang 64 SGK Toán 7 tập 1): Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không, nếu bảng các giá trị tương ứng của chúng là

    b)

    a) Vì với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x;

    b) Vì với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng, trong trường hợp này với mọi x thì y luôn nhận duy nhất một giá trị là 2 nên đây là một hàm hằng.

    – Nếu hàm số cho bằng bảng thì cặp giá trị tương ứng của x và y nằm cùng 1 cột.

    – Nếu hàm số cho bằng công thức, ta thay giá trị của biến đã cho vào công thức để tính giá trị tương ứng của hàm số

    Cho hàm số y = 5x – 1. Lập bảng các giá trị tương ứng của y khi: x = -5; -4; -3; -2; 0; 1/5.

    Khi x = -5 ⇒ y = 5.(-5) – 1 = -25 – 1 = -26

    Khi x = -4 ⇒ y = 5.(-4) – 1 = -20 – 1 = -21

    Khi x = -3 ⇒ y = 5.(-3) – 1 = -15 – 1 = -16

    Khi x = -2 ⇒ y = 5.(-2) – 1 = -10 – 1 = -11

    Khi x = 0 ⇒ y = 5.(0) – 1 = 0 – 1 = -1

    Khi x = 1/5 ⇒ y = 5.(1/5) – 1 = 1 – 1 = 0.

    – Như vậy ta có bảng giá trị tương ứng sau:

    a) f(5) = ?; f(-3) = ?

    b) Hãy điền các giá trị tương ứng của hàm số vào bảng sau:

    – Tương tự, lần lượt thay các giá trị còn lại của x là: x = -4 ; -3 ; 2 ; 5 ; 6 ; 12 vào công thức hàm số: y = 12/x ta được các giá trị y tương ứng là:-3; -4; 6; 2,4; 2; 1 và ta có được bảng sau:

    Cho hàm số y = f(x) = x 2 – 2. Hãy tính f(2) ; f(1) ; f(0) ; f(-1) ; f(-2)

    – Ta có y= f(x) = x 2 – 2 nên:

    a) f(-1) = 9

    b) f(-1/2) = -3

    c) f(3) = 25

    – Ta có y = f(x) = 1 – 8x.

    a) Vậy f(-1) = 1 – 8(-1) = 1 + 8 = 9 ⇒ khẳng định a) ĐÚNG.

    b) f(1/2) = 1 – 8(1/2) = 1 – 4 = -3 ⇒ khẳng định b) ĐÚNG

    c) f(3) = 1 – 8.3 = 1 – 24 = -23 ⇒ khẳng định c) SAI

    – Như vậy ta được bảng sau:

    – Muốn tìm tọa độ một điểm ta vẽ 2 đường thẳng vuông góc với hai trục tọa độ.

    – Để tìm một điểm trên một đồ thị hàm số ta cho bất kì 1 giá trị của x rồi tính giá trị y tương ứng.

    – Có thể tính diện tích trực tiếp hoặc tính gián tiếp qua hình chữ nhật.

    Chú ý: Một điểm thuộc Ox thì tung độ bằng 0, thuộc trục Oy thì hoành độ bằng 0.

    a) Viết tọa độ các điểm M, N, P, Q trong hình dưới (hình 19 trang 67 sgk).

    b) Em có nhận xét gì về tọa độ của các cặp điểm M và N, P và Q.

    M(-3; 2) ; N(2; -3) ; P(0; -2) ; Q(-2; 0)

    b) Nhận xét: Trong mỗi cặp điểm M và N ; P và Q hoành độ của điểm này bằng tung độ của điểm kia và ngược lại

    – Dựa vào hệ trục tọa độ Oxy theo bài ra ta có:

    A(0,5; 2) ; B(2; 2) ; C(2; 0) ; D(0,5; 0).

    P(-3; 3) ; Q(-1; 1) ; R(-3; 1).

    – Từ vị trí các điểm dựng được, ta thấy tứ giác ABCD là hình vuông.

    * Ví dụ 1 (bài 41 trang 72 SGK Toán 7 Tập 1): Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số y = -3x.

    A(-1/3; 1); B(-1/3; -1); C(0; 0).

    – Theo bài ra, y = -3x, ta có:

    – Với C(0; 0). ta được: 0 = (-3).0 nên C thuộc đồ thị hàm số đã cho.

    – Ta thay tọa độ điểm đi qua vào đồ thị để tìm a.

    * Ví dụ 1 (bài 42 trang 72 SGK Toán 7 Tập 1): Đường thẳng OA trong hình 26 là đồ thị của hàm số y = ax.

    a) Hãy xác định hệ số a

    b) Đánh dấu điểm trên đồ thị có hoành độ bằng 1/2

    a) Ta có A(2; 1) thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ điểm A thỏa mãn hàm y = ax. Tức là 1 = a.2 ⇒ a =1/2.

    – Cho f(x)=g(x) để tìm x rồi suy ra y và tìm được giao điểm

    – Xét hoành độ giao điểm thỏa mãn: 2x = x + 2 ⇒ x = 2 thay giá trị x = 2 vào một trong hai hàm trên ⇒ y = 4.

    – Vậy 2 đồ thị giao nhau tại điểm A(2; 4).

    – Cách 1: Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta lập tỉ số x/y nếu chúng cùng có 1 hệ số tỉ lệ thì suy ra 3 điểm đó cùng thuộc một đồ thị, ngược lại thì 3 điểm không thẳng hàng.

    – Cách 2: Viết đồ thị đi qua một điểm rồi thay tạo độ 2 điểm còn lại vào, nếu 2 điểm này đều thỏa đẳng thức thì 3 điểm thẳng hàng, nếu 1 điểm không thỏa thì 3 điểm không thẳng hàng.

    – Cách 1: Để A, B, C thẳng hàng thì:

    – Ta sử dụng kiến thức phần tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch để tính k rồi biểu diễn y theo x.

    – Hai đường thẳng cắt nhau khi: a 1 ≠ a 2 ⇒ a+1 ≠ 2, hay a≠1.

    – Vì b 1 = -2 ≠ b 2 = 0 nên hai đường thẳng không trùng nhau.

    – Hai đường thẳng vuông góc khi a 1.a 2 = -1 ⇒ (a+1).2 = -1 ⇒ a = -3/2.

    III. Một số bài tập luyện tập về hàm số, đồ thị hàm số

    * Bài 1: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỷ lệ 1/4

    a) Tìm x để f(x) = -5.

    * Bài 2: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a =6.

    a) Tìm x để f(x) = 1

    b) Tìm x để f(x) = 2

    c) Chứng tỏ rằng f(-x) = -f(x).

    * Bài 3: Đồ thị hàm số y = ax đi qua điểm A (4; 2)

    a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó.

    b) Cho B (-2, -1); C ( 5; 3). Không cần biểu diễn B và C trên mặt phẳng tọa độ, hãy cho biết ba điểm A, B, C có thẳng hàng không?

    a) Vẽ đồ thị hàm số

    b) Các điểm A(-3; 1); B(6; 2); P(9; -3) điểm nào thuộc đồ thị

    * Bài 5: Hàm số f(x) được cho bởi bảng sau:

    a) Tính f(-4) và f(-2)

    b) Hàm số f được cho bởi công thức nào?

    a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số.

    b) Gọi M là điểm có tọa độ là (3;3). Điểm M có thuộc (d) không? Vì sao?

    c) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt Ox tại A và Oy tại B. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

    * Bài 7: Hàm số y = ax được cho bởi bảng sau:

    a) Tìm hệ số a của hàm số đã cho.

    b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vì sao?

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Hóa Giải Vận Hạn Tháng 3 Cho 12 Con Giáp (P.2)
  • Báo Pnsk: Cách Hóa Giải Vận Hạn Hay Nhất Cho 3 Con Giáp Luôn Gặp Xui Xẻo Trong Tháng 12 Năm 2022
  • Cách Hóa Giải Vận Hạn Hay Nhất Cho 3 Con Giáp Luôn Gặp Xui Xẻo Trong Tháng 12 Năm 2022
  • 5 Cách Hóa Giải Vận Xui, Dọn Đường Nghênh Tài Đón Lộc, Ai Không Biết Thiệt Cả Đời
  • Cách Trị Cảm Cho Trẻ Cực Nhanh Và An Toàn Chỉ Sau 1 Đêm
  • Kỹ Thuật Giải Phương Trình Hàm

    --- Bài mới hơn ---

  • Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp Và Bài Tập Áp Dụng
  • 14 Bài Dạng Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình (Ôn Kì 2 Lớp 8 Toán)
  • Đề Cương Ôn Thi Học Kì 2 Toán Lớp 8 Hữu Ích Nhất Năm 2022
  • Bài 34,35,36 Trang 25,26 Sách Toán 8 Tập 2: Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Không Mẫu Mực Pt Luonggiackhongmaumuc Doc
  • Published on

