Top #10 ❤️ Cách Giải Bất Đẳng Thức Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 10/2022 ❣️ Top Trend | Maiphuongus.net

Bất Đẳng Thức Cosi Và Cách Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cosi

Những Kiến Thức Cơ Bản Về Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki

Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki Và Những Ứng Dụng Trong Giải Toán

Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki Và Một Số Kỹ Thuật Sử Dụng

Kỹ Thuật Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cauchy Trong Chứng Minh Bđt

Chuyen De Bat Dang Thuc Lop 10 Ban Full

Posted by itqnu

Ngay từ bậc Tiểu học, chúng ta đã được làm quen với trung bình cộng và trung bình nhân rồi phải không nào? Và khi càng học cao hơn, chúng ta sẽ nhận thấy các bất đẳng thức còn được sử dụng với nhiều dạng khác nhau.

Trong đó được sử dụng nhiều nhất có lẽ chính là bất đằng thức Cosi. Vậy bất đẳng thức Cosi được định nghĩa như thế nào? Làm thế nào để chứng minh được bất đẳng thức Cosi? Có những kỹ thuật nào sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh các bất đẳng thức khác hay không?…

Khái niệm bất đẳng thức Cosi

Trong toán học, bất đẳng thức Cosi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Ta thấy với a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương mà thôi.

Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ a, b dương (đpcm)

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âm

Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 thì bất đẳng thức luon đúng. Vì thế, chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số dương mà thôi.

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm

Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì thế chúng ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức cosi với 4 số dương mà thôi.

Ta được bất đẳng thức cosi cho 3 số dương.

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương

n=2 thì bất đẳng thức đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số.

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:

Đây chính là bất đẳng thức cosi (n-1) số. Như vậy ta có đpcm.

Những quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức cosi

Quy tắc song hành: hầu hết các bất đẳng thức đều có tính đối xứng, do đó, việc sử dụng các chứng minh một cách song hành sẽ giúp ta dễ hình dung ra kết quả hơn, cũng như định hướng cách giải nhanh hơn

Quy tắc dấu bằng: dấu “=” trong bất đẳng thức rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của bất đẳng thức. Do đó, bạn phải rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu “=”

Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: một nguyên tắc khi áp dụng song hành các bất đẳng thức đó là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “=” phải được dùng thỏa mãn cùng với một điều kiện của biến

Quy tắc biên: cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên

Quy tắc đối xứng: các bất đẳng thức thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT : “≥”, “≤” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại

Ví dụ sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức khác

Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a, b. Chứng minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab.

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm ta có:

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm ta có:

Khái Niệm Bất Đẳng Thức Và Phân Loại Bất Đẳng Thức Cosi

Bị Dị Ứng Bột Ngọt Phải Làm Dao Chữa Trị, Phòng Ngừa?

Khi Nào Cơ Thể Bị Ngộ Độc Mì Chính?

93 Cặp Thực Phẩm Kỵ Nhau Và Cách Giải Độc

Lưu Ý Khi Ăn Bột Ngọt, Bột Nêm?

Khái Niệm Bất Đẳng Thức Và Phân Loại Bất Đẳng Thức Cosi

Bất Đẳng Thức Cosi Và Cách Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cosi

Những Kiến Thức Cơ Bản Về Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki

Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki Và Những Ứng Dụng Trong Giải Toán

Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki Và Một Số Kỹ Thuật Sử Dụng

Kỹ Thuật Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cauchy Trong Chứng Minh Bđt

Khái niệm về bất đẳng thức cosi

Trong toán học, người dùng tại Việt Nam rất quen thuộc với bất đẳng thức cosi, hay gọi là bất đẳng thức Cauchy. Nhưng trên thực tế, tên gọi chính xác của khái niệm này là bất đẳng thức AM-GM (Viết tắt của Arithmetic Means – Geometric Means). Người có cách chứng minh bất đẳng thức này hay nhất chính là Cauchy. Ông không phải là người phát hiện ra bất đẳng thức mà chỉ là người đưa ra cách chứng minh quy nạp điển hình nhất.

Bất đẳng thức Cauchy (cosi) được ứng dụng rộng rãi trong chứng minh bất đẳng thức (Nguồn: Internet)

Trong lĩnh vực toán học, bất đẳng thức cosi là khái niệm dùng để chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Trong đó, trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức côsi với 2 số thực a và b không âm

Với a=0, b=0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. còn với a,b lớn hơn 0, ta có thể chứng minh như sau:

Bất đẳng thức luôn đúng với những số không âm (Nguồn: Internet)

Các dạng của bất đẳng thức cosi

Đây là dạng bất đẳng thức với trị số n cụ thể như 2 số thực không âm, 3 số thực không âm, 4 số thực không âm,… n ở đây là những con số được xác định.

