Top 2 # Cách Giải Bất Phương Trình Trên Máy Tính Vinacal Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 1/2023 # Top Trend | Maiphuongus.net

Giải Bất Phương Trình Logarit Bằng Máy Tính Casio – Lingocard.vn

PHƯƠNG PHÁP 1: CALC THEO CHIỀU THUẬN Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái $ ge 0$ hoặc Vế trái $ le 0$ Bước 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán . CALC THUẬN có nội dung: Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng (a;b) (a;b) thì bất phương trình đúng với mọi giá trị thuộc khoảng (a;b) *Chú ý: Nếu khoảng (a;b) và (c;d) cùng thỏa mãn mà $left( ight) subset left( ight)$ thì (c;d) là đáp án chính xác

Ví dụ minh họa VD1.

Đang xem: Giải bất phương trình logarit bằng máy tính casio

Bất phương trình $}}left( _3}frac}}} A. $left( ight)$ B. $left( ight)$ C. $left( ight) cup left( ight)$ D. $left( ight) cup left( ight)$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017)

Lời giải:

Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A +) CALC với giá trị cận trênX=-2-0,1 ta được

Đây là 1 giá trị dương vậy cận trên thỏa +) CALC với giá trị cận dưới $X = – $

Đây là 1 giá trị dương vậy cận dưới thỏa Tới đây ta kết luận đáp án A đúng Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B thì ta thấy B cũng đúng A đúng B đúng vậy A$ cup $ B là đúng nhất và D là đáp án chính xác

Bất phương trình $}}left( _3}frac}}} Vì cơ số $frac$ thuộc $left( ight.$

ight.$

ight.$

ight.$ Cách Casio thì các bạn chú ý Đáp án A đúng , đáp án B đúng thì đáp án hợp của chúng là đáp án D mới là đáp án chính xác của bài toán.

VD2. Giải bất phương trình $ – 4}} ge }$ : A. $x in left( ight) cup left( _2}5; + propto } ight)$ B. $x in left( ight)$ C. $x in left( _2}5 – 2} ight) cup left( ight)$ D. $x in left( 5 – 2}

Lời giải

Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu $ – 4}} – } ge 0$ Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại Nhập vế trái vào máy tính Casio

 Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B và D +)CALC với giá trị cận trên X= -2 ta được

+)CALC với giá trị cận dưới $X = – $

Số $ – $ là số quá nhỏ để máy tính Casio làm việc được vậy ta chọn lại cận dứoi X= -10

Đây cũng là một giá trị dương vậy đáp án nửa khoảng $left( Đi kiểm tra xem khoảng tương ứng $left( 5 – 2} +) CALC với giá trị cận dưới $X = 5 – 2$

+) CALC với cận trên X=10

Đây cũng là 2 giá trị dương vậy nửa khoảng $left( 5 – 2} Vì nửa khoảng $left( 5 – 2} Logarit hóa 2 vế theo cơ số 2 ta được $left( – 4}}} ight) ge left( }} ight) Leftrightarrow – 4 ge left( ight)5$ $ Leftrightarrow left( ight)left( _2}5} ight) ge 0 Leftrightarrow leftegin x ge 2 x le 5 – 2 end ight.$ Vậy ta chọn đáp án D. • Bài toán này lại thể hiện nhược điểm của Casio là bấm máy sẽ mất tầm 1.5 phút so với 30 giây của tự luận. Các e tham khảo và rút cho mình kinh nghiệm khi nào thì làm tự luận khi nào thì làm theo cách Casio • Các tự luận tác giả dùng phương pháp Logarit hóa 2 vế vì trong bài toán xuất hiện đặc điểm “ có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung” các bạn lưu ý điều này.

A. $S = left( ight)$ B. S= (0;2) C. S=R D. $left( ight)$ (Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017)

Lời giải

Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A +) CALC với giá trị cận trên X= 10 ta được

Đây là 1 giá trị âm vậy đáp án A loại dẫn đến C sai  Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B +) CALC với giá trị cận trên X=2- 0.1

+) CALC với giá trị cận dứoi X= 0+ 0.1

Cả 2 giá trị này đều dương vậy đáp án B đúng Vì D chứa B nên để xem đáp án nào đúng nhất thì ta chọn 1 giá trị thuộc D mà không B +) CALC với giá trị X= -2