    kỹ thuật giải phương trình hàm

    1. 3. 1 PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN Hint: 1. Tính f(0) 2. Thế y = −1, chứng minh f là hàm lẻ 3. Thế y = 1 ⇒ f(2x + 1) = 2f(x) + 1 4. Tính f(2(u + v + uv) + 1) theo (3) và theo giả thiết để suy ra f(2uv + u) = 2f(uv) + f(u) 5. Cho v = −1 2 , u 2 → x và u → y, 2uv → x để suy ra điều phải chứng minh Ví dụ 1.4. Tìm tất cả các hàm số f : R → R đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: f(x) = xf 1 x , ∀x = 0 f(x) + f(y) = 1 + f(x + y), ∀x, y ∈ R, (x, y) = (0, 0); x + y = 0 Hint: 1. Tính f(0), f(−1) 2. Tính a + 1 với a = f(1) = f € x+1 x+1 Š = f € x + 1 1 x+1 Š theo cả hai điều kiện. Đáp số: f(x) = x + 1 Nhận xét: Thủ thuật này áp dụng cho một lớp các bài toán gần tuyến tính Ví dụ 1.5. Tìm tất cả các hàm số f : R+ → R thỏa f(1) = 1 2 và f(xy) = f(x)f ‚ 3 y Œ + f(y)f 3 x , ∀x, y ∈ R+ Hint: 1. Tính f(3) 2. Thế y → 3 x Đáp số: f(x) = 1 2 Ví dụ 1.6. Tìm tất cả các hàm số f : R∗ → R thỏa mãn điều kiện: f(x) + 2f 1 x = 3x, ∀x ∈ R∗ Hint: Thế x → 1 x Đáp số: f(x) = 2 x − x Ví dụ 1.7. Tìm tất cả các hàm số f : R{0, 1} → R thỏa mãn điều kiện: f(x) + f x − 1 x = 2x, ∀x, ∈ R{0, 1} Hint: Thế x → x−1 x , x → −1 x−1 Đáp số: f(x) = x + 1 1−x − x−1 x Luyện tập: 2. Tìm tất cả các hàm số f : Q+ → Q+ thỏa mãn điều kiện: f(x + 1) = f(x) + 1, ∀x ∈ Q+ và f(x3 ) = f3 (x), ∀x ∈ Q+ GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    2. 4. 1 PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN Hint: 1. Quy nạp f(x + n) = f(x) + n, ∀x ∈ Q+ , ∀n ∈ N 2. Với p q ∈ Q+ , tính f p q + q2 3 ‹ theo hai cách. Đáp số: f(x) = x, ∀x ∈ Q+ Ví dụ 1.8. (VMO 2002). Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập số thực R và thỏa mãn hệ thức f (y − f(x)) = f € x2002 − y Š − 2001.y.f(x), ∀x, y ∈ R. (1) Giải a) Thế y = f(x) vào (1) ta được f(0) = f € x2002 − f(x) Š − 2002. (f(x))2 , ∀x ∈ R. (2) b) Lại thay y = x2002 vào (1) thì f € x2002 − f(x) Š = f(0) − 2001.x2002 .f(x), ∀x ∈ R. (3) Lấy (2) cộng với (3) ta được f(x) € f(x) + x2002 Š = 0, ∀x ∈ R. Từ đây suy ra với mỗi giá trị x ∈ R thì ta có hoặc là f(x) = 0 hoặc là f(x) = −x2002 . Ta sẽ chỉ ra rằng để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì bắt buộc phải có đồng nhất f(x) ≡ 0, ∀x ∈ R hoặc f(x) ≡ −x2002 , ∀x ∈ R. Thật vậy, vì f(0) = 0 trong cả hai hàm số trên, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử tồn tại a = 0 sao cho f(a) = 0, và tồn tại b 0 sao cho f(b) = −b2002 (vì chỉ cần thay x = 0 vào quan hệ (1) ta nhận được hàm f là hàm chẵn). Khi đó thế x = a và y = −b vào (1) ta được f(−b) = f € a2002 + b Š . Vậy ta nhận được dãy quan hệ sau 0 = −b2002 = f(b) = f(−b) = f € a2002 + b Š = 0(mâu thuẫn vì 0 = 0) − (a2002 + b) 2002 (mâu thuẫn vì − (a2002 + b) 2002 −b2002 ) . Bằng cách thử lại quan hệ hàm ban đầu ta kết luận chỉ có hàm số f(x) ≡ 0, ∀x ∈ R thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 1.9. (Hàn Quốc 2003) Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn f (x − f(y)) = f(x) + xf(y) + f (f(y)) , ∀x, y ∈ R. (4) GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    3. 6. 1 PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN Ví dụ 1.10. (Iran 1999) Xác định các hàm số f : R → R thỏa mãn f (f(x) + y) = f € x2 − y Š + 4yf(x), ∀x, y ∈ R. Giải a) Thế y = x2 ta được f € f(x) + x2 Š = f(0) + 4×2 f(x), ∀x ∈ R. b) Thế y = −f(x) ta được f(0) = f € f(x) + x2 Š − 4 (f(x))2 , ∀x ∈ R. Cộng hai phương trình trên ta được 4f(x) € f(x) − x2 Š = 0, ∀x ∈ R. Từ đây ta thấy với mỗi x ∈ R thì hoặc là f(x) ≡ 0 hoặc là f(x) = −x2 . Ta chứng minh nếu hàm f thỏa mãn yêu cầu bài toán thì f phải đồng nhất với hai hàm số trên. Nhận thấy f(0) = 0, từ đó thay x = 0 ta được f(y) = f(−y), ∀y ∈ R, hay f là hàm chẵn. Giả sử tồn tại a = 0, b = 0 sao cho f(a) = 0, f(b) = −b2 , khi đó thay x = a, y = −b ta được f(−b) = f(a2 + b) → f(b) = f(a2 + b). Từ đó ta có quan hệ sau 0 = −b2 = f(b) = f(−b) = f € a2 + b Š = 0(mâu thuẫn vì 0 = 0) − (a2 + b) 2 (mâu thuẫn vì − (a2 + b) 2 −b2 ) . Do đó xảy ra điều mâu thuẫn. Thử lại thấy hàm số f(x) ≡ 0 thỏa mãn yêu cầu. Nhận xét: 1. Rõ ràng bài toán VMO 2002 có ý tưởng giống bài toán này. 2. Ngoài phép thế như trên thì bài toán này ta cũng có thể thực hiện những phép thế khác như sau: a) Thế y = 1 2 € x2 − f(x) Š . b) Thế y = 0 để có f (f(x)) = f (x2 ), sau đó thế y = x2 − f(x). c) Thế y = x − f(x) và sau đó là y = x2 − x. Ví dụ 1.11. Tìm hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: f (x − f(y)) = 2f(x) + x + f(y), ∀x, y ∈ R. (6) Giải GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    4. 9. 1 PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN Vậy f(x) = −f(x), ∀x ∈ R, từ điều này kết hợp với (9) ta có f(0) (f(x) − 1) = 0, ∀x ∈ R. Từ đây suy ra f(0) = 0, vì nếu ngược lại thì f(x) = 1, ∀x = 0, trái với điều kiện f là hàm lẻ. Từ đây ta nhận được quan hệ quen thuộc (f(x))2 = x2 , ∀x ∈ R. Giả sử tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0) = x0, khi đó trong (*) ta có x0 = f (x0) = −f (f(x0)) = −f(x0) = x0, vô lý. Vậy chứng tỏ f(x) = −x, ∀x ∈ R. Thử lại thấy hàm này thỏa mãn bài toán. Nhận xét: Bài toán trên cho kết quả là hàm chẵn f(x) = −x. Nếu vẫn giữa nguyên vế phải và để nhận được hàm lẻ f(x) = x, ta sửa lại dữ kiện trong vế trái như trong ví dụ sau Ví dụ 1.14. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (f(x) − y) = f(x) − f(y) + f(x)f(y) − xy, ∀x, y ∈ R. Giải a) Thế y = 0 ta được f (f(x)) = f(x) − f(0) + f(0).f(x), ∀x ∈ R. (10) b) Thế y = f(x) và sử dụng kết quả trên, ta được f(0) = f(x) − f (f(x)) + f(x).f (f(x)) − xf(x) (∗) = f(0) − 2f(0).f(x) + (f(x))2 + f(0). (f(x))2 − xf(x), hay −2f(0).f(x) + (f(x))2 + f(0). (f(x))2 − xf(x) = 0, ∀x ∈ R. c) Thế x = 0 vào đẳng thức trên ta được (f(0))2 − (f(0))2 = 0 → f(0) = 0 hoặc f(0) = 1. d) Nếu f(0) = 0 thì thay vào (10) ta có f (f(x)) = f(x), ∀x ∈ R, thay kết quả này vào trong (*) ta có f(x) = x. e) Nếu f(0) = 1 thay vào (10) ta có f (f(x)) = 2f(x) − 1, thay vào trong (*) ta có f(x) = 1 2 x + 1. Kết luận: Thay vào ta thấy chỉ có hàm số f(x) = x, ∀x ∈ R là thỏa mãn yêu cầu. Ví dụ 1.15. (AMM,E2176). Tìm tất cả các hàm số f : Q → Q thỏa mãn điều kiện f(2) = 2 và f ‚ x + y x − y Œ = f(x) + f(y) f(x) − f(y) , ∀x = y. Giải GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    5. 10. 1 PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN Ta sẽ chứng minh f(x) = x là nghiệm duy nhất của bài toán dựa vào một chuỗi các sự kiện sau. Trước tiên nhận thấy f không thể là hàm hằng. a) Tính f(0), f(1). Thay y = 0 ta nhận được f(1) = f(x) + f(0) f(x) − f(0) → (f(1) − 1) f(x) = f(0) (1 + f(1)) , ∀x ∈ Q. Suy ra f(1) = 1, f(0) = 0. b) Hàm f là hàm lẻ. Thay y = −x ta có 0 = f(0) = f(x) + f(−x) → f(−x) = −f(x), ∀x ∈ Q. c) Thay y = cx, c = 1, x = 0 ta có f(x) + f(cx) f(x) − f(cx) = f 1 + c 1 − c = 1 + f(c) 1 − f(c) , suy ra f(cx) = f(c).f(x), lấy c = q, x = p q thì ta được f ‚ p q Œ = f(p) f(q) Ví dụ 1.16. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn f € (x − y)2 Š = (f(x))2 − 2xf(y) + y2 , ∀x, y ∈ R. Giải Thay x = y = 0 thì (f(0)) = (f(0))2 → f(0) = 0 hoặc f(0) = 1. 1. Nếu f(0) = 0, thì thay x = y vào điều kiện ban đầu ta được f(0) = (f(x))2 − 2xf(x) + x2 = (f(x) − x)2 → f(x) = x, ∀x ∈ R. Nhận thấy hàm số này thỏa mãn. 2. Nếu f(0) = 1 thì lại vẫn thay x = y = 0 ta nhận được, với mỗi x ∈ R thì hoặc là f(x) = x + 1 hoặc f(x) = x − 1. Giả sử tồn tại giá trị a sao cho f(a) = a − 1. Khi đó thay x = a, y = 0 ta được f € a2 Š = a2 − 4a + 1. Nhưng ta lại có hoặc là f (a2 ) = a2 + 1 hoặc là f (a2 ) = a2 − 1. Do đó ta phải có hoặc là a2 − 4a + 1 = a2 + 1 hoặc a2 − 4a + 1 = a2 − 1, tức a = 0 hoặc là a = 1 2 . Tuy nhiên kiểm tra đều không thỏa. Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu là f(x) = x, ∀x ∈ R hoặc là f(x) = x + 1, ∀x ∈ R. Ví dụ 1.17. (THTT T9/361) Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f € x3 − y Š + 2y € 3 (f(x))2 + y3 Š = f (x + f(y)) , ∀x, y ∈ R. GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    6. 11. 1 PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN Giải a) Thay y = x3 ta có f(0) + 2×3 € 3 (f(x))2 + x6 Š = f € x3 + f(x) Š , ∀x ∈ R. b) Thay y = −f(x) ta được f € x3 + f(x) Š − 2f(x) € 3 (f(x))2 + (f(x))2 Š = f(0), ∀x ∈ R. Từ hai đẳng thức trên ta được 2×3 € 3 (f(x))2 + x6 Š = 8 (f(x))3 , ∀x ∈ R. Do đó 0 = 4 (f(x))2 − x3 € 3 (f(x))2 + x6 Š = € 4 (f(x))3 − 4 (f(x))2 .x3 Š + € (f(x))2 .x3 − x9 Š = € f(x) − x3 Š € 4 (f(x))2 + x3 € f(x) + x3 ŠŠ = € f(x) − x3 Š ‚ 2f(x) + x3 4 Œ2 + 15 16 x6 ! . Chú ý rằng ‚ 2f(x) + x3 4 Œ2 + 15 16 x6 = 0 thì x = 0, f(0) = 0. Bởi vậy trong mọi trường hợp ta đều có f(x) = x3 . Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn bài toán. GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    7. 13. f 1 qn .qn.xn
    8. 19. ≤ N. Vì 1 r ∈ Q nên