Ví dụ cụ thể:

Đây là dạng bất đẳng thức với n là số không xác định và phải đáp ứng điều kiện là n không âm. Công thức tổng quát của nó như sau:

Bất đẳng thức có 2 dạng với nhiều cách giải khác nhau (Nguồn: Internet)

Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

Hệ quả 1: Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

Công thức tính tích phân từng phần và ví dụ cụ thể: Trong toán học lớp 12, tích phân từng phần là một trong những dạng toán quan trọng và đều xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT. Học tốt tích phân là một cách lấy điểm để dễ dàng vượt qua các kì.

Bị Dị Ứng Bột Ngọt Phải Làm Dao Chữa Trị, Phòng Ngừa?

Khi Nào Cơ Thể Bị Ngộ Độc Mì Chính?

93 Cặp Thực Phẩm Kỵ Nhau Và Cách Giải Độc

Lưu Ý Khi Ăn Bột Ngọt, Bột Nêm?

Dùng Bột Ngọt, Bột Nêm Đúng Cách

12 Cách Giải Cho 1 Bài Bất Đẳng Thức

Các Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức (Có Lời Giải Chi Tiết)

19 Phương Phap Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Đề Tài Giải Bất Đẳng Thức Bằng Phương Pháp Đưa Về Một Biến

Chứng Minh Bất Đẳng Thức Cosi Và Các Ví Dụ Minh Họa

Các Dạng Toán Về Căn Bậc 2, Căn Bậc 3 Và Cách Giải

Published on

12 Cách giải cho 1 bài bất đẳng thức

1. LÃNG MẠN CÙNG MỘT BÀI TOÁN Trần Thanh Tùng Trong đề thi vào Đại học môn Toán khối A năm 2009 thì có thể nói câu V là câu khó nhất. Không một học sinh nào của trường THPT Mộc Hóa giải được trong khi thi. Thật sự nó khó lắm chăng? Nó cứ thôi thúc tôi, buộc tôi phải lang thang trên internet xem thiên hạ giải nó như thế nào và tôi cùng cậu học trò là em Đạt cũng đã tìm ra vài cách giải cho riêng mình. Xin giới thiệu lại bài toán và các cách giải của nó. ” Chứng minh rằng với mọi số thực dương , ,x y z thỏa   3x x y z yz   ta có:           3 3 3 3 5x y x z x y x z y z y z         (*) “. Trước khi đi tìm lời giải cho bài bất đẳng thức này, tôi có nhân xét:  Đây không phải là một bất đẳng thức đối xứng theo các biến nên đa số học sinh chưa có thói quen giải nó. Các bất đẳng thức trong các kì tuyển sinh trước thường là bất đẳng thức đối xứng.  Vế phải có ba biến và vế trái có hai biến và đồng bậc nên trong suy nghĩ tìm lời giải là ta phải giảm biến x trong vế trái và buộc vế trái xuất hiện  y z , nhưng nếu làm theo như vầy thì ta chỉ thu được đẳng thức. May mắn cho ta là có một bất đẳng thức quen thuộc là   2 4y z yz  và các dạng biến thể của nó nên việc tìm lời giải cho bất đẳng thức sẽ xoay quanh phát hiện này. Cách giải 1 ( của phó giáo sư Phan Huy Khải ) Đặt , , , , 2 2 2 b c a a c b b a c a y z b z x c x y x y z                 . Từ điều kiện bài toán ta suy ra:     2 22 2 2 2 4 3a b c b c a b bc c        . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:    3 3 3 2 5 3 5 3 **a b c abc a a b c bc       Từ 2 2 2 a b bc c   suy ra:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a bc b c a b c bc b c a b c                   2 2 2 ** 3 3 a a b c a bc      đúng  * đúng. Đẳng thức xảy ra khi x y z  . Thiên hạ cho rằng cách giải này gọn đẹp nhất!

2. Cách giải 2 ( của tiến sĩ Lê Thống Nhất ) Từ giả thiết bài toán ta có:   2 3 4x xy xz yz x y x z yz       . Đặt ,a x y b y z    thì 4ab yz . Ta có hằng đẳng thức:                          23 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 2 4 4 2 a b a b a ab b a b a b ab a b ab a b ab y z yz y z yz y z yz y z y z y z y z                                                  Tức là:       3 3 2 2x y x z y z     ( 1 ). Mặt khác ta lại có:             2 2 3 12 3 3x y x z y z yz y z y z y z y z          ( 2 ) Cộng ( 1 ) và ( 2 ) ta được kết quả cần chứng minh. Cách giải 3 ( của thầy Nguyễn Anh Dũng ĐHSP Hà Nội ) Đặt t y z  . Từ giả thiết suy ra : 2 3 x xt yz   . Vì   2 4 y z yz   nên     23 3 4 x x y z yz y z       22 2 23 2 4 2 4 x tx t x t t x t        . Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :             3 3 2 3 2 3 5x y z x y x z x y z x y x z y z y z                               3 3 3 32 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 .2 5 2 6 5 2 6 5 3 2 2 3 2 0 2 3 2 0 x y z x y x z x y z x y z x x x y z yz y z x xt x t x x xt t t x xt t x xt t                                     Vì 0 2 t x  nên 2 2 2 23 2 3 2 2 2 t x xt t t    hay 2 2 2 3 2 0x xt t   . Bất đẳng thức cũng đã được chứng minh. Đây cũng là cách giải trên báo tuổi trẻ.

