Top 9 # Cách Giải Bất Phương Trình Bậc Hai Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 6/2023 # Top Trend

VẤN ĐỀ 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI & BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC HAI 22 Vấn đề 2 Bất Phương Trình Bậc Hai & Bất Phương Trình Qui Về Bậc Hai A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Định lý: Định lý : Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c , ∆ = b2 – 4ac • Nếu ∆ < 0 thì tam thức cùng dấu ∀x • Nếu ∆ = 0 thì tam thức cùng dấu a ∀x khác 2 b a − và bằng 0 khi x = 2 b a − với mọi x thuộc khoảng (x1 , x2) và cùng dấu a với mọi x ở ngoài đoạn [x1 ; x2] Tóm tắt : • ∆ 0 , ∀x ∈ R 2 b a − ; f 2 b a ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ = 0 23 II. Bất phương trình bậc hai là 1 bất phương trình có dạng Để giải bất phương trình bậc hai ta có thể dựa vào dấu của a và ∆ rồi tuỳ theo trường hợp mà rút ra tập nghiệm của bất phương trình đó. Trong trường hợp giải và biện luận bất phương trình : Ta cần phải lập bảng xét dấu của a và ∆ trưóc, rồi kế đó giải bất phương trình trong từng trường hợp III.Tam thức không đổi dấu trên R Từ định lý về dấu của tam thức bậc hai ta suy ra kết quả sau : Cho f(x) = ax2 + bx + c với a ≠ 0 0 • f(x) ≥ 0 ∀x∈R 0 0 • f(x) < 0 ∀x∈R 0 0 a <⎧⇔ ⎨∆ <⎩ • f(x) ≤ 0 ∀x∈R 0 0 a <⎧⇔ ⎨∆ ≤⎩ * Khi giải một bất phương trình bậc hai hay hệ bất phương trình bậc hai ta có thể áp dụng các kiến thức về tam thức bậc hai , bao gồm : • Sự biến thiên và đồ thị của tam thức bậc hai • Các định lý về nghiệm của tam thức bậc hai Các định lý về dấu của tam thức bậc hai * Nếu gặp hệ cần chú ý : Cho hệ bất phương trình : ≥⎧⎨ ≤⎩ ( ) 0 (1) ( ) 0 (2) f x g x Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1) Gọi S2 là tập nghiệm của bất phương trình (2) Để tìm nghiệm của hệ đó chính là S = S1 ∩ S2 Hai bất phương trình (1 ) và(2 ) được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu S1 = S2 24 B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI : Bài 1 Giải bất phương trình : a) 2x 1 1x 1 x 1 1x 1 −−−≤−+ b) 2x 1 )7x)(1x( )4x(2 −≥−− − Giải a) 2x 1 1x 1 x 1 1x 1 −−−≤−+ ⇔ )2x)(1x( 1 )1x(x 1 −− −≤+ − ⇔ 0 )2x)(1x)(1x(x )1x(x)2x)(1x( ≤−−+ ++−−− ⇔ 0 )2x)(1x)(1x(x )2x3x(xx 22 ≤−−+ +−−+ ⇔ 0 )2x)(1x)(1x(x )1×2(2 ≤−−+ − ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ << ≤< −< 2×1 2 1×0 1x b) 2x 1 )7x)(1x( )4x(2 −≥−− − ⇔ 0 )7x)(2x)(1x( )7x)(1x()2x)(4x(2 ≥−−− −−−−− ⇔ 0 )7x)(2x)(1x( )7x8x(16x12x2 22 ≥−−− +−−+− ⇔ )7x)(2x)(1x( 9x4x 2 −−− +− ≥ 0 ⇔ ⎢⎣ ⎡ << > 2×1 7x 25 Bài 2 Giải bất phương trình : x2 + (x+1)2 ≤ 1xx 15 2 ++ (1) Giải (1) ⇔ 2(x2 + x) + 1 ≤ 1xx 15 2 ++ ⇔ (2t + 1)(t + 1) ≤ 15 ( t = x2 + x ) ⇔ 2t2 + 3t – 14 ≤ 0 ⇔ 2 7− ≤ t ≤ 2 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥++ ≤−+ 0 2 7xx 02xx 2 2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ φ∈ ≤≤− x 1×2 ⇔ x φ∈ Bài 3 Giải bất phương trình : x2 + 4 5 )1x( x 2 2 <+ (1) Giải (1) ⇔ 0 4 5 )1x( )2x2x(x 2 22 <−+ ++ ⇔ 0 )1x(4 )1x(5)2x2x(x4 2 222 <+ +−++ ⇔ 0 )1x(4 5x10x3x8x4 2 234 <+ −−++ ⇔ ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≠ ≥+<++−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 1x 0)1x(0)10x10x4)(1x( 2 1x 22 ⇔ 2 1− < x < 1 Bài 4 Giải bất phương trình :3×4 – x3 + 4×2 – x + 3 ≥ 0 • x2 = 0 ⇔ x = 0 : 3 ≥ 0 đúng . vậy x= 0 là một nghiệm của bất phương trình (a) 26 3×2 – x + 4 – x 1 + 2 3 x ≥ 0 ⇔ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + x x x x 113 2 2 + 4 ≥ 0 Đặt T = x + x 1 với ⏐T⏐ ≥ 2 ⇔ T ≤ -2 hay T ≥ 2 ⇒ T2 – 2 = x2 + 2 1 x BPT ⇔ 3(T2 – 2) – T + 4 ≥ 0 ⇔ 3T2 – T – 