    9. 23. 2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY liên tục thỏa mãn f € x+y 2 Š = 2f(x)f(y) f(x)+f(y) (8) là f(x) = 1 b , b 0 Chứng minh Chỉ cần đặt g(x) = 1 f(x) , ta nhận được quan hệ hàm Jensen theo hàm g(x) nêng(x) = cx + d. Do đó f(x) = 1 cx+d . Tuy nhiên hàm số này cần phải thỏa mãn điều kiện f(x) ∈ R+ nên: 1 cx+d 0, ∀x ∈ R ⇒c = 0, b 0, vậy hàm thu được là f(x) = 1 b , b 0 tùy ý. Lại vẫn trong quan hệ hàm Jensen nếu ta thực hiện phép bình phương vào hàm số thì ta nhận ngay được hệ quả sau: Hệ quả 9. Hàm số f(x)liên tục trên R thỏa f € x+y 2 Š = q 2 2 (9) là f(x) = c với c ≥ 0. Chứng minh Từ quan hệ hàm số suy ra f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Ta có: € f € x+y 2 ŠŠ2 = 2 2 . Đặt g(x) = 2 = g(u). Khi đó g(u) ≥ 0, và ta có: g € u+v 2 Š = g(u)+g(v) 2 , ∀u, v ∈ R Vậy g(u) = au + b. Để g(u) ≥ 0, ∀u ∈ Rthì a = 0, b ≥ 0. Do đó f(x) ≡ c, c ≥ 0. Lại từ quan hệ hàm Jensen f € x+y 2 Š = f(x)+f(y) 2 , ta xét phép gán hàm f(x) = g € 1 x Š thì ta nhận được quan hệ hàm số: g 1 (x+y)/2 = g(1 x )+g(1 y ) 2 ⇔ g 2 x+y = g(1 x )+g(1 y ) 2 , thay ngược trở lại biến bình thường ta được: Hệ quả 12. Hàm số f(x) liên tục trên R{0} thỏa mãn f „ 2 1 x + 1 y Ž = f(x) + f(y) 2 , ∀x, y, x + y = 0 (12) là hàm số f(x) = a x + b; a, b ∈ R tùy ý. Giải Với cách thiết lập như trên thì ta có g(x) = ax + b, với g(x) = f € 1 x Š , khi đó thì f(x) = a x + b; a, b ∈ R. Lại từ quan hệ hàm Jensen f € x+y 2 Š = f(x)+f(y) 2 , ta xét phép gán hàm f(x) = 1 g(1 x ) thì ta nhận được quan hệ hàm: 1 g 1 x+y 2 ‹ = 1 g(1 x ) + 1 g(1 y ) 2 = g € 1 x Š + g 1 y 2g € 1 x Š g 1 y ⇔ g ‚ 2 x + y Œ = 2g € 1 x Š g 1 y g € 1 x Š + g 1 y = 2 1 g(1 x ) + 1 g(1 y ) Thay ngược lại biến ta được: Hệ quả 13. Hàm số f(x) xác định liên tục trên R{0} thỏa f 2 1 x + 1 y ‹ = 2 1 f(x) + 1 f(y) (13) là 2 6 6 4 f(x) = x a , a = 0 f(x) = 1 b , b = 0 . Bằng cách thực hiện các phép toán khai căn, nâng lũy thừa, logarit GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    10. 24. 2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY Nepe như trong các phần trước ta thu được các kết quả tương tự sau: Hệ quả 14. Hàm số f(x) xác định liên tục trên R{0} thỏa f 2 1 x + 1 y ‹ = È f(x)f(y), ∀x, y, x + y = 0(14) là: 2 4 f(x) ≡ 0 f(x) = e a x +b , a, b ∈ R Hệ quả 15. Hàm số f(x) xác định liên tục trên R{0} thỏa f 2 1 x + 1 y ‹ = q 2 2 , ∀x, y, x + y = 0 (15) là: f(x) ≡ c, c ≥ 0 tùy ý. Hệ quả 16. Các hàm f(x) ≥ 0 xác định liên tục trên R+ thỏa f √ x2+y2 2 = q 2 2 , ∀x, y ∈ R+ (16) là: f(x) = √ ax2 + b với a, b ≥ 0 tùy ý. Hệ quả 17. Các hàm số f(x) xác định, liện tục trên R và thỏa f √ x2+y2 2 = f(x)+f(y) 2 , ∀x, y ∈ R (17) là: f(x) = ax2 + b; ∀a, b ∈ R Hệ quả 18. Các hàm số f(x) xác định, liện tục trên R thỏa f √ x2+y2 2 = È f(x)f(y), ∀x, y ∈ R (18) là: 2 4 f(x) ≡ 0 f(x) = eax2+b ; ∀a, b ∈ R Hệ quả 19. Các hàm số f(x) xác định, liện tục trên R thỏa f √ x2+y2 2 = 2 1 f(x) + 1 f(y) , ∀x, y ∈ R (19) là: f(x) = 1 ax2+b với ab ≥ 0, b = 0 tùy ý. IV. Các bài tập vận dụng Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm f(x) liên tục trên R thỏa: f(x + y) = f(x)+f(y)+f(x)f(y) Giải: Từ bài toán ta có: f(x+y)+1 = (f(x)+1)(f(y)+1) nên đặt g(x) = f(x)+1 thì ta có g(x+y) = g(x).g(y) ⇒ g(x) = ax vậy f(x) = ax −1. Bài toán 2. Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:f(x)+f(y)−f(x+y) = xy, ∀x, y ∈ R Giải Ta có thể viết lại phương trình hàm dưới dạng: f(x) + f(y) − f(x + y) = 1 2 = 0 ⇒ f(0) = 1, vì dễ dàng nhận thấy f(x) ≡ 0, ∀x ∈ R không là nghiệm của phương trình. Thay y = −x ta nhận được: f(x)f(−x) − f(0) = −sin2 x, ∀x ∈ R ⇒ f(x)f(−x) = 1 − sin2 x = cos2 x, ∀x ∈ R(1). Thay x = π 2 vào (1) ta được nên: f € π 2 Š .f € −π 2 Š = 0 Hoặc f € π 2 Š = 0 thay vào hàm ta được: −f € x + π 2 Š = sin x ⇒ f € x + π 2 Š = − sin x → f(x) = − sin € x − π 2 Š = cos x, ∀x ∈ R Hoặc f € −π 2 Š = 0 thay vào hàm ta được: f € x − π 2 Š = sin x ⇒ f (x) = sin € x + π 2 Š = cos x, ∀x ∈ R Dễ dàng kiểm tra lại thấy f(x) = cos x là hàm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài toán 10. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn f(x + y − xy) + f(xy) = f(x) + f(y) (1) với mọi x, y ∈ R. Giải Ta chứng minh nếu f là hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán thì hàm số F(x) = f(x + 1) − f(x) sẽ thỏa mãn điều kiện hàm Cauchy F(u + v) = F(u) + F(v) với mọi (u, v) ∈ ∆ = {(u, v) : u + v 0hoặc u = v = 0 hoặc u + v ≤ −4} Thật vậy, giả sử flà hàm số thỏa mãn điều kiện (1). Ta định nghĩa hàm số f∗ (x, y) bởi: f∗ (x, y) = f(x) + f(y) − f(xy) Dễ thấy rằng hàm f∗ thỏa mãn phương trình hàm: f∗ (xy, z)+f∗ (x, y) = f∗ (x, yz)+f∗ (y, z)(1) Mặt khác ta có f∗ (x, y) = f(x+y −xy)(2) Thay (2) vào (1) ta được: f xy + 1 y − x + f(x + y − xy) = f(1) + f y + 1 y − 1 , với mọi x, y = 0 Đặt xy + 1 y − x = u + 1 và x + y − xy = v + 1(3) ta nhận được: f(u + 1) + f(v + 1) = f(1) + f(u + v + 1), với mọi u, v thỏa mãn điều kiện trên. Bằng việc cộng hai đẳng thức của (3) ta có y + 1 y = u + v + 2, để có nghiệm y = 0 chỉ trong trường hợp D = {(u + v + 2)2 − 4 = (u + v)(u + v + 4) ≥ 0}. Điều kiện này xảy ra khi và chỉ khi hoặc là u + v 0 hoặc u + v = 0 hoặc u + v + 4 ≤ 0. Bằng việc kiểm tra điều kiện ta thấy bài toán được thỏa. Nếu f là một nghiệm của bài toán thì f phải có dạng f(x) = F(x − 1) + f(1)(1) với mọi x, trong đó F thỏa mãn phương trình hàm Cauchy F(x + y) = F(x) + F(y) với mọi x, y. Chứng minh Theo chứng minh trên, thì fcó dạng với F thỏa mãn phương trình Cauchy với mọi (u, v) ∈ ∆. Ta sẽ chứng minh rằng Fthỏa mãn phương trình Cauchy với mọi (u, v) bất kỳ. Giả sử , khi đó tồn tại một số thực sao cho các điểm (x, u), (x + u, v), (x, u + v) nằm trong ∆ với việc xác định x là: cố định (u, v) ∈ ∆ thì từ các bất đẳng thức x + u 0, x + u + v 0 ta tìm được điều kiện của x. Nhưng khi đó: F(u) = F(x + u) − F(x) F(v) = F(x + u + v) − F(x + u) F(u + v) = F(x + u + v) − F(x) Suy ra từ các phương trình này ta có F(u) + F(v) = F(u + v). Và bài toán được chứng minh. Bài toán 14(VMO 1992 bảng B). Cho hàm số f : R → R thỏa mãn f(x + 2xy) = f(x) + 2f(xy), ∀x, y ∈ R. Biết f(1991) = a, hãy tính f(1992) Giải Thay x = 0 ta được f(0) = 0. Thay y = −1 ta nhận được f(x) = −f(−x). Thay y = −1 2 ta được f(x) = 2f € x 2 Š . Xét x = 0 và số thực t bất kỳ, đặt y = t 2x ta nhận được: f(x + t) = f(x) + 2f € t 2 Š = f(x) + f(t) Vậy f là hàm Cauchy nên f(x) = kx, với k là hằng số nào đó. Từ f(1991) = a ⇒ k.1991 = a ⇒ k = a 1991 . Do đó f(1992) = 1992 1991 a Bài toán 15. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên (0, +∞), có đạo hàm tại x = 1 và thỏa mãn điều kiện f(xy) = √ xf(y) + √ yf(x), ∀x, y ∈ R+ Giải Xét các hàm số sau g(x) = f(x)√ x . Từ giả thiết của bài toán ta có: √ xy.g(xy) = √ xy.g(x) + √ xy.g(y) ⇔ g(xy) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R+ Vậy g(x) = logax, x 0. GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    11. 26. 2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY Từ đó ta có kết quả hàm số f(x) = k. √ x.logax với k ∈ R. Lại từ (1) nếu ta đặt z = x + y thì y = z − x và quan hệ (1) trở thành f(z) = f(x).f(z − x), nếu với giả thiết f(x) = 0 ∀x ∈ R thì ta có thể viết lại như sau: f(z − x) = f(z) f(x) , và ta đề xuất được bài toán sau đây: Bài toán 18. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: 8 : f(x − y) = f(x) f(y) , ∀x, y ∈ R f(x) = 0 ∀x ∈ R (2) Vì giả thiết là f(x) = 0 ∀x ∈ R nên chỉ có hàm số f(x) = ax (a 0) thỏa mãn yêu cầu bài toán. To be continued . GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    12. 27. 3 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP 3 Phương pháp quy nạp Phương pháp này yêu cầu ta trước hết tính f(0), f(1) rồi dựa vào đó tính f(n) với n ∈ N. Sau đó tính f(n) với n ∈ Z. Tính tiếp f € 1 n Š , từ đó suy ra biểu thức của f(r) với r ∈ Q. Phương pháp này thường sử dụng khi cần tìm hàm số xác định trên N, Z, Q. Ví dụ 3.1. Tìm tất cả các hàm số f : Q → Q thỏa mãn điều kiện: f(1) = 2, f(xy) = f(x)f(y) − f(x + y) + 1, ∀x, y ∈ Q. (11) Giải Cho y = 1 và sử dụng giả thiết f(1) = 2 ta được f(x + 1) = f(x) + 1, ∀x ∈ Q. (12) Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được f(x + m) = f(x) + m, ∀x ∈ Q, ∀m ∈ N. (13) Tiếp theo ta sẽ lần lượt chứng minh: a) f(n) = n + 1, ∀n ∈ N. Thật vậy trong (12) cho x = 0 ta tìm được f(0) = 1. Giả sử ta đã có f(k) = k + 1 thì f(k + 1) = f(k) + 1 = k + 1 + 1 = k + 2. b) Tiếp theo ta chứng minh f(m) = m+1, ∀m ∈ Z. Thật vậy, trong (12) cho x = −1 ta được f(−1) = 0. Trong (11) cho y = −1 thì ta có f(−x) = −f(x − 1) + 1, ∀x ∈ Q. Khi đó với m ∈ Z, m 0 thì đặt n = −m, khi đó n ∈ N nên sử dụng kết quả trên và phần (a) ta được f(m) = f(−n) = −f(n − 1) + 1 = −n + 1 = m + 1. c) Tiếp theo ta chứng minh f(x) = x + 1, ∀x ∈ Q. Trước tiên ta tính f 1 n , n ∈ N+ , bằng cách trong (11) cho x = n, y = 1 n ta có 2 = (n + 1)f 1 n − f n + 1 n + 1. Lại theo (13) thì f n + 1 n = f 1 n + n thay vào phương trình trên ta được f 1 n = n + 1 n = 1 n + 1. GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    13. 30. 