3. Cách giải 4 ( của bạn Võ Bá Quốc Cẩn sinh viên ĐH Y Cần Thơ khóa 2006-2012 ) Từ giả thiết ta có :    4x y x z yz   . Hơn nữa áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được :   3 3 3yz x x y z x xyz x yz      . Sử dụng hằng đẳng thức :             3 3 2 2 2x y x z x y x z x y z y z x y z                         2 22 3 4 2 2 2 yz yz y z y z yz y z y z y z y z             Mặt khác ta lại có:             2 2 3 12 3 3x y x z y z yz y z y z y z y z          . Cả hai điều trên ta suy ra :           3 3 3 3 5x y x z x y x z y z y z         . Cách giải của bạn Cẩn và của thầy Nhất có phần tương tự nhau! Cách giải 4 ( của tanpham90 diễn đàn toán học.net ) Bất đẳng thức tương đương với:               2 33 2 2 33 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3 x x y z x y z yz xyz y z x x y z x y z x x y z xyz y z                          Đặt 2 .y z a  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:        3 2 2 2 32 6 3 4 2 2 16 3 4 4 0 x x a x a x x a x x a a x a x a a                Bất đẳng thức này đúng vì ngược lại nếu 2 y z x a x     . Theo điều kiện ban đầu ta suy ra:   2 4y z yz  vô lí! Cách giải 5 ( đáp án của BGD ) Các bạn tự tìm lấy!

4. Không biết các bạn cảm thấy như thế nào? Riêng tôi, tôi cảm thấy nát óc khi theo những dòng trong lời giải trên. Mỗi một dòng là một phần toán học. Mời các bạn theo dõi lời giải của thầy trò chúng tôi. Cách giải 6 Ta có:     223 1 3 3 4 2 . yz x x y z x xyz x yz x yz y z x y z              Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :       33 2 2 2 3 3 2 (**)x x y z x y z yz y z       .                 3 2 ** 3 3 1 3 3 8 2 13 3 2 . 8 2 VT y z yz y z y z y z yz y z yz y z y z                  Cách giải 7 Gọi , ,a b c là ba số thực dương có tổng bằng 3. Thế thì tồn tại một số thực dương t sao cho : , ,x ta y tb z tc   . Từ điều kiện bài toán suy ra : a bc . Bất đẳng thức (*) tương đương :                         3 3 3 3 3 3 32 3 5 2 6 5 3 24 5 3 1 6 0 a b b c a b a c b c b c a b c a a b a c b c a a a a a                           Ta có :  2 2 3 3 2 1b c bc a a b c a a           . Vậy :   1 6 0a a   đúng. Cách giải 8 Đặt , , 2 2 2 a b c a c b b c a x y z          . Từ điều kiện bài toán ta suy ra :     2 2 2 2 2 2 2 4 AM GM a b a b c a b ab c ab           .

5. Bất đẳng thức (*) tương đương :   3 3 3 2 2 3 3 5 3 5a b abc c a b a b ab abc c           2 3 3 5a b c abc c    đúng. Đố bạn tại sao ! Cách giải 9 Đây là cách giải sáng tạo và không kém phần ” lều lĩnh” ! Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác ABC. Đặt , , 2 2 2 a b c a c b b c a x y z          . Điều này bao giờ cũng thỏa. Từ điều kiện bài toán ta suy ra : 2 2 2 0 60c a b ab C     ( kinh nghiệm đầy mình !). Theo định lý hàm sin thì : 2 3 sin sin sin 3 a b c c A B C    . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương : 3 3 3 3 15 3 sin sin sin .sin 2 8 A B A B   (**).         (**) 3 1 3 3 sin sin sin3 sin3 sin sin 4 4 2 33 1 3 3 1 sin cos sin cos cos 2 3 2 2 2 4 2 VT A B A B A B A BA B A B                    3 3 3 3 15 3 cos cos 4 2 8 8 A B A B           đpcm. Ăn thua mình lều ! Cách giải 10 Đặt x y a y z    và x y b y z    . Bất đẳng thức (*) 3 3 3 5a b ab    . Ta có :         2 2 2 2 . x x y z yz x x y z yz a b y z y z                 2 2 2 2 3 3 21 x y x z ab a b a b a b y z              . Vậy (*) 3 5a b ab    . Ta thấy :