2 ≥ 0 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥∨−≤ ≥∨−≤ 22 1 3 2 TT TT ⇔ T ≤ -2 ∨ T ≥ 2 Trở về x: x + x 1 ≤ -2 hay x + x 1 ≥ 2 ⇔ x x 1+ ≥ 2 ⇔ ∀x ∈ R { }0 (b) (a) hợp (b) cho ta ∀x ∈ R KL : Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là R Bài 5 Giải và biện luận bất phương trình : x2 – 2(4m + 3)x + 15m2 + 28m + 6 ≤ 0 (1) Giải ∆’ = (4m + 3)2 – 15m2 – 28m – 6 = m2 – 4m + 3 M – ∞ 1 3 +∞ ∆’ + 0 – 0 + Biện luận : • m 3 : ⎩⎨ ⎧ > >∆ 0a 0’ (vì a = 1) Ta có : x1 = 4m + 3 – ‘∆ (x1 < x2) x2 = 4m + 3 + ‘∆ X – ∞ x1 x2 +∞ F(x) + 0 – 0 + Váậy : tập nghiệm của (1) là x1 ≤ x ≤ x2 (hay S = [x1 , x2]) 27 • m = 1 : (1) thành x2 – 14x + 49 ≤ 0 ⇔ (x – 7)2 ≤ 0 ⇔ x = 7 : S = {7} • 1 < m < 3 : ⎩⎨ ⎧ <∆ > 0 0a Tập nghiệm của bất phương trình (1) : S = ∅ • m = 3 : (1) thành x2 – 30x + 225 ≤ 0 ⇔ x = 15 : S = {15} Bài 6 Giải và biện luận các bất phương trình sau : x2 – 2(4m + 3)x + 15m2 + 28m + 6 ≤ 0 Giải x2 – 2(4m + 3)x + 15m2 + 28m + 6 ≤ 0 (1) ‘∆ = m2 – 4m + 3 Đặt VT = f(x) • 1 < m < 3 ⇒ ⎩⎨ ⎧ > <∆ 0a 0’ x1 = 4m + 3 – ‘∆ , x2 = 4m + 3 + ‘∆ (1) có nghiệm x1 < x < x2 mx2 + (m – 3) x + m – 3 < 0 (1) * m ≠ 0 ∆ = 3− m2 + 6m +9 , Đặt VT (1) = f(x) * m < 1− : ⎩⎨ ⎧ <∆ < 0 0a ⇒ f(x) < 0 Rx∈∀ Vậy (1) ⇔ x∈ R * m ≥ 3 : ⎩⎨ ⎧ ≤∆ > 0 0a ⇒ f(x) ≥ 0 Rx∈∀ Vậy (1) VN * 1− < m < 0 : ⎩⎨ ⎧ >∆ < 0 0a , f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 x1,2 = m2 )3m( ∆±−− (1) ⇔ x x2 28 * m = 1− : (1) ⇔ 0)2x(04x4x 22 <+−⇔<−−− ⇔ x ≠ 2− * 0 < m < 3 : ⎩⎨ ⎧ >∆ > 0 0a , f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ x1 < x < x2 . * m = 0 , (1) ⇔ 3×3 −− 1− Kết luận chung : m ≥ 3 : x ∈ ∅ -1 x2 1m −= : x ≠ 2− 0 < m < 3 : x1 < x< x2 Bài 7 Định m để với mọi x ta luôn có : a) 7x5x 5x7x2 2 2 +− +− ≤ m b) 6 1xx 6mxx39 2 2 <+− −+<− c) 1mxx 4xx3 2 2 +− ++ ≥ 2 Giải a) 7x5x 5x7x2 2 2 +− +− ≤ m ⇔ (m – 2)x2 – (5m – 7)x + 7m – 5 ≥ 0 YCĐB ⇔ ⎩⎨ ⎧ >−= ≥++−=∆ 02ma 09m6m3 2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ > ≤≤− 2m 3m1 ⇔ 2 < m ≤ 3 b) 6 1xx 6mxx39 2 2 <+− −+<− (1) Vậy (1) ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >++− >+−+ 012x)6m(x3 03x)9m(x12 2 2 )3( )2( (1) thoả ∈∀x R ⇔ (2) , (3) thoả ∈∀x R ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <−+=∆ <−−=∆ 010812m 063m18m 2 )3( 2 )2( ⇔ ⎩⎨ ⎧ <<− <<− 6m18 21m3 ⇔ 6m3 <<− 29 c) 1mxx 4xx3 2 2 +− ++ ≥ 2 (1) (1) thoả ∈∀x R ⇒ x2 – mx +1 ≠ 0 ∈∀x R ⇔ x2 – mx + 1 = 0 VN ⇔ ∆ = m2 – 4 < 0 ⇔ 2− < m < 2 ( )α (1) ⇔ 1mxx 4xx3 2 2 +− ++ ≥ 2 ⇔ x2 + (2m + 1)x + 2 ≥ 0 (2) (1) thoả ∈∀x R ⇔ ⎩⎨ ⎧ >= ≤−+=∆ )d(01a 07m4m4 2 ⇔ 2 71m 2 71 +−<<−− ( so đk (α ) →nhận ) Bài 8 Cho f(x) = (a+1)x2 – 2(a – 1)x + 3a – 3 định a để : a) Bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm b) Bất phương trình f(x) ≥ 0 vô nghiệm Giải 2 3 (loại vì không thoả ) * a ≠ 1− thì f(x) < 0 VN ⇔ f(x) ≥ 0 Rx∈∀ ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≤+−−=∆ >+= 04a2a2’ 01aA 2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ −≤ 2a 1a v 1a ≥ ⇔ a ≥ 1 KL : a ≥ 1 b) f(x) ≥ 0 có nghiệm .Giả sử f(x) ≥ 0 VN * a = 1− thì f(x) = 4x – 6 < 0 ⇔ x < 2 3 ( loại vì không thoả) * a ≠ 1− ⇔ f(x) < 0 Rx∈∀ ⇔ ⎩⎨ ⎧ < <∆ 0a 0′ ⇔ ⎩⎨ ⎧ −< −< 1a ⇔ a < -2 Vậy f(x) ≥ 0 có nghiệm ⇔ a ≥ 2− 30 Bài 9 Định m để bất phương trình : x2cos m – 2xsin m cos m + sin m ≥ 0 Rx∈∀ Giải x2cos m – 2xsin m cos m + sin m ≥ 0 Rx∈∀ ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≤−=∆ >= 0mcosmsinmcosmsin’ 0mcosa 22 ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≤≤ > 1mcosmsin0 0mcos ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≤< ≤≤ 1mcos0 1msin0 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ π+π<<π+π− π+π≤≤π 2k 2 m2k 2 2km2k ⇔ π+π<<π 2k 2 m2k Bài 10 Giải bất phương trình a) 2xx 3x2x 2 2 −+ ++ ≥ 1 b) 4x 6xx 2 2 − −− ≥ x c) 8x2x1x 22 +−≤− Giải a) 2xx 3x2x 2 2 −+ ++ ≥ 1 ⇔ 2xx3x2x 22 −+≥++ (1) * x < 2− v 0 < x < 2 (1) ⇔ x2 + 2x + 3 ≥ x2 – x + 2 ⇔ x ≥ 3 1− so với đk ⇔ 0 < x < 2 * 2− ≤ x ≤ 0 (1) ⇔ 2x− 3×2 +− ≥ x2 – x + 2 ⇔ 2×2 +x – 1 ≤ 0 ⇔ 1− ≤ x ≤ 2 1 so với đk ⇔ 1− ≤ x ≤ 0 * x ≥ 2 (1) ⇔ x2 +2x + 3 ≥ x2 + x – 2 ⇔ x ≥ 5− so với đk ⇔ 2x ≥ Kết luận : x ≥ 1− 31 b) 4x 6xx 2 2 − −− ≥ x ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥− − ≥ x 2x 3x 0x v ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥+ + < x 2x 3x 0x ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≤ ≥ 2x 0x v ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−≤ < 2 131x 0x v 2 131×2 +−≤≤− ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 v x ≤ 2 131−− v 2− ≤ x < 0 ⇔ x ≤ 2 131+− v 2− ≤ x ≤ 2 c) 8x2x1x 22 +−≤− (1) * x ≤ 1− (1) ⇔ x2 – 1 ≤ x2 + 2x + 8 ⇔ x ≥ 2 9− so với đk ⇔ 1x 2 9 −≤≤− * 1− < x ≤ 0 (1) ⇔ 1 – x2 ≤ x2 + 2x + 8 ⇔ 2×2 +2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ∈ R so với đk ⇔ 1− <x ≤ 0 * 0 < x ≤ 1 (1) ⇔ 2x− + 1 ≤ x2 – 2x + 8 ⇔ 2×2 – 2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ∈ R so với đk ⇔ 0 < x ≤ 1 (1) ⇔ x2 – 1 ≤ x2 – 2x +8 ⇔ x ≤ 2 9 so với đk ⇔ 1 < x ≤ 2 9 Kết luận : 2 9x 2 9 ≤≤− 32 Bài 11 Giải và biện luận bất phương trình : (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 3(m – 1) ≥ 0 Hướng dẫn giải : Ta có : a = m + 1, ∆’ = -m2 – m + 2 (m1 = 1 , m2 = -2) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + +−−+−=+ 1m 2mm1m 1m 2mm1m0’ 22 21 x , x , ta dươc : x1 < x2 m -∞ -2 -1 1 +∞ a – – 0 + + ∆ – 0 + + 0 – Biện luận : • m < -2 ⎩⎨ ⎧ ∈∀<<∆ < Rx 0f(x) , 0 0a • m = -2 ⎩⎨ ⎧ =∆ < 0 0a ⇒ f(x) ≤ 0 ∀x∈R ⇒ f(x) = 0 ⇔ x = 3 • -2 < m < -1 ⎩⎨ ⎧ >∆ < 0 0a , f(x) ≥ 0 , ∀ x1 ≤ x ≤ x2 • m = -1 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ = 2 3x 0a • -1 < m < 1 ⎩⎨ ⎧ >∆ > 0 0a : f(x) ≥ 0 ∀x ≤ x1 ∨ x ≥ x2 • m = 1 ⎩⎨ ⎧ =∆ > 0 0a : f(x) = 0 ⇔ x = 0 ⎩⎨ ⎧ <∆ > 0 0a : f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R 33 Bài 12 Giải và biện luận : mx2 + (m + 3)x + 3 ≥ 0 Giải • m = 0 : bất phương trình ⇔ 3x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1 • m ≠ 0 : ∆ = (m + 3)2 – 4.3.m = (m – 3)2 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −++−= −−+−= m2 |3m|)3m(x m2 |3m|)3m(x 2 1 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −= m 3x 1x 2 1 Xét h = -1 – ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− m 3 = 1 m 3 − = m m3 − = x1 – x2 M 0 3 Kết luận : • m = 0 : bất phương trình ⇔ x ≥ -1 • m < 0 : bất phương trình ⇔ -1 ≤ x ≤ – m 3 • 0 < m < 3 : bất phương trình ⇔ x ≤ – m 3 ∨ x ≥ -1 m 3 • m = 3 : bất phương trình ⇔ x ∈ R Bài 13 Cho 2f (x) m(m 3)x 2mx 2= + + + Giải Xét m 0≠ và m 2≠ − : 34 Xét : m 0 m 2 =⎡⎢ = −⎣ YCĐB ‘ 0 m(m 4) 0 a 0 m(m 2) 0 m 4 m 0 m 2 m 0 ⎧⇔ ⎨ ⎩ m 4 m 0 (b) ⇔ Kết luận : (a) (b) m 4 m 0 ∨ ⇔ < − ∨ ≥ Vậy : m 0= (nhận) (a) * 1m 2 : 4x 2 0 x 2 Bài 14 Định m để phương trình sau vô nghiệm : 2 2 1 1x 2m x 2m 0 xx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Giải Đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 1t x t x 2 x t 2 x x x t 2 t 2 t 2 ⎧ = + ⇒ = + + ⇒ + = −⎪⎨⎪ ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥⎩ (1)⇔ g(t) = 2t 2mt 2m 2 0 t 2 t 2 ⎧ − + − =⎪⎨ ≤ − ∨ ≥⎪⎩ Theo YCĐB 1 2 g 0 2 t t 2 ∆ <⎡⇔ ⎢− < ≤ <⎣ g 0 (a) af ( 2) 0 af (2) 0 (b)’ 0 S2 2 2 (a) 2m 2m 2 0 :− + < Vậy m .