3 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Từ đây lấy căn bậc hai ta được f(u + v) + f(u − v) = 2 (f(u) + f(v)) , ∀u ≥ v ≥ 0. Phương trình hàm này có nghiệm là f(x) = f(1)x2 , ∀x ≥ 0. Ngoài ra dễ dàng tính được f(1) = 0 hoặc f(1) = 1. Kết luận: Các hàm số thỏa mãn là f(x) ≡ 0, f(x) ≡ 1 2 và f(x) = x2 , ∀x ≥ 0. Nhận xét: Bài toán trên xuất phát từ một hằng đẳng thức quen thuộc là (x2 + y2 ) 2 = (x2 − y2 ) 2 + (2xy)2 . Và điểm mấu chốt của bài toán là tính chất f (x2 ) = (f(x))2 , để suy ra f(x) ≥ 0 khi x ≥ 0. Ví dụ 3.4. (China 1996) Cho hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: f(x3 + y3 ) = (x + y)(f2 (x) − f(x)f(y) + f2 (y)), ∀x, y ∈ R. Chứng minh rằng f(1996x) = 1996f(x), ∀x ∈ R. Giải a) Tính f(0) và thiết lập cho f(x). Cho x = y = 0 ta được f(0) = 0. Cho y = 0 ta được f(x3 ) = xf2 (x). Nhận xét: f(x) và x luôn cùng dấu. Từ đây ta có f(x) = x 1 3 f2 (x 1 3 ). b) Thiết lập tập hợp tất cả các giá trị a mà f(ax) = af(x). Đặt S = {a 0 : f(ax) = af(x), ∀x ∈ R}. * Rõ ràng 1 ∈ S. * Ta chứng tỏ nếu a ∈ S thì a 1 3 ∈ S. Thật vậy axf2 (x) = af(x3 ) = f(ax3 ) = f (a 1 3 x)3 = a 1 3 x.f2 (a 1 3 x) ⇒ a 2 3 f2 (x) = f2 (a 1 3 x) ⇒ a 1 3 f(x) = f(a 1 3 x) * Nếu a, b ∈ S thì a + b ∈ S. Thật vậy f ((a + b)x) = f (a 1 3 x 1 3 )3 + (b 1 3 x 1 3 )3 = (a 1 3 + b 1 3 ) h f2 (a 1 3 x 1 3 ) − f(a 1 3 x 1 3 ).f(b 1 3 x 1 3 ) + f2 (b 1 3 x 1 3 ) i = (a 1 3 + b 1 3 ) h a 2 3 − a 1 3 b 1 3 + b 2 3 i x 1 3 f2 (x 1 3 ) = (a + b)f(x). Bằng quy nạp ta chứng tỏ mọi n ∈ N đều thuộc S. Và bài toán ra là trường hợp đặc biệt với n = 1996. GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    14. 31. 3 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Nhận xét: 1. Nếu chỉ đơn thuần chứng minh kết quả của bài toán thì có thể quy nạp trực tiếp. Bằng cách khảo sát như trên ta sẽ thấy hết được tất cả các giá trị của a 0 mà f(ax) = af(x). 2. Do yêu cầu “đặc biệt” của bài toán, nên tự nhiên ta sẽ nghĩ ngay là có thể chứng minh điều đó đúng với mọi số tự nhiên, và qua đó, sẽ nghĩ ngay đến hướng quy nạp. 3. Việc suy ra dấu của f(x) cùng dấu với x là quan trọng, nó giúp ta triệt tiêu bình phương mà không cần xét dấu, đây cũng là một điều đáng lưu ý trong rất nhiều bài tập khác. 4. Bài toán trên rất có thể xuất phát từ hằng đẳng thức x3 + y3 = (x + y) (x2 − xy + y2 ). Ví dụ 3.5. Tìm tất cả các hàm f : Z → Z thỏa mãn: f(x3 + y3 + z3 ) = f3 (x) + f3 (y) + f3 (z), ∀x, y, z ∈ Z Hint: 1. Tính f(0) và chứng minh f là hàm lẻ. 2. Chứng tỏ f(2) = 2f(1), f(3) = 3f(1). Chứng minh bằng quy nạp f(n) = nf(1), ∀n ∈ Z 3. Trong chứng minh chuyển từ n = k ≥ 0 sang n = k +1, ta sử dụng hằng đẳng thức sau: Nếu k chẵn thì k = 2t, ta có: (2t + 1)3 + 53 + 13 = (2t − 1)3 + (t + 4)3 + (4 − t)3 khi k = 2t và nếu k lẻ thì k = 2t − 1 khi đó n = 2t luôn được viết dưới dạng 2t = 2j (2i + 1), và đẳng thức trên chỉ cần nhân cho 23j Ví dụ 3.6. Tìm tất cả các hàm f : N → N thỏa mãn các điều kiện: f(1) 0 và f(m2 + n2 ) = f2 (m) + f2 (n), ∀m, n ∈ N Hint: 1. Tính f(0) ⇒ f(m2 + n2 ) = f(m2 ) + f(n2 ) 2. Chứng minh f(n) = n, ∀n ≤ 10. Với n 10 ta sử dụng các đẳng thức sau: (5k + 1)2 + 22 = (4k + 2)2 + (3k − 1)2 (5k + 2)2 + 12 = (4k + 1)2 + (3k + 2)2 (5k + 3)2 + 12 = (4k + 3)2 + (3k + 1)2 (5k + 4)2 + 22 = (4k + 2)2 + (3k + 4)2 (5k + 5)2 = (4k + 4)2 + (3k + 3)2 GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    15. 32. 4 KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH, CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ 4 Khai thác tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh, chẵn lẻ của hàm số Trước tiên ta nhắc lại các khái niệm cơ bản này. a) Nếu f : R → R là đơn ánh thì từ f(x) = f(y) ta suy ra được x = y. b) Nếu f : R → R là toàn ánh thì với mỗi y ∈ R, tồn tại x ∈ R để f(x) = y. c) Nếu f : R → R là song ánh thì ta có cả hai đặc trưng trên. Nếu một hàm số mà đơn ánh chúng ta rất hay dùng thủ thuật tác động f vào cả hai vế, nếu một hàm f toàn ánh ta hay dùng: Tồn tại một số b sao cho f(b) = 0, sau đó tìm b. Nếu quan hệ hàm là hàm bậc nhất của biến ở vế phải thì có thể nghĩ tới hai quan hệ này. Ví dụ 4.1. Tìm tất cả các hàm số f : Q → Q thỏa mãn f (f(x) + y) = x + f(y), ∀x, y ∈ Q. Giải Nhận xét, hàm đồng nhất 0 không thỏa mãn bài toán. Xét f(x) ≡ 0. a) f đơn ánh, thật vậy, nếu f(x1) = f(x2) thì f (f (x2) + y) = f (f (x2) + y) → x1 + f(y) = x2 + f(y) → x1 = x2. b) f toàn ánh, thật vậy, vì tồn tại y0 sao cho f(y0) = 0. Do đó vế phải của điều kiện là một hàm số bậc nhất của x nên có tập giá trị là Q. c) Tính f(0), cho x = y = 0 và sử dụng tính đơn ánh ta được f (f(0)) = f(0) → f(0) = 0. Từ đó thay y = 0 ta được f (f(x)) = x, ∀x ∈ Q. d) Thay x bởi f(x) và sử dụng kết quả trên(và điều này đúng cho với mọi x ∈ Q vì f là toán ánh) thì f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ Q. Từ đây ta được f(x) = ax thay vào bài toán ta nhận f(x) ≡ x hoặc f(x) ≡ −x trên Q. Nhận xét: Nếu yêu cầu bài toán trên tập R thì cần thêm tính chất đơn điệu hoặc liên tục. Cụ thể, các bạn có thể giải lại bài toán sau (THTT, 2010): Tìm tất cả các hàm số liên tục f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + f(y)) = 2y + f(x), ∀x, y ∈ R. Ví dụ 4.2. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn f (xf(y) + x) = xy + f(x), ∀x, y ∈ R. GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    16. 33. 4 KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH, CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ Giải Thay x = 1 vào điều kiện hàm ta được f (f(y) + 1) = y + f(1), ∀y ∈ R. Từ đây suy ra f là một song ánh. Lấy x = 1, y = 0 ta được f (f(0) + 1) = f(1) → f(0) = 0 do fđơn ánh. Bây giờ với x = 0, đặt y = − f(x) x thay vào điều kiện hàm ta được f (xf(y) + x = 0 = f(0)) → xf(y) = x do fđơn ánh, hay f(y) = −1, tức là f ‚ − f(x) x Œ = f(y) = −1 = f(b), với b là một số thực nào đó(do f là một toàn ánh). Vậy f(x) = −bx, ∀x = 0. Kết hợp với f(0) = 0 thì viết gộp thành f(x) = −bx, ∀x ∈ R. Thay vào điều kiện hàm số ta có được hai hàm thỏa mãn là f(x) ≡ x và f(x) ≡ −x. Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng cách thế biến như sau mà không cần dùng đến tính song ánh của hàm số. Thay x = 1 ta được f (f(y) + 1) = y + f(1), ∀y ∈ R. Ví dụ 4.3. (Đề nghị IMO 1988) Xác định hàm số f : N → N thỏa mãn điều kiện sau: f(f(n) + f(m)) = m + n, ∀m, n ∈ N. (14) Giải a) Trước tiên ta kiểm tra f đơn ánh. Thật vậy giả sử f(n) = f(m), khi đó f (2f(n)) = f (f(n) + f(n)) = 2n, và f (2f(n)) = f (f(m) + f(m)) = 2m. Do đó m = n, nên f đơn ánh. b) Ta tính f (f(n)) theo các bước sau: cho m = n = 0 trong (14) thì ta được f (2f(0)) = 0, lại cho m = 2f(0) vào trong (14) thì ta được f (f(n)) = n + 2f(0). GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    17. 34. 4 KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH, CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ c) Tác động f vào cả hai vế của (14) và sử dụng kết quả trên, ta được f (f (f(n) + f(m))) = f(n) + f(m) + 2f(0). Ngoài ra theo quan hệ đề bài thì f (f (f(n) + f(m))) = f(n + m). Từ đây ta có f(n + m) = f(n) + f(m) + 2f(0). Cho m = n = 0 thì f(0) = 0, do đó quan hệ trên trở thành hàm cộng tính. Vậy f(n) = an. Thay vào quan hệ bài toán ta được f(n) = n, ∀n ∈ N. – Nhận xét: Quan hệ đơn ánh của bài toán này không cần thiết trong lời giải. Và bài toán này có thể chứng minh bằng quy nạp trên N. Cách 2. Nếu xét trên Z+ thì ta có thể chứng minh bằng quy nạp f(x) = x, ∀x ∈ N. Tức là, dùng phương pháp, ta chứng minh không còn tồn tại hàm số nào khác. Trước tiên ta tính f(1). Giả sử f(1) = t 1, đặt s = f(t − 1) 0. Nhận thấy rằng nếu f(m) = n thì f(2n) = f (f(m) + f(m)) = 2m. Như vậy f(2t) = 2, f(2s) = 2t − 2. Nhưng khi đó thì 2s + 2t = f (f(2s) + f(2t)) = f(2t) = 2 → t 1, điều này vô lý. Vậy f(1) = 1. Giả sử ta có f(n) = n thì f(n + 1) = f (f(n) + f(1)) = n + 1. Vậy f(n) = n, ∀n ∈ Z+ . Ví dụ 4.4. (Balkan 2000) Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: f (xf(x) + f(y)) = (f(x))2 + y, ∀x, y ∈ R. (15) Giải a) Ta tính f (f(y)) bằng cách cho x = 0 vào (15) ta được f (f(y)) = (f(0))2 + y, ∀y ∈ R. b) Chứng tỏ f đơn ánh. Thật vậy nếu f(y1) = f(y2) thì f (f(y1)) = f (f(y2)). Từ đây theo phần (a) thì f2 (0) + y1 = (f(0))2 + y2 ⇒ y1 = y2. c) Chứng tỏ f toàn ánh vì vế phải của (15) là một hàm bậc nhất của y nên có tập giá trị bằng R. Kết hợp hai điều trên ta thu được f là một song ánh từ R vào R. GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    18. 35. 4 KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH, CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ d) Tính f(0). Dựa vào tính toàn ánh thì phải tồn tại a ∈ R để f(a) = 0. Thay x = y = a vào (15) ta được f (af(a) + f(a)) = (f(a))2 + a ⇒ f(0) = a. Do f là một song ánh nên a = 0, tức f(0) = 0. Từ đây theo (a) thì f (f(x)) = x, ∀x ∈ R. Trong (15) cho y = 0 ta được f (xf(x)) = (f(x))2 , ∀x ∈ R. (16) Trong quan hệ trên, thay x bởi f(x) ta được(thay được đúng với mọi x ∈ R vì f là song ánh) f (f(x).f (f(x))) = , ∀x ∈ R. Chứng minh rằng f (f(x)) = x, ∀x ∈ R. Giải a) Làm xuất hiện f (f(x)). Cho y = x ta được f(2x) + f(2f(x)) = f (2f(x + f(x))) . (26) Thay x = f(x) trong vào trong (26) ta được f(2f(x)) + f(2f(f(x))) = f (2f(f(x) + f(f(x)))) . (27) Lấy (27) trừ cho (26) ta được f (2f (f(x))) − f(2x) = f (2f (f(x) + f (f(x)))) − f (2f (x + f(x))) . (28) GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    19. 