6.     2 22 2 1 1 1 2 2 4 a b a b ab a b a b            Mà   23 3 5 4 a b ab a b a b       đpcm. Cũng hơi mệt mỏi khi tìm lời giải và gõ vi tính. Nhưng lỡ yêu BĐT rồi nên phải chịu. Tiếp tục hai cách còn lại. Cách giải 11 Đặt ,y ax z by  . Hiển nhiên 0, 0a b  . Từ điều kiện dễ dàng suy ra : 1 3 3 1 1 2 1a b ab ab a b ab ab           . Bất đẳng thức (*)                                 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 2 1 1 3 1 1 5 2 6 1 1 5 3 1 24 5 3 1 27 12 1 2 3 1 3 1 9 1 2 3 1 7 6 1 a b a b a b a b a b a b a b ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab                                     Bất đẳng thức cuối cùng đúng do 1ab  . Cách giải 12 Có người bảo đạo hàm là một công cụ mạnh để giải toán BĐT. Ngay cả mấy cậu học sinh lớp 8,9 cũng đòi học đạo hàm vì thấy các anh chị dùng nó tuyệt vời quá. Nhưng dục tốc thì bất đạt! Mới các bạn xem chúng tôi tung chiêu sau cùng là sử dụng “hàng nóng” là đạo hàm. Từ điều kiện suy ra:     32 9 27 2x x y z xyz x y z x y z         .  Nếu x y x z    thì (*) hiển nhiên đúng.  Do vai trò của y và z như nhau nên ta có thể cho rằng: z x y  . Thế thì bao giờ ta cũng tìm được hai số không âm a,b sao cho a b và: y x a x z b      .

7. Điều kiện tương đương:  2 3x a b ab  . Trường hợp a b là tầm thường. Bây giờ ta chỉ xét a b . Khi đó :             3 3 * 2 2 3 2 2 2 5 2x a x b x a x b x a b x a b            . Đặt 2 2 2 t t x a b x x      .       3 2 3 3 2 2 3 * 2 6 4 2 5 8 6 3 2 12 0 x t x x ab t x tx t x t abx            . Bây giờ ta chứng minh :   3 2 2 3 8 6 3 2 0f x x tx t x t     . Thật vậy :    / 2 2 3 3 8 4 0 4 t t f x x tx t x        . Lập bảng biến thiên của hàm số f trên 0; 2 t      thì thấy   0, 0; 2 2 t t f x f x                . Từ đây ta có điều phải chứng minh. Vài điều chia sẻ cùng đồng nghiệp. “Thành công không phải là số chiến thắng bạn có được mà là những ngọn núi bạn đã vượt qua” (Booker Taliaferro Washington ) Mộc Hóa tháng 8 năm 2009. Trần Thanh Tùng

“bí Quyết” Làm Bài Chứng Minh Bất Đẳng Thức, Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Biểu Thức

Cách Xử Lý Nhanh Khi Bị Ngộ Độc Bột Ngọt

Giải Đáp Thắc Mắc Về Ứng Dụng Và Cách Dùng Bột Ngọt Hợp Lý

Dị Ứng Bột Ngọt: Triệu Chứng, Chẩn Đoán Và Cách Chữa

Giải Độc Bột Ngọt Hiệu Quả

Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Bunhiacôpxki

Chứng Minh Bất Đẳng Thức Cauchy

Kỹ Thuật Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cauchy Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Đề Tài Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức Cauchy (Côsi)

Giáo Án Đại Số 10 Tiết 43 Bài 2: Bất Đẳng Thức Cô

Phương Trình Chứa Căn Thức

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 1 

I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) :

Cho 2 bộ số thực ( )1 2; ;…; na a a và ( )1 2; ;…; nb b b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có:

( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2… … …n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

1 2

1 2

… n

n

aa a

b b b

= = = với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0.

II. Các hệ quả :

Hệ quả 1:

Nếu 1 1 … n na x a x C+ + = (không đổi) thì ( )2 21 2 2

1

min …

…n n

Cx x

a a

+ + = + +

đạt được khi 1

1

… n

n

xx

a a

= =

Hệ quả 2:

Nếu 2 2 21 … nx x C+ + = (không đổi) thì ( ) 2 21 1 1max … …n n na x a x C a a+ + = + +

đạt được khi 1

1

… 0n

n

xx

a a

= = ≥

( ) 2 21 1 1min … …n n na x a x C a a+ + = − + +

Dấu “=” xảy ra 1

1

… 0n

n

xx

a a

⇔ = = ≤

III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng:

• Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm

( )1 2; ;…; na a a ; ( )1 2; ;…; nb b b ; ( )1 2; ;…; nc c c ta luôn có :

( ) ( )( )( )2 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2… … … …n n n n n na b c a b c a b c a a a b b b c c c+ + + ≤ + + + + + + + + +

Chứng minh:

Đặt 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 31 2 1 2 1 2… , … , …n n nA a a a B b b b C c c c= + + + = + + + = + + +

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 2 

Nếu 0A = hoặc 0B = hoặc 0C = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức

đều bằng 0.