( )∈∅ α 35 (b) 2 m Rm 2m 2 0 2m 2 04 4m 2m 2 0 6m 2 04 4m 2m 2 0 2 m 22 m 2 m R m 1 1 m 1( )1 3m 3 2 m 2 ∈⎧⎪ ⎪⎪− < <⎪⎩ ( ) ( )α ∨ β cho ta kết luận : 1 m 1 3 − < < Bài 15 Tìm m lớn nhất để. f (x) x(x 2) (x 4) (x 6) m, x R = + + + ≥ ∀ ∈ Hướng dẫn giải : Ta có : 2 2f (x) (x 6x) (x 6x 8) m, x R = + + + ≥ ∀ ∈ Đặt ẩn phụ 2T x 6x T 9 ⎧ = +⎪⎨ ≥ −⎪⎩ Vậy f (T) T(T 8) m, T 9= + ≥ ≥ − 2T 8T m, T 9 (*) ⇔ = + ≥ ≥ − (*) m Min f(T), T 9 ⇔ ≤ ≥ − m 16⇔ ≤ − Vậy : m = -16 Bài 16 Xác định các tham số a , b để baxx8 24 ++ ≤ 1 với mọi x ∈ [ 1,1− ]. (Đề Đại Học Ngoại Thương) Giải Đặt t == x2 , khi x ∈ [ 1,1− ] thì t ∈ [ 0 , 1 ]. Hàm số có dạng : y = 8t2 + at + b ; t ∈ [ 0 , 1 ] ⇒ y’ = 16t + a ; y’ = 0 ⇔ t = 16 a− 36 * Nếu 16 a− ≤ 0 , ta có bảng biiến thiên : Từ đó : Do đó, ta có : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≤+ −≥ ≥⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤− −≥ ≤++ 7ba 1b 0a 0 16 a 1b 1ba8 * Nếu 0 ≤ 16 a− ≤ 1 ,ta có bảng biến thiên: Do đó , ta có : ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −−≤ −≤ −≥ ≤≤− ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤−≤ −≥+− ≤ ≤++ 7ab 1b 1 32 ab 0a16 1 16 a0 1b 32 a 1b aba8 22 )4( )3( )2( )1( Trong hệ trục toạ độ 0ab , vẽ đồ thị các hàm số : b = 1 32 a 2 − , b = 1 , b = 7a −− Từ đồ thị , ta thấy những điểm thoả mãn (1) , (2) ,(3) là phần gạch sọc trên hình vẽ ; còn những điểm thoả mãn (4) là nửa mặt phẳng nằm phía dưới đường thẳng b = 7a −− .Dễ thấy 2 miền này chỉ có điểm chung ( 8− ;1) ⇒ a = 8− ; b = 1 . * Nếu 16 a− ≥ 1 , ta có bảng biến thiên : Ta có : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≥+≤ −≤⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥ −≤++ ≤− 9ba 1b 16a 1b 1ba8 0 16 a ( vô nghiệm ) Bài 17 Tìm y để bất phưong trình ysin2)ysiny(cosx2x 22 +−+ ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x (Đề Đại Học Y Dược TP HCM) Giải 37 ysin2)ysiny(cosx2x 22 +−+ ≥ 0 x∀ ysin2)ysiny(cos’ 22 −−=∆ ≤ 0 ⇔ cos2y – sin2y – 2cosysiny ≤ 0 ⇔ cos2y – sin 2y ≤ 0 ⇔ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +π y2 4 cos2 ≤ 0 ⇔ )Zk(2k 2 3y2 4 2k 2 ∈π+π≤+π≤π+π ⇔ )Zk(k 8 5yk 8 ∈π+π≤≤π+π . Bài 18 Với giá trị nào của tham số thì ä bất phương trình sau có nghiệm : 1mm1mx21x 22 −++−+ ≤ 0 (Đề Đại Học Kinh Tế ) Giải 1mm1mx21x 22 −++−+ ≤ 0 (1) Đặt t = x – m ; (1) ⇔ 1mm2)tmt(2t 22 −++++ ≤ 0 (2) Đặt f(t) = 1mm2)tmt(2t 22 −++++ (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm ⇔ min f(t) ≤ 0 Trường hợp 1 : t ≥ 0 f(t) = 1mm2)tmt(2t 22 −++++ • Nếu )1m( +− ≤ 0: minf(t) = f(0) f(0) ≤ 0 ⇔ 2m2 +m – 1 ≤ 0 ⇔ 2 1m1 ≤≤− ( thoả m ≥ 1− ) f( m− 1− ) ≤ 0 ⇔ m2 – m – 2 ≤ 0 ⇔ 1− ≤ m ≤ 2 (loại) Trường hợp 2 : t < 0 f(t) = t2 + 2(m-1)t + 2m2 + m –1 Tương tự ta được : min f(t) ≤ 0 ⇔ 2 1m1 <<− Đáp số : 2 1m1 ≤≤− . 38 Bài 19 Tìm a để với mọi x : f( x) = 3ax2)2x( 2 ≥−+− (Đề Đại Học Y Dược TP HCM) Giải f( x) = 3ax2)2x( 2 ≥−+− ⇔ ax23)2x( 2 −−≥− Đặt g(x) = (m – 2)2 h(x) = 3 – 2 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤−+ ≥+−=− aax2x23 aax2x232x Vẽ đồ thị g(x) = (x – 2)2 và 2 tiếp tuyến song song với hai đường thẳng y = 3 – 2x + 2ax ≥ a : y = 3 + 2x – 2ax ≤ a Có phương trình : y = 2− x + 3 và y = 2x – 5 Yêu cầu của bài toán được thoả khi : a2− + 3 ≤ 5− hoặc 2a – 5 ≤ 3 ⇔ a ≥ 4 hoặc a ≤ 0. Bài 20 Với các giá trị nào của m thì phươngtrình : mx2 + x + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thoả mãn : 1x 1 x 1 21 >− (Đề Đại Học Dược Hà Nội ) Giải Đặt f(x) = mx2 + x + m – 1 f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 : ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +<<− ≠ ⇔⎩⎨ 2 21m 2 21 0m 0)1m(m41 0m x1 , x2 thoả mãn 1x 1 x 1 21 >− ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≠ −< 0xx xxxx 21 2121 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠ +<<−⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠ −−<− 1m 10 291m 10 297 1m m 1m4 m 1 m )1m( 22 2 39 Vậy m thoả mãn bài ra là : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠ +<<− 1m 2 21m 10 297 C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1 b) Tìm m sao cho ( ) 2( ) 2 1 2 4 3 0f x m x x m= − − + − ≤ ∀x c) Tìm m sao cho ( ) ( ) 22 1 2 1 0f x m x mx m= + − − + ≥ ∀x d) Tìm m sao cho ( ) ( ) ( )21 2 1 3 2 0f x m x m x m= − − + − − < ∀x Chú ý : Cho f(x) = ax2 + bx + c có tham số TH1 : 0 0 a b c 0 0 Bài 2 Bài 3 Giải và biện luận các bất phương trình sau : 1) mx2 + (m + 3)x + 3 ≥0 Bài 4 Giải các bất phương trình sau : a) 3×3 < x2 + x + 1 b) x4 – x2 + 10x < 25 c) x4 – 5×3 + 8×2 – 10x + 4 2 Hướng dẫn : c ) Chia hai vế cho x2, đặt t = x + x 2 ; 2 – 2 < x < 2 + 2 d) Đặt t = x + 3x 2 51 +=+ 40 Bài 5 Giảivà biện luận theo tham số m bất phương trình : ( ) ( )24 2 1 1 0f x x m m x m m= − + + + + < Bài 6 Cho bất phương trình f(x) = x2 + 6x + 7 + m ≤ 0 (1) a) Giải và biện kuận (1) b) Tìm m sao cho (1) có đúng 1 nghiệm số c) Tìm m sao cho (1) có 1 đoạn nghiệm d) Tìm m sao cho (1) coÙ 1đoạn nghiệm có chiều daì bằng 1 Bài 7 Cho bất phương trình (4m – 3)x2 – 2(m + 1)x – m – 1 ≥ 0 (1) a) Giải và biện luận (1) b) Tìm m sao cho (1) vô nghiệm , có đúng 1 nghiệm , có 1 đoạn nghiệm , có 2 khoảng nghiệm c) Tìm m sao cho đoạn nghiệm có chiều daì bằng 2 Bài 8 Cho bất phương trình f(x) = (m2 –1 )x2 – (m – 1)x + 2 ≥ 0 (1) Tìm m sao cho bpt (1) có nghiệm là 1 đoạn và có chiều daì bằng 1 Bài 9 Bài 10 Cho 2f (x) (x 1) (x 3) (x 4x 16) m= + + + + ≥ Tìm m để bất phương trình a. Có tập nghiệm là R b. Có nghiệm c. Vô nghiệm Bài 11 Xác định m để bất đẳng thức : x2 – 2x + 1 – m2 ≤ 0 thỏa mãn ∀ , x ∈[ ]2 1 , (Đại Học Kiến Trúc) 41 Bài 12 Cho bất phương trình : x4 – 4×3 + 3×2 + 2x < m (1) a) Giải bất phương trình với m = 2. b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm. Bài 13 Tìm m để x2 – m(1 + m2)x + m4 0 Bài 14 Tìm m để mọi nghiệm của 2×2 – (1 + 3m)x + m2 + m = 0 đều thỏa điều kiện : x2 – mx – 3m – 1 ≥ 0 Bài 15 Cho f(x) = x2 + 6x + 7 + m . Tìm m để f(x) ≤ 0 có đúng một nghiệm . Tìm m để f(x) ≤ 0 có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1. Bài 16 Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình sau : |x2 + 2x| ≤ |x2 + 3x + 2a| Bài 17 Bài 18 Bài 19 Tìm m để (2m + 2)x2 – 9(16m + 9)x + 6(2m + 1) = 0 có đúng một nghiệm trong (0 , 1) Bài 20 Tìm m để 2×2 – 3x + 2m = 0 có một nghiệm khác 0 và gấp 3 lần một nghiệm của : 2×2 – x + 2m = 0 Bài 21 Tìm m để với mọi x thì : -6 ≤ 1xx 4mxx2 2 2 +− −+ ≤ 4 Bài 22 Định m để : 2 4x2x mxx 2 2 ≥++ + 42 Bài 23 Định m để : -x2 + 2(m – 1)x – 4m < 0 , ∀x∈R Bài 24 Định m để bất phương trình : (1 – m)x2 + 2mx + (m – 6) ≥ 0 a) Có nghiệm b) Vô nghiệm c) Có duy nhất nghiệm Bài 25 Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Giả sử phương trình f(x) = x vô nghiệm. Chứng minh phương trình f(f(x)) = x vô nghiệm. Bài 26 Cho f(x) = x2 + 2(sint + cost)x + 1. Tìm x để f(t) ≥ 0 với mọi t ∈ R. Tìm t để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R. Bài 27 Tìm m để 25(x2 + y2) + ,xy – (x + y) + 100 1 ≥ 0 với mọi x ± y = 0 Bài 28 Cho m c 1m b 2m Chứng minh rằng : ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x ∈ (0 ,1) Bài 29 4 Bài 30 Bài 31 Chứng minh với ∆ABC thì : x2 – 2x(cosB + cosC) + 2(1 – cosA) ≥ 0 , ∀x.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,,,y$ có dạng tổng quát là