45. 5 KHAI THÁC TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ b) Sử dụng tính chất hàm f là hàm giảm. Giả sử tồn tại x0 sao cho f (f(x0)) x0, khi đó 2f (f(x0)) 2×0. Do f là hàm giảm nên f (2f (f(x0))) f(2×0). Do đó vế trái của (28) nhỏ hơn 0. Vậy f (2f (f(x0) + f (f(x0)))) − f (2f (x0 + f(x0))) 0 ⇒ f (2f (f(x0) + f (f(x0)))) f (2f (x0 + f(x0))) . Lại do f là hàm giảm nên 2f (f(x0) + f (f(x0))) 2f (x0 + f(x0)) ⇒ f(x0) + f (f(x0)) x0 + f(x0) ⇒ f (f(x0)) x0. Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Nếu tồn tại x0 sao cho f (f(x0)) x0 thì lập luận tương tự như trên ta cũng dẫn đến điều vô lý. Vậy f (f(x)) = x, ∀x ∈ R. Ví dụ 5.6. (Italy 2000) a) Tìm tất cả các hàm đơn điệu ngặt f : R → R thỏa mãn f (x + f(y)) = f(x) + y, ∀x, y ∈ R. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 1, không tồn tại hàm đơn điệu ngặt f : R → R sao cho f (x + f(y)) = f(x) + yn , ∀x, y ∈ R. Giải Hàm đơn điệu ngặt thì đơn ánh. Ngoài ra dễ thấy f là một song ánh. a) Thế x = y = 0 ta được f (f(0)) = f(0). Do f đơn ánh nên f(0) = 0. Từ đó ta được quan hệ f (f(x)) = x, ∀x ∈ R. Khi đó với mọi z ∈ R, thay y = f(z) vào quan hệ hàm ta được f(x + z) = f(x) + f(z), ∀x, z ∈ R. Từ tính chất cộng tính của hàm f và tính đơn điệu ngặt của f, suy ra f có dạng f(x) = ax. Thay vào hàm ban đầu ta được f(x) ≡ x hoặc f(x) ≡ −x là hai hàm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách khác: Ta có thể kiểm tra trực tiếp hai hàm số này như sau. Xét trường hợp f là hàm tăng, giả sử tồn tại x0 ∈ R sao cho f(x0) x0, thì do f là hàm tăng nên f (f(x0)) f(x0) → x0 f(x0), vô lý, tương tự cho trường hợp f(x0) x0. Vậy f(x) ≡ x. Tương tự cho hàm giảm. GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    20. 48. 6 KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM SỐ 6 Khai thác tính chất điểm bất động của hàm số Cho hàm số f : X → R. Điểm a ∈ X gọi là điểm cố định(điểm bất động, điểm kép) của hàm số f nếu f(a) = a. Việc nghiên cứu các điểm bất động của một hàm số cũng cho ta một số thông tin về hàm số đó. Điểm bất động a của hàm số f chính là chu trình bậc 1 của điểm a qua ánh xạ f Ví dụ 6.1. (IMO 1983) Tìm các hàm số f : R+ → R+ thỏa mãn hai điều kiện: limx→∞ f(x) = 0 và f(xf(y)) = yf(x), ∀x, y ∈ R+ Giải a) Tính f(1). Cho x = y = 1, ta được f (f(1)) = f(1). Lại cho y = f(1) ta được f (xf (f(1))) = f(1)f(x) ⇒ f (xf(1)) = f(1)f(x). Mặt khác f (xf(1)) = f(x) nên ta được f(x) = f(x)f(1) ⇒ f(1) = 1(do f(x) 0). b) Điểm cố định của hàm số Cho x = y vào quan hệ hàm ta được f (xf(x)) = xf(x), ∀x ∈ R+ . Suy ra xf(x) là điểm bất động của hàm số f. c) Một số đặc điểm của tập điểm cố định. Nếu x và y là hai điểm cố định của hàm số, thì f(xy) = f (xf(y)) = yf(x) = xy. Chứng tỏ xy cũng là điểm bất động của hàm số. Như vậy tập các điểm bất động đóng với phép nhân. Hơn nữa nếu x là điểm bất động thì 1 = f(1) = f 1 x f(x) = xf 1 x ⇒ f 1 x = 1 x . Nghĩa là 1 x cũng là điểm bất động của hàm số. Như vậy tập các điểm bất động đóng với phép nghịch đảo. Như vậy ngoài 1 là điểm bất động ra, nếu có điểm bất động nào khác thì hoặc điểm bất động này lớn hơn 1, hoặc nghịch đảo của nó lớn hơn 1. Do đó lũy thừa nhiều lần của điểm này lớn hơn 1 cũng sẽ là điểm bất động. Điều này trái với điều kiện thứ 2 trong quan hệ hàm. d) Vậy 1 là điểm bất động duy nhất của hàm số, do xf(x) là điểm bất động của hàm số với mọi x 0 nên từ tính duy nhất ta suy ra f(x) = 1 x . Dễ thấy hàm số này thỏa mãn yêu cầu bài toán. GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    21. 49. 6 KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM SỐ Ví dụ 6.2. (IMO 1994) Giả sử S là tập hợp các số thực lớn hơn −1. Tìm tất cả các hàm số f : S → S sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn a) f[x + f(y)) + xf(y)] = y + f(x) + yf(x) ∀x, y ∈ S b) f(x) x là hàm thực sự tăng với −1 x 0 và với x 0 . Giải a) Tìm điểm bất động. Từ điều kiện (b) ta nhận thấy phương trình điểm bất động f(x) = x có nhiều nhất là 3 nghiệm(nếu có): một nghiệm nằm trong khoảng (−1; 0), một nghiệm bằng 0, một nghiệm nằm trong khoảng (0; +∞). b) Nghiên cứu điểm bất động của hàm số. Giả sử u ∈ (−1; 0) là một điểm bất động của f. Trong điều kiện (a) cho x = y = u ta được f(2u + u2 ) = 2u + u2 . Hơn nữa 2u + u2 ∈ (−1; 0) và 2u + u2 là một điểm bất động nữa của hàm số trong khoảng (−1; 0). Theo nhận xét trên thì phải có 2u + u2 = u ⇒ u = −u2 ∈ (−1; 0). Hoàn toàn tương tự, không có điểm bất động nào nằm trong khoảng (0; +∞). Như thế 0 là điểm bất động duy nhất của hàm số(nếu có). c) Kết luận hàm Cho x = y vào (a) ta được f (x + f(x) + xf(x)) = x + f(x) + xf(x), ∀x ∈ S. Như vậy với mọi x ∈ S thì x + (1 + x)f(x) là điểm bất động của hàm số. Theo nhận xét trên thì x + (1 + x)f(x) = 0, ∀x ∈ S ⇒ f(x) = − x 1 + x , ∀x ∈ S. Thử lại thấy hàm này thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 6.3. (IMO 1996) Tìm tất cả các hàm số f : N → N sao cho: f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n), ∀m, n ∈ N. Giải a) Tính f(0). Cho m = n = 0 thì ta có f (f(0)) = f (f(0)) + f(0) ⇒ f(0) = 0. Từ đây lại cho n = 0 thì f (f(m)) = f(m), ∀m ∈ N. Vậy ta có quan hệ hàm như sau 8 : f(m + f(n)) = f(m) + f(n) (1) f(0) = 0 (2) . GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    22. 50. 6 KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM SỐ b) Nhận thấy hàm f(0) ≡ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. c) Tìm điểm cố định của hàm số. Nếu f không đồng nhất 0. Thì từ quan hệ f (f(m)) = f(m), ∀m ∈ N suy ra với mọi m ∈ N thì f(m) là điểm cố định của hàm số với m ∈ N. d) Tính chất của các điểm bất động. Nếu a và b là hai điểm bất động của hàm số f thì f(a + b) = f (a + f(b)) = f (f(a)) + f(b) = f(a) + f(b) = a + b. Vậy tập các điểm bất động bất biến qua phép cộng. e) Tập hợp các điểm bất động của f. Gọi a là điểm bất động khác 0 bé nhất của hàm số f. – Nếu a = 1, tức là f(1) = 1, thì dễ thấy rằng f(2) = 2 (bằng cách cho m = n = 1). Và áp dụng phương pháp quy nạp ta suy ra f(n) = n∀n ∈ N. – Nếu a 1, tức là f(a) = a. Bằng phương pháp quy nạp ta cũng chứng tỏ được là f(ka) = ka, ∀k ≥ 1. Ta chứng minh tập các điểm bất động động đều có dạng ka, ∀k ≥ 1(lưu ý là a là điểm bất động nhỏ nhất của hàm số). Thật vậy nếu n là điểm bất động khác thì n = ka + r(0 ≤ r a), khi đó theo (1) và tính chất điểm bất động của ka, ta có n = f(n) = f(ka + r) = f (r + f(ka)) = f(r) + f(ka) = f(r) + ka ⇒ f(r) = n − ka = r. Vì r a mà r lại là điểm bất động, a là điểm bất động nhỏ nhất, nên r = 0. Chứng tỏ các điểm bất động đều có dạng ka, ∀k ≥ 1 (*). f) Xây dựng hàm f. Vì {f(n) : n ∈ N} là tập các điểm bất động của hàm f. Vậy thì với i a thì do (*) nên ta có f(i) = nia với n0 = 0, ni ∈ N. Lấy số nguyên dương n bất kỳ thì ta có thể viết n = ka + i(0 ≤ i a). Theo quan hệ đầu bài thì f(n) = f(i + ka) = f (i + f(ka)) = f(i) + ka = nia + ka = (ni + k)a. Ta kiểm chứng hàm f như vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thật vậy, với m = ka + i, n = la + j , 0 ≤ i, j a thì f (m + f(n)) = f (la + j + f (ka + i)) = ka + i + f (f(la + i)) . GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com
    23. 51. 6 KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM SỐ Ví dụ 6.4. (AMM, E984) Tìm tất cả các hàm số f : R → R sao cho f(f(x)) = x2 − 2, ∀x ∈ R. Giải Ta chứng minh một kết quả tổng quát hơn: Cho S là một tập hợp và g : S → S là một hàm số có chính xác 2 điểm cố định {a, b} và g ◦ g có chính xác 4 điểm cố định {a, b, c, d}. Thì không tồn tại hàm số f : S → S để g = f ◦ f. Chứng minh Giả sử g(c) = y. Thì c = g (g(c)) = g(y), nên y = g(c) = g (g(y)). Do vậy y là một điểm cố định của g ◦ g. Nếu y = a thì a = g(a) = g(y) = c, dẫn đến mâu thuẫn. Tương tự cho y = b sẽ dẫn đến mâu thuẫn là c = b. Nếu y = c thì c = g(y) = g(c), tức c là điểm cố định của g, mâu thuẫn. Từ đó suy ra y = d, tức là g(c) = d, và tương tự thì g(d) = c. Giả sử tồn tại f : S → S sao cho f ◦ f = g. Thì f ◦ g = f ◦ f ◦ f = g ◦ f. Khi đó f(a) = f (g(a)) = g (f(a)), nên f(a) là một điểm cố định của g. Bằng việc kiểm tra từng trường hợp ta kết luận f{a, b} = {a, b}, f{a, b, c, d} = {a, b, c, d}. Xét f(c). Nếu f(c) = a, thì f(a) = f (f(c)) = g(c) = d, mâu thuẫn do f(a) nằm trong {a, b}. Tương tự cũng không thể xảy ra f(c) = b. Ngoài ra cũng không thể có f(c) = c vì c không là điểm cố định của g. Do vậy chỉ có khả năng là f(c) = d. Nhưng khi đó thì f(d) = f (f(c)) = g(c) = d, mâu thuẫn, vì điều này không thể xảy ra do d không phải là điểm cố định của g. Do vậy không thể tồn tại hàm f thỏa yêu cầu bài toán. Quay trở lại bài toán, bài toán là trường hợp đặc biệt của hàm g(x) = x2 − 2, có hai điểm cố định là −1 và 2, và g (g(x)) = (x2 − 2) 2 − 2 có các điểm cố định là −1, 2, −1 + √ 5 2 và −1 √ 5 2 . Áp dụng kết quả trên ta hoàn thành lời giải cho bài toán. GV: Trần Minh Hiền. . . . . .PTH bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . .Trường THPT chuyên Quang Trung www.VNMATH.com