Giá trị này cũng nhận vậy D là đáp án chính xác

ight)^x} + 3.} ight)^x} + } $ Leftrightarrow 2.} ight)^x} + 3.} ight)^x} + } Đặt $fleft( x ight) = 2.} ight)^x} + 3.} ight)^x} + } ight)^x}$ khi đó (1) $ Leftrightarrow fleft( x ight)$ (2) Ta có $f’left( x ight) = 2.} ight)^x}ln left( } ight) + 3.} ight)^x}ln left( } ight) + } ight)^x}ln left( } ight) < 0$ với mọi x $ Rightarrow $ Hàm số f(x) nghịch biến trên R

Tiếp tục nhắc nhở các bạn tính chất quan trọng của bất phương trình : B là đáp án đúng nhưng D mới là đáp án chính xác (đúng nhất)  Phần tự luận tác giả dùng phương pháp hàm số với dấu hiệu “Một bất phương trình có 3 số hạng với 3 cơ số khác nhau” Nội dng của phương pháp hàm số như sau : Cho một bất phương trình dạng $fleft( u ight)$ trên miền $left$ nếu hàm đại diện f(t) đồng biến trên $left$ thì u= v còn hàm đại diện luôn nghịch biến trên $left$ thì u< v 2)

Phương pháp 2: CALC theo chiều nghịch

Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái $ ge 0$ hoặc Vế trái $ le 0$

Bước 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán . CALC NGHỊCH có nội dung : Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng (a;b) thì bất phương trình sai với mọi giá trị không thuộc khoảng (a;b)

Ví dụ minh họa VD1. Bất phương trình $}}left( _3}frac}}} A. $left( ight)$ B. $left( ight)$ C. $left( ight) cup left( ight)$ D. $left( ight) cup left( ight)$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 )

Lời giải:

Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A +) CALC với giá trị ngoài cận trên X= -2+ 0.1 ta được

Vậy lân cận phải của -2 là vi phạm $ Rightarrow $ Đáp án A đúng và đáp án C sai Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B +) CALC với giá trị ngoài cận trên X=4-0.1 ta được

Đây là giá trị âm. Vậy lân cận tráii của 4 là vi phạm $ Rightarrow $ Đáp án B đúng và đáp án C sai Đáp án A đúng B đúng vậy ta chọn hợp của 2 đáp án là đáp án D chính xác.

VD2. Giải bất phương trình $ – 4}} ge }$. A. $x in left( ight) cup left( _2}5; + propto } ight)$ B. $x in left( ight)$ C. $x in left( _2}5 – 2} ight) cup left( ight)$ D. $x in left( 5 – 2}

Lời giải:

Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu $ – 4}} – } ge 0$ Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B +)CALC với giá trị ngoài cận trên -2 là X= -2+ 0.1 ta được

Đây là 1 giá trị dương (thỏa đề bài) mà đáp án B không chứa X= -2+ 0.1 $ Rightarrow $ Đáp án B sai Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác

A. $S = left( ight)$ B. $S = left( ight)$ C. S=R D. $left( ight)$ (Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017)

Lời giải:

Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A +) CALC với giá trị ngoài cận dưới 2 ta chọn X= 2-0.1

Đây là 1 giá trị dương (thỏa bất phương trình) vậy đáp án A sai dẫn đến đáp án C sai Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B +) CALC với giá trị ngoài cận dưới 0 ta chọn X= 0-0.1

Đây là 1 giá trị dương (thỏa bất phương trình) $ Rightarrow $ Đáp án B sai Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác

BÀI TẬP TỰ LUYỆN A. $left( ight) cup left( ight)$ B. $left( ight) cap left( ight)$ C. $left( ight) cap left( ight)$ D. $left( ight) cup left( ight)$ (Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017)

Bài 2. Tập xác định của hàm số $y = sqrt _}}left( ight) – 1} $ là : A. $left$ C. $left( ight)$ D. $left

Bài 3.