Đặt ; ;i i ii i i

a b c

x y z

A B C

= = = với 1;2;3i =

Khi đó ta có:

3 3 3

1 2 3

3 3 3

1 2 3

3 3 3

1 2 3

1

1

1

x x x

y y y

z z z

⎧ + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1x y z x y z x y z+ + ≤

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: ( )3 3 3; ; 1;2;3i i ix y z i = ta có:

3 3 3

1 1 1

1 1 1

3 3 3

2 2 2

2 2 2

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3

3

3

x x xx y z

x x xx y z

x x x

x y z

⎧ + +≤⎪⎪⎪ + +≤⎨⎪⎪ + +≤⎪⎩

Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1x y z x y z x y z+ + ≤ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2

3 3 3

3 3 3

a b c

A B Cx y z

a b cx y z

A B C

x y z a b c

A B C

⎧ = =⎪= =⎧ ⎪⎪ ⎪⇔ = = ⇔ = =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎪ = =⎪⎩

Hay ( ): : : : 1;2;3i i ia b c A B C i= = tức là: 1 1 1 2 2 2 3 3 3: : : : : :a b c a b c a b c= =

• Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực không âm:

Cho m dãy số thực không âm:

( )1 2; ;…; na a a , ( )1 2; ;…; nb b b , , ( )1 2; ;…; nK K K

Ta có:

( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2… … … … … … … …m m m m m m m m m mn n n n n na b K a b K a b K a a a b b b K K K+ + + ≤ + + + + + + + + +

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

1 1 1 2 2 2: : … : : : … : : : … :n n na b K a b K a b K= = ( chứng minh tương tự như trên)

I- MỘT SỐ VÍ DỤ :

Bài 1: Cho , ,x y z là ba số dương thỏa 4 9 16 49x y z+ + = . Chứng minh rằng:

1 25 64 49T

x y z

= + + ≥

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 3 

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho sáu số 2 ;3 ;4x y z và 1 5 8; ;

x y z

ta được:

( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2 21 25 84 1 5 849. 4 9 16 2 3 4T x y z x y zx y z x y z

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + + + + = + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2

21 5 82 . 3 . 4 . 49x y z

x y z

⎛ ⎞≥ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 25 64 49T

x y z

⇒ = + + ≥

Đẳng thức xảy ra khi

1

21 5 8

52 3 4

3

4 9 16 49 2

x

x y z y

x y z z

⎧ =⎪⎧ ⎪= =⎪ ⎪⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ + =⎩ =⎪⎪⎩

3 2 5x y+ ≤ +

Hướng dẫn giải

Giả thiết:

2 2

2 2 1 1 1

2 2 2

x y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + ⇔ − + − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 1 11;3 ; ;

2 2

x y⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ ta có:

2 2 21 1 1 11. 1 3. 10 5

2 2 2 2

y x y

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ≤ − + − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )23 2 5x y⇒ + − ≤

3 2 5x y⇒ + − ≤

3 2 5x y⇒ + ≤ +

Đẳng thức xảy ra khi

1 5

2 10

1 3 5

2 10

x

y

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩

Bài 3 : Cho , , 0a b c ≥ ; 1a b c+ + = .Chứng minh:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 4 

2 2 2

1 1 1 1 30

ab bc aca b c

+ + + ≥+ +

Hướng dẫn giải

Gọi 2 2 2

1 1 1 1A

ab bc aca b c

= + + ++ +

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:

( )

2 2 2

2 2 2

1 1 1 1; ; ;

;3 ;3 ;3

ab bc caa b c

a b c ab bc ca

⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

+ +

Ta có: ( ) ( )2 2 2 21 3 3 3 9 9 9a b c ab bc ca A+ + + ≤ + + + + +

( ) ( )2100 7a b c ab bc ca A⎡ ⎤⇒ ≤ + + + + +⎣ ⎦ (*)

Mà ( )21 1 (do 1)

3 3

ab bc ca a b c a b c+ + ≤ + + = + + =

Do đó: (*) 30.A⇒ ≥

Đẳng thức xảy ra khi 1

3

a b c= = =

Hướng dẫn giải

Gọi 2 2 22 2 2

1 1 1S x y z

x y z

= + + + + +

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 11;9 ; ;x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Ta có: 2 22 2