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Viết Phương Trình Hóa Học Hay, Chi Tiết
  • Tính Theo Phương Trình Hóa Học
  • Bài Tập Cân Bằng Phương Trình Hóa Học Lớp 8 Có Đáp Án
  • Phương Trình Hóa Học Là Gì? Hướng Dẫn Cách Cân Bằng Phương Trình Hóa Học
  • Phương Trình Hóa Học Đầy Đủ Chi Tiết Nhất
  • Hàm Vlookup Trong Excel, Cách Dùng Hàm Vlookup Trong Excel, Hàm Tìm Ki

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Làm Kế Toán Trên Excel
  • Học Thực Hành Kế Toán Excel, Dạy Làm Kế Toán Trên Excel Bằng Hóa Đơn Đỏ
  • Khóa Học Kế Toán Trên Excel
  • Hướng Dẫn: Nhập Dữ Liệu Vào Excel Và Tạo Mô Hình Dữ Liệu
  • Tài Liệu Học Excel Miễn Phí
  • Cách sử dụng hàm Vlookup trong Excel, cú pháp cũng như các ví dụ sẽ được chúng tôi chia sẻ tất tần tật trong bài viết sau đây. Các bạn cùng tham khảo để sử dụng hàm Vlookup cho đúng.

    Cách thực hiện này giúp bạn:

    – Dùng Vlookup hiệu quả

    – Biết cách sửa lỗi hàm VLOOKUP

    – Biết cách kết hợp hàm Vlookup với các hàm khác

    Hàm VLOOKUP trong Excel là hàm tìm kiếm giá trị theo cột và trả về phương thức hàng dọc, đây có thể nói là hàm excel khá thông dụng và tiện lợi với những người hay sử dụng Excel để thống kê, dò tìm dữ liệu theo cột chính xác. Trong khuôn khổ thủ thuật , chúng tôi sẽ trình bày tới bạn đọc 2 cách dò tìm cơ bản của hàm này.

    Ví dụ hàm Vlookup, bài tập hàm Vlookup trong Excel

    cách sử dụng hàm Vlookup trong Excel 2022, 2013, 2010, 2007

    I. Cú pháp hàm Vlookup

    Lưu ý cú pháp hàm:
    VLOOKUP(lookup_value,table_array,col_index_num,[range_lookup])

    lookup_value: Giá trị dùng để dò tìm.

    table_array: Bảng giá trị dò, để ở dạng địa chỉ Tuyệt đối (có dấu $ phía trước bằng cách nhấn F4).

    col_index_num: Thứ tự của cột cần lấy dữ liệu trên bảng giá trị dò.

    range_lookup: Phạm vi tìm kiếm, TRUE tương đương với 1 (dò tìm tương đối), FALSE tương đương với 0 (dò tìm tuyệt đối).

    II. Ví dụ về hàm Vlookup trong Excel 1. Cách dò tìm tương đối:

    VD: Căn cứ vào bảng quy định xếp loại tương ứng với điểm đã cho, tiến hành xếp loại học lực cho các sinh viên có tên trong danh sách dưới:

    Ví dụ về hàm Vlookup excel

    Ta sử dụng công thức ở cột D6 là: =VLOOKUP(C6,$C$16:$D$20,2,1)

    Kết quả thu được:

    Kết quả khi dùng hàm vlookup

    Với cách dò tìm tuyệt đối thì bạn sẽ tìm được chi tiết hơn cách dò tìm tương đối.

    VD: Điền thông tin Quê quántrình độ của các nhân viên vào bảng căn cứ vào mã nhân viên đã cho tương ứng phía dưới.

    Ví dụ dò tìm tuyệt đối khi dùng hàm vlookup

    Để điền thông tin quê quán của nhân viên ta dùng công thức Vlookup cho ô E6 như sau: =VLOOKUP(A6,$D$12:$F$17,2,0)

    A6 là giá trị đem dò tìm

    $D$12:$F$17 là bảng dò tìm

    2 : số thứ tự cột dữ liệu trên bảng dò

    0 : Kiểu dò tìm chính xác

    Cách sử dụng dò tuyệt đối với hàm Vlookup

    Tương tự để điền vào ô trình độ của nhân viên ta làm như sau:

    Với ô F6 có công thức : =VLOOKUP(A6,$D$12:$F$17,3,0)

    Kết quả dùng hàm Vlookup dò giá trị tuyệt đối

    III. Hàm Vlookup kết hợp hàm Hlookup, Left, Right, Match

    Ở nội dung trên chúng tôi đã hướng dẫn bạn tìm hiểu cơ bản về hàm Vlookup, để giúp các bạn hiểu hơn và áp dụng thực tế hơn, bây giờ chúng tôi sẽ đưa ra một tình huống bài tập cụ thể như sau. Bài toán này là sự kết hợp giữa hàm Vlookup và các hàm trong Excel như hàm Hlookup, hàm Left, hàm Right và hàm Match.

    Yêu cầu cần giải quyết:

    Câu 1: Căn cứ vào 2 ký tự bên trái và 2 ký tự bên phải của Mã SP trong Bảng 1, hãy tra trong Bảng 2 đề điền giá trị cho cột Tên Hàng – Tên Hãng Sản xuất (Tính dữ liệu cho cột C5:C10).

    VD: KD-NĐ Tức là gạo Khang Dân – Nam Định.

    Câu 2: Hãy điền Đơn Giá cho mỗi mặt hàng đựa vào Mã SP ở Bảng 1 và tra ở Bảng 2. (Tính dữ liệu cho cột D5:D10).

    Câu 3: Tính thành tiền = Số lượng * Đơn giá

    Câu 3: Tính thành tiền

    Ồ, câu hỏi này thường xuất hiện trong những bài toán tính toán dữ liệu như bảng lương, chi phí, tổng thành tiền, … Khá là dễ rồi phải không các bạn.