Nghiệm của bất phương trình $}left( + x – 6} e 2$ D. $1 < x < sqrt 5 ,x e 2$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017)

Bài 4. Giải bất phương trình $} ight)^ – x – 9}} le } ight)^}$: A. $x le – 2$ B. $x ge 4$ C. $ – 2 le x le 4$ D. $x le – 2$ hoặc $x ge 4$ (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017)

Bài 5. Bất phương trình $}} < 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên : A.1 B. Vô số C. 0 D. 2 (THPT HN Amsterdam 2017)

Bài 6. Tập nghiệm của bất phương trình $ – + 1 < 0$ là tập con của tập A. $left( ight)$ B. $left( ight)$ C. $left( ight)$ D. $left( A. $left( ight) cup left( ight)$ B. $left( ight) cap left( ight)$ C. $left( ight) cap left( ight)$ D. $left( ight) cup left( ight)$ (Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017)

Lời giải:

Kiểm tra khoảng nghiệm (1;2) với cận dưới X= 1+ 0.1 và cận trên X= 2- 0.1

Hai cận đều nhận $ Rightarrow left( ight)$ nhận Kiểm tra khoảng nghiệm $left( ight)$ với cận dưới X= 3+0.1 và cận trên $X = $

Hai cận đều nhận $ Rightarrow left( ight)$ nhận Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng $ Rightarrow $ A là đáp số chính xác Casio cách 2 Kiểm tra khoảng nghiệm (1;2) với ngoài cận dưới X= 3 – 0.1 và ngoài cận trên X= 2+ 0.1

Hai cận ngoài khoảng (1;2) đều vi phạm $ Rightarrow $ Khoảng (1;2) thỏa Kiểm tra khoảng $left( ight)$ với ngoài cận dưới X= 3-0.1và trong cận dưới (vì không có cận trên)

Ngoài cận dưới vi phạm, trong cận dưới thỏa $ Rightarrow $ Khoảng $left( ight)$ nhận Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng $ Rightarrow $ A là đáp số chính xác

Bài 2. Tập xác định của hàm số $y = sqrt _}}left( ight) – 1} $ là : A. $left$ C. $left( ight)$ D. $left

Lời giải:

Điều kiện : $}left( ight) – 1 ge 0$ ( trong căn $ ge 0$)

Cận dưới vi phạm $ Rightarrow $ Đáp án A sai Kiểm tra khoảng nghiệm $left( }

Hai cận đều nhận $ Rightarrow left( } Kiểm tra khoảng nghiệm $left( ight)$ với cận trên $X = $ $ Rightarrow $ Cận trên bị vi phạm $ Rightarrow $ C sai $ Rightarrow $ D sai

Tóm lại A là đáp số chính xác Casio cách 2 Đáp án A sai luôn vì cận x=1 không thỏa mãn điều kiện hàm logarit Kiểm tra khoảng nghiệm $left( }

Ngoài hai cận đều vi phạm $ Rightarrow $ $left( } Hơn nữa $X = frac + 0.1$ vi phạm $ Rightarrow $ C và D loại luôn

Bài 3. Nghiệm của bất phương trình $}left( + x – 6} e 2$ D. $1 < x < sqrt 5 ,x e 2$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017)

Lời giải:

Casio cách 1 Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu $}left( + x – 6}

Cận dưới vi phạm $ Rightarrow $ A sai $ Rightarrow $ C và D chứa cận dưới X=1 + 0.1 vi phạm nên cũng sai Tóm lại đáp số chính xác là B Casio cách 2 Kiểm tra khoảng nghiệm (1;2) với ngoài cận dưới X=1 – 0.1 và cận dưới X=1 + 0.1

Cận dưới X=1 + 0.1 vi phạm nên A , C , D đều sai

Bài 4. Giải bất phương trình $} ight)^ – x – 9}} le } ight)^}$. A. $x le – 2$ B. $x ge 4$ C. $ – 2 le x le 4$ D. $x le – 2$ hoặc $x ge 4$ (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017)

Lời giải:

Casio cách 1 Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu $} ight)^ – x – 9}} – } ight)^} le 0$ Kiểm tra khoảng nghiệm $x le – 2$ với cận dưới X= -10 và cận trên X= -2

Hai cận đều nhận $ Rightarrow $ $x le – 2$ nhận $ Rightarrow $ Đáp số chính xác chỉ có thể là A hoặc D Kiểm tra khoảng nghiệm $x ge 4$ với cận dưới X=4 và cận trên X= 10 Hai cận đều nhận $ Rightarrow $ $x ge 4$ nhận Tóm lại đáp số chính xác là D Casio cách 2 Kiểm tra khoảng nghiệm $x le – 2$ với ngoài cận trên X= -2+ 0.1 và cận trên X= -2

Ngoài cận trên X= -2+ 0.1 vi phạm nên A nhận đồng thời C sai Kiểm tra khoảng nghiệm $x ge 4$ với ngoài cận dưới X= 4 -0.1 và cận dưới X=4

Ngoài cận dưới X= 4 -0.1 vi phạm nên B nhận đồng thời C sai Tóm lại A , B đều nhận nên hợp của chúng là D là đáp số chính xác.