9 1 11 81. 82.x x x

x x x

+ ≤ + + = + (1)

Tương tự:

2

2

9 182.y y

y y

+ ≤ + ` (2)

2 2

9 182.z z

z z

+ ≤ + (3)

Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: 1 1 1. 82 9S x y z

x y z

⎛ ⎞≥ + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Hay ( ) ( )1 1 1. 82 81 9 80S x y z x y zx y z

⎛ ⎞≥ + + + + + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 5 

( ) 1 1 12.9.3. 80 162 80 82x y z

x y z

⎛ ⎞≥ + + + + − ≥ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Vậy 2 2 22 2 2

1 1 1 82x y z

x y z

+ + + + + ≥

Bài 5 : Cho ba số thực dương , ,a b c thoả ab bc ca abc+ + = .Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 22 2 2 3b a c b a c

ab bc ca

+ + ++ + ≥

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 1 12b a b a

ab a b a b

+ += = + (do ,a b dương)

Đặt 1 1 1; ;x y z

a b c

= = = thì

giả thiết

, , 0 ; ; 0

1

a b c x y z

ab bc ca abc x y z

> >⎧ ⎧⇔⎨ ⎨+ + = + + =⎩ ⎩

và (đpcm) 2 2 2 2 2 22 2 2 3x y y z z x⇔ + + + + + ≥

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:

( ) ( ) ( )22 2 2 2 23 2 3x y x y y x y y+ = + + ≥ + +

( )2 2 12 2

3

x y x y⇒ + ≥ +

Tương tự ( )2 2 12 2

3

y z y z+ ≥ +

( )2 2 12 2

3

z x z x+ ≥ +

Vậy ( )2 2 2 2 2 2 12 2 2 3 3 3 3

3

x y y z z x x y z+ + + + + ≥ + + =

Đẳng thức xảy ra khi 1

3

x y z= = =

Với 1

3

x y z= = = thì 3a b c= = =

Bài 6 : Chứng minh: ( )1 1 1 1a b c c ab− + − + − ≤ + với mọi số thực dương ; ; 1a b c ≥

Hướng dẫn giải

Đặt 2 2 21 ; 1 ; 1a x b y c z− = − = − =

( ) ( )( )2 2 21 1 1 1x y z z x y⎡ ⎤+ + ≤ + + + +⎣ ⎦

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 6 

( )( ) ( )( )2 2 2 21 1 1 1x y x y x y z x y z+ ≤ + + ⇒ + + ≤ + + + (1)

( )( ) ( )( )2 2 2 2 21 1 1 1 1. 1x y z x y z+ + + ≤ + + + + (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có ( ) ( )( )2 2 21 1 1 1x y z z x y⎡ ⎤+ + ≤ + + + +⎣ ⎦

Vậy ( )1 1 1 1a b c c ab− + − + − ≤ + (đpcm)

( ) ( ) ( )3 3 3

1 1 1 3

2a b c b c a c a b

+ + ≥+ + +

Hướng dẫn giải

Đặt 1 1 1; ;x y z

a b c

Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A=

2 2 2 3

2

x y z

y z z x x y

+ + ≥+ + +

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số : ( ); ; ; ; ;x y zy z z x x y

y z z x x y

⎛ ⎞+ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Ta có: ( ) ( )2x y z y z z x x y A+ + ≤ + + + + +

33 3.

2 2 2

x y zA xyz+ +⇒ ≥ ≥ = (do 1xyz = ) 3

2

A⇒ ≥

Đẳng thức xảy ra khi 1x y z= = =

Với 1x y z= = = thì 1.a b c= = =

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1

a b c

a a b a c b b c b a c c a c b

+ + ≤+ + + + + + + + +

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) ( ); ; ;a b c a

Ta có:

( ) ( )( ) ( )( )2ac ab a b c a ac ab a b c a+ ≤ + + ⇒ + ≤ + +

( )( )a ac ab a a b c a⇒ + + ≤ + + +

( )( )

a a a

a ac ab a b ca a b a c

⇒ ≤ =+ + + ++ + + (1)

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 7 

Tương tự: ( )( )

b b

a b cb b c b a

≤ + ++ + + (2)

( )( )

c c

a b cc c a c b

≤ + ++ + + (3)

Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1

a b c

a a b a c b b c b a c c a c b

+ + ≤+ + + + + + + + +

Đẳng thức xảy ra khi a b c= = .