    Công thức tính thành tiền sẽ như sau, Tại ô F5 các bạn nhập E5=+D5*E5

    IV. Sửa lỗi #NA hàm Vlookup Lỗi #NA là gì?

    Lỗi #NA được trả về trong công thức excel khi không tìm thấy giá trị thích hợp

    Khi sử dụng hàm Vlookup, chúng ta gặp lỗi #NA khi không tìm thấy điều kiệm tìm kiếm trong vùng điều kiến, chính xác ở đây là cột đầu tiên trong vùng điều kiện của hàm Vlookup

    Cách sửa lỗi #NA trong hàm Vlookup

    Trong Excel, hàm Vlookup được sử dụng phổ biến giúp bạn có thể thực hiện hàm tìm kiếm giá trị, trả về phương thức hàng dọc tốt, nhanh chóng. Hiện nay, bạn có thể áp dụng một trong hai cách dò hàm Vlookup.

    Với hai cách dò tìm tương đối và tuyệt đối của hàm Vlookup, hàm dò tìm giá trị theo cột bạn dễ dàng thống kê dữ liệu trên bảng tính Excel. Vlookup giúp cho việc thống kê các chi tiết để làm báo cáo lọc ra các danh sách cần thiết, công việc của bạn sẽ chính xác và rút ngắn thời gian hơn. Đây là hàm được dùng khá nhiều trong quá trình thao tác trên bảng tính.

    Để học tốt cũng như hiểu rõ hơn về hàm tìm kiếm bạn có thể tham khảo hàm Hlookup trong Excel đã được chúng tôi giới thiệu. Hàm Hllookup giúp bạn tìm kiếm và tham chiếu theo cột, hoặc theo dòng, Khi bạn sử dụng hàm này, nếu thỏa mãn điều kiện đặt ra.

    Bên cạnh hàm tìm kiếm Vlookup trong Excel, bạn có thể tham khảo Hàm COUNTIF trong Excel, Hàm COUNTIF là một hàm đếm khá tiện lợi, với những điều kiện ban đầu, Hàm COUNTIF sẽ cho bạn những kết quả chính xác nhất.

    Hàm tính toán cũng có khá nhiều hàm khác nhau trong Excel, và Hàm SUMIF là một trong những hàm được nhiều người sử dụng, Hàm SUMIF là hàm tính tổng có điều kiện, giúp bạn tính tổng các cột, các hàng riêng lẻ mà không phải tính tổng tất cả các dữ liệu trong file Excel

    https://thuthuat.taimienphi.vn/huong-dan-su-dung-ham-vlookup-trong-excel-633n.aspx

    Sử dụng Excel không thể không nhắc tới Hàm MID, đây là hàm cơ bản trong Excel hỗ trợ cắt những chuỗi ký tự trong một dãy ký tự cho trước trong bảng tính Excel, hàm cơ bản MID được sử dụng rất nhiều trong các trường hợp cần lấy ra những ký tự đặc biệt nhất trong các chuỗi ký tự dài có thể lên tới hàng trăm ký tự

    --- Bài cũ hơn ---

  • Đây Là Những Hàm Cơ Bản Nhất Trong Excel Mà Bạn Cần Nắm Rõ
  • Tổng Hợp Bài Tập Tự Học Excel Từ Cơ Bản Hiệu Quả Nhất 12/2020
  • Cách Học Excel Hiệu Quả
  • Hướng Dẫn Cách Tự Học Vba Excel Hiệu Quả Cho Người Mới
  • Dân Văn Phòng Và Kế Toán Cần Biết: Sử Dụng Excel 2010 Thành Thạo, Ẩn/hiện Các Phím Tắt Thông Dụng
  • Cách Tìm Cực Trị Của Hàm Hợp Cực Hay, Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Tổng Và Hàm Số Hợp
  • Mách Bạn Cách Giải Hạn Xui Xẻo Khi Chơi Casino
  • Hướng Dẫn Cách Hóa Giải Vận Hạn Cho Gia Chủ
  • Cách Nén File Ảnh, Giảm Dung Lượng Ảnh Đơn Giản Nhất
  • 3 Cách Nén Ảnh, Giảm Dung Lượng Ảnh Hiệu Quả
  • Cách tìm cực trị của hàm hợp cực hay, có lời giải

    A. Phương pháp giải

    a. Kiến thức cần nhớ

    – Đạo hàm của hàm hợp:

      

    – Bước 2: Giải phương trình có bao nhiêu điểm cực trị?

    A. 3.

    B. 5.

    C. 4.

    D. 6.

    Lời giải

    Chọn C

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • 4 Mẹo Hóa Giải Vận Hạn Xui Xẻo
  • Cách Giảm Dung Lượng File Pdf, Nén File Pdf
  • Hướng Dẫn Giải Nén File Exe Với Universal Extractor
  • Cách Nấu Cháo Tía Tô Giải Cảm Cho Bé
  • 13 Bước Đơn Giản Mà Hiệu Quả Để Điều Trị Cảm Cúm Tự Nhiên Cho Bé
  • Giải Toán 11 Bài 1. Hàm Số Lượng Giác

    --- Bài mới hơn ---

  • Sự Đồng Biến Nghịch Biến Của Hàm Số Lượng Giác
  • Hướng Dẫn Vẽ Đồ Thị Hàm Số, Vẽ Hình Học Online
  • Top 3 Phần Mềm Vẽ Đồ Thị Hàm Số Nhanh Chính Xác Nhất Hiện Nay
  • Top 3 Phần Mềm Vẽ Đồ Thị Hàm Số Chính Xác Nhất
  • Ôn Tập Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát & Vẽ Đồ Thị Hàm Số
  • §1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CĂN BẢN ĐỊNH NGHĨA Hàm số sin và hàm số côsin được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx. Tập xác định của hàm sô' sin là R. X H y = cosx. được gọi là hàm sô' cosin, kí hiệu là y = cosx. Tập xác định của hàm sô' côsin là R. Hàm sô' tang và hàm sô' côtang Hàm số tang: Hàm sô' tang là hàm sô' được xác định bởi công thức sinx . y = - - (cosx * 0) cosx Kí hiệu là y - tanx. Tập xác định của hàm sô' y = tanx là D = R + kn, k 6 zI. Hàm số côtang: Hàm sô' côtang là hàm sô' được xác định bởi công thức cosx , . y = (sinx * 0) sinx Kí hiệu là y - cotx. Tập xác định của hàm sô' y = cotx là D = R {kĩi, k e Z}. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM số LƯỢNG GIÁC Hàm sô' y = sinx và y = cosx là hàm sô' tuần hoàn với chu kì 2n. Hàm sô' y = tanx và y = cotx là hàm sô' tuần hoàn với chu kì 7t. sự BIẾN THIÊN VÀ Đổ THỊ CỦA HÀM số LƯỢNG GIÁC Hàm số y = sinx Xác định với mọi X e K và -1 < sinx < 1 Là hàm sô' lẻ. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 271. Bảng biến thiên của hàm số y = sìnx trên đoạn X -71 0 71 y = cosx -1 - Đồ thị hàm số y = cosx Ta có: cosx = sin(x + với mọi X, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang trái một đoạn có độ dài ta được đồ thị hàm sô' Hàm số y = tanx * Có tập xác định là D = R j I + kĩt, ke z Là hàm số lẻ. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 71. 4. Đổ thị của hàm số y = tanx Hàm số y = cotx Có tập xác định là D = R {krc, ke z} Là hàm số lẻ. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 71. Bảng biến thiên của hàm số y = cotx trên [0; 7i] Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cotx trên khoảng (0; 7t). Đồ thị hàm số y = cotx Bảng biến thiên của hàm số y - tanx trên B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Hãy xác định những giá trị của X trên đoạn 3)1 đê' hàm số y = tanx: Nhận giá trị bằng 0; c) Nhận giá trị dương; Nhận giá trị bằng 1; d) Nhận giá trị âm. tfiai 3ti Dựa vào đồ thị của hàm số y = tanx trên -7t;- tanx = 0 tại X e {-7t; 0; 7t} tanx = 1 tại xe Ị- y 4 4 4 ] ta có: 2. Tìm tập xác định của các hàm số: 1 + cosx a) y = i"y. c) y = tan X V1-COSX d)y = cot x + ơ) I y xác định khi và chỉ khi sinx * 0 X * kĩt, k e z Vậy tập xác định D = R {kĩt, k e Z}. y xác định khi và chỉ khi X - + b o X - + kít, k e 3 2 6 6 71 - 7C rn y xác định khi và chỉ khi x + -7*k7Tx*--7 + kĩt, k e z 6 6 6 3. Dựa vào đồ thị của hàm sô' y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = I sinx I. ỐỊiải Ta co I sinxj = < . , do đó đõ thị của hàm sô y = I sinx I [-sinx nếu sinxcO có được từ đồ thị CO của hàm sô' y = sinx bằng cách: Lấy hình đôi xứng qua trục hoành của phần đồ thị co nằm trong nửa mặt phẳng y < 0 (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox); Xóa phần đồ thị của co nằm trong nửa mặt phẳng y < 0 4. Chứng minh rằng sin2(x + kn) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x. Ốjiải Ta có sin2(x + kn) = sin(2x + 2k7t) = sin2x, k e z. Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu kì 71 và y = sin2x là hàm sô' lẻ nên ta vẽ đồ thị của y = sin2x trên đoạn 0, được đồ thị trên đoạn '2 rồi lấy đô'i xứng qua Cuối cùng tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn độ dài 7t ta được đồ thị hàm sô' y = sin2x trên K. 71 71 2'2 8. 5. Dựa vào đổ thị hàm số y = cosx, tim các giá trị của X để cosx = Ốịiải Đường thẳng y = - cắt đồ thị hàm số y = cosx tại các giao điểm có hoành 2 độ tương ứng là + k27T và + k27i, k e z. 3 3 6. Dựa vào đố thị cùa hàm số y = sinx, tim các khoảng giá trị của X đê' hàm số đó nhận giá trị dương. ố^lảl 7. Dựa vào đổ thị của hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của X để hàm số đó nhận giá trị âm. ốỊiải Ta có cosx < 0 ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox. Đó là các khoảng Tim giá trị lớn nhất của các hàm số: y = 2 s/cosx + 1; y = 3 - 2sinx. Ốịiải Ta có cosx y X = k2n, k e X Vậy maxy - 5 o sinx = -1x = -^ + k27i, k 6 z. 2 c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1-sinx cosx b) y = cotx X + - - 1; d) y I 3J a) X * - + kn; b) X 2 c) X * + krc; d) X 1 + sinx 1 -sinx 71 2 71 3 71 2 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số: a) y - sin42x; b) y = cosxsinx sinx -tanx c) y = - tanx + cotx d) y = sinx - cosx. sinx + cotx ĐS: a) Hàm số chẵn; c) Hàm số chẵn; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số a) y = -5sin í X -+ 1; b)y = 7l + 2cosx - 3 . ĐS: a) -4; 6; b) -3; 73-3. Chứng minh rằng cos2(x + kĩi) = cos2x, k e z. Vẽ đồ thị các hàm số sau: b) Hàm số chẵn; d) Hàm số không chẵn không lẻ. a) y = 1 - sinx; c)y = tanj^x + ^; b) y = COS ^x + d) y - cot X - a)y =

    --- Bài cũ hơn ---

  • Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 1: Hàm Số Lượng Giác
  • Bài 1,2,3,4 Trang 49,50 Môn Đại Số 10: Hàm Số Bậc 2
  • Cách Vẽ Đồ Thị Hàm Số Trong Excel
  • Các Dạng Đồ Thị Hàm Số Bậc Nhất, Bậc 2, Bậc 3, Bậc 4 Trùng Phương
  • Giáo Án Dạy Thêm 10
  • Hàm Số – Hàm Lượng Giác Ngược – Hàm Hyperbol

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Giải Bùa Ngải Thư Yểm
  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8
  • 7 Bước Xử Gọn Business Case Theo Mô Hình Problem
  • Học Và Luyện Business Case Bằng Cách Nào, Ở Đâu?
  • Case Study Là Gì? 7 Bước Viết Business Case Tăng Chyển Đổi
  • II. hàm lượng giác ngược:

    1. Hàm số y = arcsinx.

    Hàm số y = sinx không là đơn ánh trên toàn bộ miền xác định.