Bài 5.

Bất phương trình $}} < 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên. A. 1 B. Vô số C. 0 D. 2 (THPT HN Amsterdam 2017) (Xem đáp án ở Bài 5 – phần 2 vì phương pháp sau tỏ ra hiệu quả hơn hẳn)

Bài 6. Tập nghiệm của bất phương trình $ – + 1 < 0$ là tập con của tập? A. (-5, -2) B. (-4; 0) C. (1;4) D. (-3; 1) (Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017) (Xem đáp án ở Bài 6 – phần 2 vì phương pháp sau tỏ ra hiệu quả hơn hẳn)

Giải Bất Phương Trình? Và Cách Giải Hệ Bất Phương Trình?

Ví dụ về bất phương trình:

2x + 3 ≥ -6

Vế trái của bất phương trình: 2x + 3

Vế phải của bất phương trình: -6

Bất phương trình có hai vế không bằng nhau, có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn. Nghiệm của bất phương trình không phải chỉ là một giá trị mà sẽ bao gồm cả một tập hợp giá trị thỏa mãn điều kiện của bất phương trình.

Có rất nhiều dạng bất phương trình khác nhau như : bất phương trình bậc một, bất phương trình bậc hai, bất phương trình vô tỷ, bất phương trình chứa căn, bất phương trình logarit. Mỗi dạng bài lại có một cách giải bất phương trình khác nhau, tùy theo đặc điểm của bất phương trình.

Nhưng bên trên mình đã ví dụ cho các bạn một cách dễ hiểu nhất về bất phương trình rồi. Các bạn có thể tham khảo.

2. Các dạng của bất phương trình:

* Bất phương trình tương đương

1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

* Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi thì bất phương trình:

* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau

+ Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình.

+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương.

+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu.

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b ;

Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng fleft( x right) = a{x^2} + bx + c;(a ne 0).

Phương pháp giải bất phương trình đại số 1 ấn Phương pháp 1: Lập bảng

Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu f(x)

a) b)Giải

Dấu f(x)

Cách Giải Phương Trình Chứa Căn, Bất Phương Trình Chứa Căn

Phương trình chứa căn – Bất phương trình chứa căn

Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2

Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.

Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).

2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là

3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn

Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.

4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Ví dụ 1. Giải phương trình

$$sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

[begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} x – 2 ge 0\ 4 + 2x – {x^2} = {(x – 2)^2} end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 2\ {x^2} – 3x = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 2\ x = 0, vee ,x = 3 end{array} right. \ Leftrightarrow x = 3 end{array}] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Ví dụ 2. Giải phương trình

[sqrt {25 – {x^2}} = x – 1]

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

[begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} x – 1 ge 0\ 25 – {x^2} = {(x – 1)^2} end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 1\ 2{x^2} – 2x – 24 = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 1\ x = 4, vee ,x = – 3 end{array} right. \ Leftrightarrow x = 4 end{array}] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.

Ví dụ 3. Giải phương trình [sqrt {3{x^2} – 9x + 1} + 2 = x]

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

[begin{array}{l} ,,,,,,,,sqrt {3{x^2} – 9x + 1} = x – 2\ , Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x – 2 ge 0\ 3{x^2} – 9x + 1 = {(x – 2)^2} end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 2\ 2{x^2} – 5x – 3 = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 2\ x = 3 vee ,x = – frac{1}{2} end{array} right. \ Leftrightarrow x = 3 end{array}] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt {{x^2} – 3x + 2} = x – 1$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} x – 1 ge 0\ {x^2} – 3x + 2 = {left( {x – 1} right)^2} end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge 1\ x = 1 end{array} right. \ Leftrightarrow x = 1 end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.

Ví dụ 5. Giải phương trình $$sqrt {{x^2} – 5x + 4} = sqrt { – 2{x^2} – 3x + 12} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} {x^2} – 5x + 4 ge 0\ {x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left( {x – 1} right)left( {x – 4} right) ge 0\ 3{x^2} – 2x – 8 = 0 end{array} right. & \ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} left[ begin{array}{l} x le 1\ x ge 4 end{array} right.\ left[ begin{array}{l} x = 2\ x = frac{{ – 8}}{6} end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow x = frac{{ – 8}}{6} end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = frac{-8}{6}$.

Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt {2left( {{x^2} – 1} right)} $$

Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} x + 1 ge 0\ {left( {x + 1} right)^2} ge 2left( {{x^2} – 1} right) ge 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge – 1\ {x^2} – 2x – 3 le 0\ {x^2} – 1 ge 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge – 1\ – 1 le x le 3\ left[ begin{array}{l} x le – 1\ x ge 1 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ 1 le x le 3 end{array} right. end{array}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left[ {1;3} right] cup left{ { – 1} right}$.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$left[ begin{array}{l} left{ begin{array}{l} 2x – 5 < 0\ – {x^2} + 4x – 3 ge 0 end{array} right. &  left( 1 right)\ left{ begin{array}{l} 2x – 5 ge 0\ {left( {2x – 5} right)^2} < – {x^2} + 4x – 3 end{array} right. & left( 2 right) end{array} right.$$

Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$left{ begin{array}{l} x < frac{5}{2}\ 1 le x le 3 end{array} right. Leftrightarrow 1 le x < frac{5}{2}$$

Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$begin{array}{l} ,,,,,,,left{ begin{array}{l} x ge frac{5}{2}\ 5{x^2} – 24x + 28 < 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge frac{5}{2}\ 2 < x < frac{{14}}{5} end{array} right. Leftrightarrow frac{5}{2} le x < frac{{14}}{4} end{array}$$

Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = left[ {1;frac{{14}}{5}} right)$.

Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt {x + 4} – sqrt {1 – x} = sqrt {1 – 2x} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

$$begin{array}{l} ,,,,,,,sqrt {x + 4} = sqrt {1 – 2x} + sqrt {1 – x} \ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 4 le x le frac{1}{2}\ x + 4 = 1 – x + 2sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} + 1 – 2x end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 4 le x le frac{1}{2}\ sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} = 2x + 1 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 4 le x le frac{1}{2}\ x ge – frac{1}{2}\ (1 – x)(1 – 2x) = 4{x^2} + 4x + 1 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – frac{1}{2} le x le frac{1}{2}\ x = 0 vee x = – frac{7}{2} end{array} right. Leftrightarrow x = 0 end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$.

Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt {3x + 1} – sqrt {2x – 1} = sqrt {6 – x} $$

Hướng dẫn. Điều kiện $left{ begin{align}  & 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ & 6-xge 0 \ end{align} right.Leftrightarrow left{ frac{1}{2}le xle 6 right.$

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$begin{array}{l} ,,,,,,,sqrt {3x + 1} – sqrt {2x – 1} = sqrt {6 – x} \ Leftrightarrow ,,,sqrt {3x + 1} = sqrt {6 – x} + sqrt {2x – 1} \ Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt {6 – x} sqrt {2x – 1} \ Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt {6 – x} sqrt {2x – 1} \ Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt {6 – x} sqrt {2x – 1} \ Leftrightarrow ,,{x^2} – 4x + 4 = – 2{x^2} + 13x – 6,,,(x ge 2)\ Leftrightarrow ,,3{x^2} – 17x + 10 = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 5\ x = frac{2}{3}left( l right) end{array} right. end{array}.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.

Ví dụ 10. Giải bất phương trình $$2sqrt{x-3}-frac{1}{2}sqrt{9-2x}ge frac{3}{2}$$

Hướng dẫn. Điều kiện $left{ begin{align}  & x-3ge 0 \ & 9-2xle 0 \ end{align} right.Leftrightarrow 3le xle frac{9}{2}$

Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với [begin{array}{l} ,,,,,,,2sqrt {x – 3} ge frac{1}{2}sqrt {9 – 2x} + frac{3}{2}\ Leftrightarrow 4left( {x – 3} right) ge frac{1}{4}left( {9 – 2x} right) + frac{9}{4} + frac{3}{2}sqrt {9 – 2x} \ Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt {9 – 2x} \ Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt {9 – 2x} \ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 18x – 64 ge 0\ {left( {9x – 33} right)^2} ge 9left( {9 – 2x} right) end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge frac{{32}}{9}\ 81{x^2} – 576x + 1008 ge 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x ge frac{{32}}{9}\ left[ begin{array}{l} x le frac{{28}}{9}\ x ge 4 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow x ge 4 end{array}]

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=left[ 4;,frac{9}{2} right]$.