          $ax+byle c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 right)$                            

         $left( ax+by<c;,,,ax+byge

trong đó $a,,,b,,,c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0,,,x$ và $y$ là các ẩn số.

II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $left( 1 right)$ được gọi là miền nghiệm của nó.

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình $ax+byle c$ như sau (tương tự cho bất phương trình $ax+byge c$)

Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ vẽ đường thẳng $Delta $: $ax+by=c.$

Bước 2. Lấy một điểm ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ không thuộc $Delta $ (ta thường lấy gốc tọa độ $O$)

Bước 3. Tính $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}$ và so sánh $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}$ với $c.$

Bước 4. Kết luận

Nếu $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}<c$ thì nửa mặt phẳng bờ $Delta $ chứa ${{M}_{0}}$ là miền nghiệm của $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}le c.$

Nếu là miền nghiệm của $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}le c.$

Chú ý:

Miền nghiệm của bất phương trình $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}le c$ bỏ đi đường thẳng $ax+by=c$ là miền nghiệm của bất phương trình $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}<c.$

Ví dụ.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình $2x+yle 3$

Giải

Vẽ đường thẳng $Delta :2x+y=3.$

Lấy gốc tọa độ $Oleft( 0;0 right),$ ta thấy $Onotin Delta $ và có $2.0+0<3$ nên nửa mặt phẳng bờ $Delta $ chứa gốc tọa độ $O$ là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình).

III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,,,y$ mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 1.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình:$left{ begin{align} & 3x+yle 6 \ & x+yle 4 \ & xge 0 \ & yge 0 \ end{align} right.$

Giải.

Vẽ các đường thẳng

$begin{align} & {{d}_{1}}:3x+y=6 \ & {{d}_{2}}:x+y=4 \ & {{d}_{2}}:x=0,,,,,,left( Oy right) \ & {{d}_{2}}:y=0,,,,,,left( Ox right) \ end{align}$

Vì điểm ${{M}_{0}}left( 1;1 right)$ có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ $left( {{d}_{1}} right),$ $left( {{d}_{2}} right),$ $left( {{d}_{3}} right),$ $left( {{d}_{4}} right)$ không chứa điểm ${{M}_{0}}.$ Miền không bị tô đậm (hình tứ giác $OCIA$ kể cả bốn cạnh $AI,,,IC,,,CO,,,OA$) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho.

IV. VÍ DỤ MINH HỌA

Vấn đề 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1.

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

C. $x+{{y}^{2}}ge 0.$    D. $x+yge 0.$

Câu 2.

Cho bất phương trình $2x+3y-6le 0,,(1)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Bất phương trình $left( 1 right)$ chỉ có một nghiệm duy nhất.

B. Bất phương trình $left( 1 right)$vô nghiệm.

C. Bất phương trình $left( 1 right)$ luôn có vô số nghiệm.

D. Bất phương trình $left( 1 right)$có tập nghiệm là $mathbb{R}$.

Câu 3.

A. $left( 3;0 right).$               B. $left( 3;1 right).$

C. $left( 2;1 right).$     D. $left( 0;0 right).$

Câu 4.

Miền nghiệm của bất phương trình: $3left( x-1 right)+4left( text{ }y-2 right)<5x-3$ là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. $left( 0;0 right).$                         B. $left( -4;2 right).$

C. $left( -2;2 right).$ D. $left( -5;3 right).$

Câu 5.

Miền nghiệm của bất phương trình $-x+2+2left( y-2 right)<2left( 1-x right)$ là nửa mặt phẳng không chứa điểm nào trong các điểm sau?