3 2

ab

a b

−≤+ +

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 2 9a b+ =

( )

( )( )

22 9

2 3 3

ab a b

ab a b a b

⇔ = + −

⇔ = + + + −

2 3

3

3

3 2 2

ab a b

a b

ab a b

a b

⇔ = + −+ +

+⇔ = −+ +

Mà theo BĐT Bunhiacôpxki thì 2 22. 3 2a b a b+ ≤ + =

Nên 3 2 3

3 2

ab

a b

−≤+ +

Đẳng thức xảy ra khi 2 2

; 0

39

2

a b

a b a b

a b

>⎧⎪⎪ + = ⇔ = =⎨⎪⎪ =⎩

Bài 10: Cho ; ; ;a b c d dương tuỳ ý.Chứng minh : 1 1 1 p q p q p q

a b c pa qb pb qc pc qa

+ + ++ + ≥ + ++ + +

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có

( ) ( )

2

2 . .p q p qp q pa qb pa qb

a b a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Tương tự ta chứng minh được

( ) ( ) ( ) ( )2 2 ; p q p qp q pb qc p q pc qa

b c c a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + + + ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có :

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 8 

( ) ( )2 1 1 1 1 1 1p q p q

pa qb pb qc pc qa a b c

⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ + + ≤ + + +⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + ⎝ ⎠⎣ ⎦

Hay ( ) 1 1 1 1 1 1p q

pa qb pb qc pc qa a b c

⎡ ⎤+ + + ≤ + +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

Vậy 1 1 1 p q p q p q

a b c pa qb pb qc pc qa

+ + ++ + ≥ + ++ + +

Bài 11 : Cho 4 số dương ; ; ;a b c d .Chứng minh:

3 3 3 3 2 2 2 2

3

a b c d a b c d

b c d c d a b d a a b c

+ + ++ + + ≥+ + + + + + + +

Hướng dẫn giải

Đặt

3 3 3 3a b c dP

b c d c d a b d a a b c

= + + ++ + + + + + + +

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:

( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3 3; ; ; ; ; ; ;a b c d a b c d b c d a c d b a d a b cb c d c d a b d a a b c⎛ ⎞ + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + + + +⎝ ⎠

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2a b c d P a b c d b c d a c d a b d a b c+ + + ≤ + + + + + + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2a b c d P a b c d a b c d⎡ ⎤⇔ + + + ≤ + + + − + + +⎣ ⎦ (1)

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) ( ); ; ; ; 1;1;1;1a b c d ta được:

( ) ( )2 2 2 2 24a b c d a b c d+ + + ≤ + + + (2)

Từ (1) và (2) ta được ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

3

3

a b c d P a b c d

a b c d P

+ + + ≤ + + +

⇔ + + + ≤

Vậy

3 3 3 3 2 2 2 2

3

a b c d a b c d

b c d c d a b d a a b c

+ + ++ + + ≥+ + + + + + + +

Bài 12 : Cho các số dương ; ;a b c thỏa a + b … + + + +

Hay ( ) ( ) ( )2 2 4a b c d ab bc cd da ac bd+ + + ≥ + + + + +

( )2 2 2 2 2a b c d ac bd⇔ + + + ≥ +

( ) ( )2 2 0a c b d⇔ − + − ≥ : BĐT đúng.

Bài 8 : Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

( )2 2 22 2 2 3

2

a b ca b c

b c c a a b

+ ++ + ≥+ + +

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT BCS ta có:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 22 2 22 2 2

2 2 2

a b ca b c

b c c a a b a b c b c a c a b

+ + = + ++ + + + + +

( )

( ) ( ) ( )

22 2 2

2 2 2

a b c

a b c b c a c a b

+ +≥ + + + + +

( )

( ) ( ) ( )

22 2 2a b c

ab a b bc b c ca c a

+ +≥ + + + + + (1)

Áp dụng BĐT BCS dạng thông thường ta có:

( ) ( ) ( ) 2ab a b bc b c ca c a+ + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2ab bc ca a b b c c a⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Mặt khác, ta có các BĐT sau:

( ) ( ) ( ) ( )

22 2 2

2 2 2

3

a b c

ab bc ca

+ +• + + ≤

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4a b b c c a a b c ab bc ca a b c• + + + + + = + + + + + ≤ + +

Từ đó suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 2 2

2 2 2 2.4

3

a b c

ab a b bc b c ca c a a b c

+ ++ + + + + ≤ + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )32 2 243 a b c= + +

Hay ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22

3

ab a b bc b c ca c a a b c a b c+ + + + + ≤ + + + +

Kết hợp với (1) ta suy ra:

( )

( ) ( ) ( )

22 2 22 2 2 a b ca b c

b c c a a b ab a b bc b c ca c a

+ ++ + ≥+ + + + + + + +

( )

( )

( )2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2

3

2 2

3

a b ca b c

a b c a b c

+ ++ +≥ =

+ + + +

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 32 

Bài 9 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh : 25 16 8a b c

b c c a a b

Hướng dẫn giải

BĐT cần chứng minh tương đương với:

25 1 16 1 1 8 25 16 1 50a b c

b c c a a b

Hay 25 16 1 50

b c c a a b a b c

+ + ≥+ + + + + (1)

Ký hiệu P là vế trái của (1). Áp dụng BĐT BCS ta có:

( )( ) ( ) ( )

22 2 2 5 4 15 4 1 50P

b c c a a b b c c a a b a b c

+ += + + ≥ =+ + + + + + + + + +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

5 4 1

b c c a a b+ + += =

Suy ra ( ) ( ) 2

5 4 1 5

Từ đó suy ra: 50P

a b c

> + +

Do đó BĐT (1) đúng và ta có BĐT cần chứng minh.