Cách Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn

Chia sẻ cách giải các bất phương trình vô tỷ và các dạng bất phương trình vô tỉ thường gặp. Các phương pháp, kỹ thuật xử lý bất PT vô tỷ.

10 kỹ thuật xử lý bất phương trình vô tỉ gồm:

Phương pháp biến đổi tương đương

Kỹ thuật chia điều kiện

Kỹ thuật khai căn

Kỹ thuật phân tích thành nhân tử

Kỹ thuật nhân chia liên hợp

Kỹ thuật đặt ẩn phụ – Đặt ẩn phụ lượng giác

Kỹ thuật đánh giá trong bất phương trình

Kỹ thuật sử dụng tích vô hướng của véc tơ để giải bất phương trình

Kỹ thuật khảo sát hàm số để đánh giá bất phương trình vô tỉ

Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm

Phương pháp biến đổi tương đương

Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Cộng trừ hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Nhân chia hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn dương hoặc âm mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình. Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương. Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.

Kỹ thuật lũy thừa hai vế

Ở kỹ thuật này, đặc biệt chú ý tới điều kiện của bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.

Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.

Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh.

Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản.

Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp.

Phương pháp đặt ẩn phụ

Một số yêu cầu là: Dạng này học sinh cần nhớ cách đặt ẩn và từ đó mở rộng cho bài toán tương tự chú ý tới các điều kiện của ẩn.

– Nhớ được cách xét tính đơn điệu của một hàm số, lập bảng biến thiên… – Nhớ các bất đẳng thức. – Thường áp dụng cho các Bài toán bất phương trình vô tỉ đặc thù, phức tạp không có thuật toán cụ thể nhưng hay có trong các kì thi đại học các năm gần đây. Hai bất đẳng thức cơ bản nhất là: Bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopski

Để giải bất phương trình ta khảo sát hoặc căn cứ vào tính chất của các hàm số đưa ra bảng biến thiên và từ bảng biến thiên đưa ra kết luận.

Đây là cách đánh giá bất phương trình vô tỉ khá thông minh, các cách làm được dựa vào kinh nghiệm của người giải bài tập. Dựa vào mức độ va chạm với các loại bài tập đó.

10 kỹ thuật xử lý bất phương trình vô tỉ gồm:

Phương pháp biến đổi tương đương

Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Cộng trừ hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Nhân chia hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn dương hoặc âm mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình. Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình. Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương. Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.

Kỹ thuật lũy thừa hai vế

Ở kỹ thuật này, đặc biệt chú ý tới điều kiện của bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.

Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.

Phương pháp biến đổi tương đương

Kỹ thuật chia điều kiện

Kỹ thuật khai căn

Kỹ thuật phân tích thành nhân tử

Kỹ thuật nhân chia liên hợp

Kỹ thuật đặt ẩn phụ – Đặt ẩn phụ lượng giác

Kỹ thuật đánh giá trong bất phương trình

Kỹ thuật sử dụng tích vô hướng của véc tơ để giải bất phương trình

Kỹ thuật khảo sát hàm số để đánh giá bất phương trình vô tỉ

Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm

Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh.

Một số yêu cầu là: Dạng này học sinh cần nhớ cách đặt ẩn và từ đó mở rộng cho bài toán tương tự chú ý tới các điều kiện của ẩn.

– Nhớ được cách xét tính đơn điệu của một hàm số, lập bảng biến thiên… – Nhớ các bất đẳng thức. – Thường áp dụng cho các Bài toán bất phương trình vô tỉ đặc thù, phức tạp không có thuật toán cụ thể nhưng hay có trong các kì thi đại học các năm gần đây. Hai bất đẳng thức cơ bản nhất là: Bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopski

Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản.

Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp.

Kỹ thuật khảo sát hàm số để đánh giá bất phương trình

Để giải bất phương trình ta khảo sát hoặc căn cứ vào tính chất của các hàm số đưa ra bảng biến thiên và từ bảng biến thiên đưa ra kết luận.

Đây là cách đánh giá bất phương trình vô tỉ khá thông minh, các cách làm được dựa vào kinh nghiệm của người giải bài tập. Dựa vào mức độ va chạm với các loại bài tập đó.