A. $left( 0;0 right).$                         B. $left( 1;1 right).$

C. $left( 4;2 right).$     D. $left( 1;-1 right).$

Vấn đề 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1.

Cho hệ bất phương trình: $left{ begin{align} & x+3y-2ge 0 \ & 2x+y+1le 0 \ end{align} right.$.

Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

A. $Mleft( 0;1 right).$                       B. $Nleft( 1;1 right).$

C. $Pleft( 1;3 right).$ D. $Qleft( 1;0 right).$

Câu 2.

Cho hệ bất phương trình: $left{ begin{matrix} x+y+1

Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

A. $Oleft( 0;0 right).$                        B. $Mleft( 1;0 right).$

C. $Nleft( 0;-2 right).$            D. $Pleft( 0;2 right).$

Câu 3.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình: $left{ begin{align} & frac{x}{2}+frac{y}{3}-1ge 0 \ & xge 0 \ & x+frac{1}{2}-frac{3y}{2}le 2 \ end{align} right.$

chứa điểm nào trong các điểm sau đây?

A. $Oleft( 0;0 right).$                        B. $Mleft( 2;1 right).$

C. $Nleft( 1;1 right).$             D. $Pleft( 5;1 right).$

Câu 4.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình: $left{ begin{align} & 3x+yge 9 \ & xge y-3 \ & 2yge 8-x \ & yle 6 \ end{align} right.$

chứa điểm nào trong các điểm sau đây?

A. $Oleft( 0;0 right).$                        B. $Mleft( 1;2 right).$

C. $Nleft( 2;1 right).$             D. $Pleft( 8;4 right).$

Câu 5.

Điểm $Mleft( 0;-3 right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $left{ begin{align} & 2x-yle 3 \ & 2x+5yle 12x+8 \ end{align} right..$

B. $left{ begin{align} & 2x+5yle 12x+8 \ end{align} right..$

C. $left{ begin{align} & 2x+5yle 12x+8 \ end{align} right..$

D. $left{ begin{align} & 2x-yle -3 \ & 2x+5yge 12x+8 \ end{align} right..$

Vấn đề 3. TÌM GTLN – GTNN CỦA BIỂU THỨC F(x,y) VỚI ĐIỀU KIỆN LÀ MỘT HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1.

Giá trị nhỏ nhất của biết thức $F=y-x$ trên miền xác định bởi hệ:

$left{ begin{matrix} y-2xle 2 \ 2y-xge 4 \ x+yle 5 \ end{matrix} right.$ là.

A. $text{min }F=1$ khi $x=2,y=3$.                 

B. $text{min }F=2$ khi $x=0,text{ }y=2$.

C. $text{min }F=3$ khi $x=1,y=4$.                 

D. $text{min }F=0$ khi $x=0,text{ }y=0$.

Câu 2.

Giá trị nhỏ nhất của biết thức $F=y-x$ trên miền xác định bởi hệ:

$left{ begin{matrix} 2x+yle 2 \ x-yle 2 \ 5x+yge -4 \ end{matrix} right.$ là

A. $text{min }F=-3$ khi $x=1,y=-2$.               

B. $text{min},F=0$ khi$x=0,y=0$.

C. $text{min }F=-2$ khi $x=frac{4}{3},y=-frac{2}{3}$.                  

D. $text{min }F=8$ khi $x=-2,y=6$.

Câu 3

Cho hệ bất phương trình: $left{ begin{align} & x-yle 2 \ & 3x+5yle 15 \ & xge 0 \ & yge 0 \ end{align} right.$.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A.Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là miền tứ giác $ABCO$ kể cả các cạnh với $Aleft( 0;3 right)$, $Bleft( frac{25}{8};frac{9}{8} right)$, $Cleft( 2;0 right)$ và $Oleft( 0;0 right)$.

B.Đường thẳng $Delta :x+y=m$ có giao điểm với tứ giác $ABCO$ kể cả khi $-1le mle frac{17}{4}$.

C.Giá trị lớn nhất của biểu thức $x+y$ , với $x$ và $y$ thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là $frac{17}{4}$.

D.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x+y$ , với $x$ và $y$ thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.

Câu 4.

Giá trị lớn nhất của biết thức $Fleft( x;y right)=x+2y$ với điều kiện: $left{ begin{matrix} 0le yle 4 \ xge 0 \ x-y-1le 0 \ x+2y-10le 0 \ end{matrix} right.$ là

A. $6$.                            B. $8$.                          C. $10$.                        D. $12$.

Câu 5.

Giá trị nhỏ nhất của biết thức $Fleft( x;y right)=x-2y$ với điều kiện: $left{ begin{matrix} 0le yle 5 \ xge 0 \ x+y-2ge 0 \ x-y-2le 0 \ end{matrix} right.$ là

A. $-10$.                         B. $12$.                        C. $-8$.                         D. $-6$.

Vấn đề 4. BÀI TOÁN KINH TẾ, BÀI TOÁN TỐI ƯU

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $Tleft( x,y right)=ax+by$ với $left( x;y right)$ nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm $S$ là đa giác.

Bước 2: Tính giá trị của $F$ tương ứng với $left( x;y right)$ là tọa độ của các đỉnh của đa giác.

Bước 3: Kết luận:

$bullet $ Giá trị lớn nhất của $F$ là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.

$bullet $ Giá trị nhỏ nhất của $F$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.

Câu 1.

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.

● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;

● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.

Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?