    Tuy nhiên, nếu xét trên đoạn thì hàm số y = sinx là hàm đồng biến nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arcsiny (đọc là ác-sin y, nghĩa là x là cung mà sin bằng y). Và

    Do đó hàm ngược của y = sinx là (y là cung mà sin bằng x)

    Vậy:

    – Miền xác định: D:

    – Hàm đồng biến trên " class="latex">

    Tuy vậy:

    Nên:

    2. Hàm số y = arccosx.

    Xét hàm số y = cosx trên đoạn thì hàm số y = cosx là hàm  giảm nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arccosy (đọc là ác-cos y, nghĩa là x là cung mà cosin bằng y).

    Vậy

    Do đó hàm ngược của y = cosx là (y là cung mà cosin bằng x)

    Vậy:

    – Miền xác định: D:

    – Hàm nghịch biến trên [-1;1]

    Tính chất:

    Ví dụ:

    Vd1.

    Ta có:

    Nên:

    Vd2.

    Ta cần xác định arccos0.4. Đặt y = arccos0.4 , .

    Suy ra cosy = cos(arccos0.4) = 0.4

    Khi đó: (do nên )

    Vậy:

    3. Hàm số y = arctanx

    Hàm y = arctanx là hàm ngược của hàm y = tanx. Hàm ngược y = arctanx có miền xác định và miền giá trị

    4. Hàm số y = arccotgx

    Hàm y = arccotgx là hàm ngược của hàm y = cotgx. Hàm ngược y = arccotgx có miền xác định và miền giá trị

    5. Một số tính chất của hàm lượng giác ngược:

    6. Bài tập áp dụng:

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    8.

    Bình chọn

    Share this:

    Like this:

    Số lượt thích

    Đang tải…

    --- Bài cũ hơn ---

  • Arcsin Là Gì? Thuật Ngữ Toán Học Cơ Bản
  • 20+ Cách Hóa Giải Vận Xui, Vận Đen Hiệu Quả Nhanh Nhất 2022
  • Cách Nén File Và Giải Nén File –
  • Hiệu Nghiệm Ngay Tức Thì!
  • Cách Giải Phương Trình Chứa Căn, Bất Phương Trình Chứa Căn
  • Giải Hệ Pt Bằng Phương Pháp Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Đạo Hàm
  • Giải Toán Nhanh & Giải Phương Trình, Đồ Thị Hàm Số Cho Android
  • Chuyên Đề Giải Phương Trình Đa Thức Bậc Cao
  • Phương Pháp Giải Một Số Dạng Phương Trình Môn Toán Ở Cấp Thcs
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Rèn Kỹ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8
  • Giải hệ phương trình sau :

    Giải

    .

    Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1)

    Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)

    Chú ý : Tại sao ta không đưa chúng về dạng : , sau đó xét hàm số ?

    Giải hệ phương trình sau :

    Giải

    Từ (2) :

    Thay vào phương trình (1):. Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải phương trình mũ .Phương trình có dạng :

    Do đó phương trình trở thành :

    Xét hàm số : suy ra hàm f(t) đồng biến trên R . Do vậy để xảy ra f(b)=f(a) chỉ xảy ra khi a=b :

    ( vì x khác 0 ) và

    Chú ý : Vì ta sử dụng được phương pháp hàm số vì a,b thuộc R

    Giải hệ phương trình sau :

    Giải

    .

    Đặt : x-1=t suy ra (*) trở thành :

    +/ Trường hợp chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 .

    Thay vào (2) ta có : . Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2).

    +/ Trường hợp :

    Bài 5 Giải hệ phương trình sau :

    Giải

    .

    -Trường hợp 1: y=, thay vào (2) :

    -Trường hợp :

    . Phương trình vô nghiệm .

    Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)=

    * Chú ý : Ta còn có cách giải khác

    – Phương trình (1) khi x=0 và y=0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) ).

    – Chia 2 vế phương trình (1) cho

    – Xét hàm số : . Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để phương trình có nghiệm thì chỉ xảy ra khi : . Đến đây ta giải như ở phần trên

    Bài 6. Giải hệ phương trình sau : .

    Giải

    – Trường hợp 1: .

    Thay vào (2)

    – Trường hợp : .

    Thay vào (2) :

    Vậy hệ có nghiệm :

    Bài 7 Giải hệ phương trình sau :

    Giải

    a. . Từ (2) viết lại :

    Ta xét hàm số f(t)=. Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên ta có : . (*)

    Thay vào (1) :

    * Nếu x+y=1 thay vào (2) ta được :

    +/ Với vô nghiệm vì

    Bài 8. Giải hệ phương trinh :

    Giải

    Từ . . – Điều kiện :

    – Từ (1) :

    – Xét hàm số : . Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến .

    Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi

    --- Bài cũ hơn ---

  • Lời Giải Phương Trình Vi Phân Bậc Hai
  • Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình
  • Lập Phương Trình Hóa Học
  • Tính Theo Phương Trình Hóa Học Là Gì? Những Dạng Bài Tập Và Cách Giải
  • Các Cách Cân Bằng Phương Trình Hóa Học Lớp 8 Bạn Cần Biết
  • Đạo Hàm Của Hàm Hợp

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Vẽ Đồ Thị Hàm Số Và Giải Bài Tập Sách Giáo Khoa Trang 71
  • Trẻ Nóng Trong Nên Uống Gì, Ăn Gì Để Thanh Nhiệt, Tăng Cân?
  • Bỏ Túi 7 Loại Nước Giải Nhiệt Cho Bé Yêu Vào Mùa Hè
  • Mùa Hè Cho Trẻ Ăn Gì Cho Mát: 20 Loại Thực Phẩm Mẹ Không Nên Bỏ Qua
  • 22 Loại Rau Củ Quả Giải Nhiệt Cho Bé Giúp Phòng Bệnh Mùa Hè
  • 1. Định nghĩa:

    Giả sử phương trình (1) xác định với u, v là hàm số của các biến độc lập x và y: (2) thì khi đó z được gọi là hàm số hợp của các biến số x và y thông qua 2 biến trung gian u và v.

    Như vậy z cũng có thể biểu diễn như hàm 2 biến x, y: (3)

    Ví dụ: Cho

    Khi đó:

    Tình huống:

    Nếu ta cần khảo sát đạo hàm của hàm số hợp thì có thể viết hàm số dưới dạng tường minh theo 2 biến x, y. Tuy nhiên, với hàm trên thì việc lấy đạo hàm riêng sẽ rất khó khăn. Hoặc nếu hàm số chưa xác định được công thức, ví dụ: hoặc thì làm sao tính được các đạo hàm riêng

    2. Định lý: (Tính từ (1), (2) mà không dùng (3)

    Cho z = f(u,v) và u, v là các hàm của hai biến u = u(x,y) và v = v(x,y). Cho các hàm z, u, v khả vi tại các điểm tương ứng. Khi đó, z = f(u,v) có các đạo hàm riêng xác định bởi công thức:

    ;

    3. Quy tắc Xích để xác định công thức tính đạo hàm cho hàm hợp:

    – Dòng 1: Viết hàm cần tính đạo hàm z

    – Dòng 2: Xác định các biến trung gian có trong hàm z. Ví dụ: (u,v)

    – Dòng 3: xác định biến cần lấy đạo hàm. Ví dụ x

    – Nối z với các biến trung gian u, v bằng những đoạn kẻ. Mỗi đoạn kẻ tương ứng với phép lấy đạo hàm.

    – Nếu u, v là những biến phụ thuộc x thì nối u với x bằng 1 đường kẻ; nối v với x bằng 1 đường kẻ. Các đường kẻ trên chính là các phép toán lấy đạo hàm riêng.

    – Tổng hợp tất cả các cách nối được từ z đến x ta sẽ có công thức tính đạo hàm của z theo x.

    4. Một số trường hợp tổng quát:

    1. Với z = f(u,v, w) , trong đó u = u(t), v = v(t), w = w(t)

    Khi đó: z là hàm số hợp của 1 biến số t thông qua 3 biến trug gian u, v, w.

    Bấy giờ, đạo hàm của z theo t được xác định

    (do z, u, v, w đều là hàm theo 1 biến t nên đạo hàm là đạo hàm thường)

    Áp dụng: tính , nếu , với

    Tương tự quy tắc trên, ta có:

    Nghĩa là:

    Hay:

    Ví dụ 1: Tính nếu với y = f(x).

    Trong ví dụ này, ta cần chú ý và phân biệt ý nghĩa của hai ký hiệu

    Đầu tiên, ký hiệu chỉ z là hàm theo 1 biến x, trong khi đó, biểu thức xác định của z là: nên với ký hiệu này ta sẽ hiểu là z là hàm số hợp của 1 biến x thông qua biến trung gian y.

    Còn ký hiệu, chỉ đạo hàm riêng của z theo biến x, điều này được hiểu là z là hàm hai theo 2 biến độc lập x, y.

    Như vậy:

    Còn:

    Ví dụ 2: Tìm biết

    Bạn có thể lập sơ đồ xích cho 3 biến r, s, t để xác định công thức tính đạo hàm như sau:

    Dựa vào sơ đồ trên, ta có:

    ,

    Ví dụ 3: Tìm

    Ta đặt: thì f là hàm số hợp của 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.

    Khi đó:

    4. Đạo hàm cấp 2 của hàm số hợp 2 biến:

    Giả sử z là hàm số hợp theo 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v. Khi đó ta đã có công thức tính đạo hàm riêng cấp 1 của z đối với 2 biến x, y. Vấn đề đặt ra là: vậy nếu cần tính tiếp tục đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số hợp thì ta phải làm thế nào?

    Ta chú ý, trong công thức:

    Các đại lượng lại là các biểu thức theo u, v nên nó lại là những hàm số hợp của hai biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.

    Do đó:

    (*)

    Mặt khác, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp cho 2 hàm . Ta có:

    , (**)

    Từ (*), (**) ta có:

    Ví dụ áp dụng: Tìm nếu

    Đáp số:

    Tình huống:

    Cho y là hàm theo biến số x xác định từ phương trình: .Bạn thử tìm đạo hàm: .

    Nếu giải tìm được y theo x thì bài toán quá dễ dàng. Còn nếu không giải tìm được hàm y theo biến x thì thế nào đây?

    --- Bài cũ hơn ---

  • Các Thế Khai Cuộc Cờ Tướng Hay Nhất Biến Hóa Nhất
  • Học Chơi Cờ Vua
  • Các Chuyên Gia Hàng Đầu Nói Gì?
  • Bộ Y Tế Nói Gì Về Truyền Bia Chữa Ngộ Độc Rượu
  • Brain Out Level 40 Cứu Hươu Cao Cổ Giải
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100