A. $5$ lít nước cam và $4$ lít nước táo.                              B. $6$ lít nước cam và $5$ lít nước táo.    

C. $4$ lít nước cam và $5$ lít nước táo.                              D. $4$ lít nước cam và $6$ lít nước táo.    

Câu 2.

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm

● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn;

● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn.

Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

A. $30$kg loại I và $40$ kg loại II.     B. $20$kg loại I và $40$ kg loại II.         

C. $30$kg loại I và $20$ kg loại II.     D. $25$kg loại I và $45$ kg loại II.        

Câu 3.

Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin $A$ và $B$ đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả $A$ lẫn $B$ và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin $A$và không quá 500 đơn vị vitamin $B$. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin $B$ không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin $A$ và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin $A$. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin $A$ có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin $B$ có giá 7,5 đồng.

A. $600$ đơn vị Vitamin $A$, $400$ đơn vị Vitamin $B.$

B. $600$ đơn vị Vitamin $A$, $300$ đơn vị Vitamin $B.$

C. $500$ đơn vị Vitamin $A$, $500$ đơn vị Vitamin $B.$

D. $100$ đơn vị Vitamin $A$, $300$ đơn vị Vitamin $B.$

Câu 4.

Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng “Quy sâm đại bổ hoàn”. Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau.

$bullet $ Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.

$bullet $ Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?

A. Cắt theo cách một [x-2<0] tấm, cắt theo cách hai $300$ tấm.

B. Cắt theo cách một $150$ tấm, cắt theo cách hai $100$ tấm.

C. Cắt theo cách một $50$ tấm, cắt theo cách hai $300$ tấm.                             

D. Cắt theo cách một $100$ tấm, cắt theo cách hai $200$ tấm.

Câu 5.

Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm $A$ và sản phẩm $B$ trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm $A$ lãi $4$ triệu đồng người ta sử dụng máy $I$ trong $1$ giờ, máy $II$ trong $2$ giờ và máy $III$ trong $3$ giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm $B$ lãi được $3$ triệu đồng người ta sử dụng máy $I$ trong $6$ giờ, máy $II$ trong $3$ giờ và máy $III$ trong $2$ giờ. Biết rằng máy $I$ chỉ hoạt động không quá $36$ giờ, máy hai hoạt động không quá $23$ giờ và máy $III$ hoạt động không quá $27$ giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất.

A. Sản xuất $9$ tấn sản phẩm $A$ và không sản xuất sản phẩm $B.$

B. Sản xuất $7$ tấn sản phẩm $A$ và $3$ tấn sản phẩm $B.$

C. Sản xuất $frac{10}{3}$ tấn sản phẩm $A$ và $frac{49}{9}$ tấn sản phẩm $B.$  

D. Sản xuất $6$ tấn sản phẩm $B$ và không sản xuất sản phẩm $A.$

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1.2. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (ax + by le c{rm{ }}) được gọi là miền nghiệm của nó.

Quy tắc thực hành biểu diễn hình học miền nghiệm ( hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình (ax + by le c{rm{ }}) ( tương tự cho bất phương (ax + by ge c))

Bước 1: Trên mặt phẳng xy, vẽ đường thẳng (Delta :ax + by = c)

Bước 2: Lấy một điểm ({M_0}left( {{x_0};{y_0}} right)) không thuộc (Delta ) ( ta thường lấy gốc tọa độ O)

Bước 3: Tính (ax_0 + by_0) và so sánh (ax_0 + by_0) với c

Bước 4: Kết luận

Nếu (ax_0 + by_0 < c) thì nửa mặt phẳng bờ (Delta ) chứa ({M_0}) là miền nghiệm của (ax + by le c{rm{ }})

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình (ax + by le c{rm{ }}) bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình (ax + by < c)

1.3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

1.4. Áp dụng vào bài toán kinh tế

Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.

Phương trình bậc hai một ẩn hay còn gọi là phương trình bậc hai. Đây là dạng bài toán cơ bản để các teen hiểu và nắm bắt được phương thức. Sau đó sẽ mở rộng lên phương trình bậc ba, bậc 4 hoặc phương tình nhiều ẩn. Dạng phương trình nhiều ẩn hoặc có bậc cao hơn thường hay xuất hiện trong các đề thi học kỳ và thi vào lớp 10. Do đó các teen nên cố gắng học kỹ về lý thuyết cũng như luyện giải các dạng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 9. Đây chính là tiền đề căn bản để giải những phương trình cao hơn.

Lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng

Trong đó x là ẩn số cần tìm. a, b, c là những số biết trước gọi là các hệ số và thường luôn a ≠ 0 (vì a = 0 thì sẽ trở về dạng phương trình bậc 1 một ẩn) Thí dụ:

3x 2 + 24x – 160 = 0

Đây là một phương trình bậc hai một ẩn x. Các hệ số a = 3, b = 24, c = -160

Trong đó x là ẩn số cần. các hệ số a = -5, b = 0, c = 75.

Luy ý khi giải phương trình bậc hai một ẩn

Nếu b = 0, ta có ax 2 + c = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết b.

Nếu c = 0, ta có ax 2 + bx = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết c.

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khác với phương trình không khuyết:

ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Ta giải theo một trong hai phương pháp sau:

Phương pháp 1: Biến đổi thành phương trình dạng a(x+m) 2 = n.

Phương pháp 2: Biến đổi thành phương trình tích a(x + m)(x + n) = 0

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khuyết b:

Ta được x 2 = -c/a. Nếu -ca ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = √-ca

Nếu -ca < 0 thì phương trình vô nghiệm

Cách giải phương trình khuyết c:

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = −b/a

Một đề thi Toán vào lớp 10