Bài 10 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh:

2 2 2

3 .

2

a b c

ab b bc c ca a

+ + ≥+ + +

Hướng dẫn giải

Ký hiểu P là cế trái của BĐT cần chứng minh. Áp dụng BĐT BCS ta có:

2

1 1 1 1 1 1

a b ca b c

b c ab c aP

a b c a b c

b c a b c a

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠= + + ≥

+ + + + + + + +

Hay

( )2

1 1 1

x y z

P

x y z

+ +≥ + + + + + (1) với , ,

a b cx y z

b c a

= = =

( chú ý 1xyz = ).

Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm ta có:

3 33. . . 3. chúng tôi yz zx xy yz zx xyz+ + ≥ = =

Suy ra:

( ) ( ) ( )2 2 6x y z x y z xy yz zx x y z+ + = + + + + + ≥ + + +

Mặt khác, áp dụng BĐT BCS (dạng thông thường ta có):

( )1 1 1 3 3x y z x y z+ + + + + ≤ + + +

Kết hợp hai BĐT vừa có với BĐT (1) ta nhận được:

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 33 

( )

_ 6

3 3

x y zP

x y z

+ +≥ + + +

Hay 3

3

SP

S

+≥ với 33 3. 3 6S x y z xyz= + + + ≥ + =

Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh đúng nếu ta có: 3 3

3 2

S

S

+ ≥

Hay 3 3 3

2

S

S

+ ≥ (2).

Chú ý: 6S ≥ nên ta có các biến đổi như sau:

3 6 3 3 2 3 3(2) 3 2 .

2 2 2 2 2 2 2

S S SVT

S S

⎛ ⎞= + + ≥ + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Từ đó suy ra BĐT (2) đúng và ta có BĐT cần chứng minh

Bài 11 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh:

2

2 2 2

1

8 8 8

a b c

a bc b ca c ab

+ + ≥+ + + ( IMO 2001 )

Hướng dẫn giải

Ký hiệu P là vế trái của BĐT BCS ta có:

2

2 2 28 8 8

a b cP

a a bc b b ca c c ab

= + ++ + +

( )2

2 2 28 8 8

a b c

a a bc b b ca c c ab

+ +≥ + + + + +

Từ đó suy ra BĐT đã cho đúng nếu ta chứng minh được:

( )2

2 2 2

1

8 8 8

a b c

a a bc b b ca c c ab

+ + ≥+ + + + +

Hay ( )22 2 28 8 8a a bc b b ca c c ab a b c+ + + + + ≤ + + (1)

Ký hiệu Q là vế trái của BĐT (1).

Áp dụng BĐT BCS ta có:

( ) ( ) ( ) 22 2 2 28 8 8Q a a a bc b b b ca c c c ab⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2 2 28 8 8a b c a a bc b b ca c c ab⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎣ ⎦

( )( )3 3 3 24a b c a b c abc= + + + + +

Do đó BĐT (1) đúng nếu ta có: ( )33 3 3 24a b c abc a b c+ + + ≤ + +

Ta đã biết:

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 2 2 2 2 2 23 3 3 6 .a b c a b c a b c b c a c a b abc+ + = + + + + + + + + +

Từ đó suy ra BĐT trên tương đương với:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 6 .a b c b c a c a b abc+ + + + + ≥

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 34 

Hay ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 0a b c bc b c a ca c a b ab+ − + + − + + − ≥

BĐT cuối cùng đúng vì nó tương đương với BĐT đúng:

( ) ( ) ( )2 2 2 0a b c b c a c a b− + − + − ≥ ⇒đpcm

Bài 12 : Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương , ,a b c :

( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 2 2 2 2 3

a b c ab bc ca

b bc c c ca a a ab b a b c

+ ++ + ≥− + − + − + + +

Hướng dẫn giải

Ký hiệu P là vế trái của BĐT BCS ta có:

Áp dụng BĐT BCS ta có:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 22 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c

P

a b bc c b c ca a c a ab b

= + +− + − + − +

( )

( ) ( ) ( )

22 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c

a b bc c b c ca a c a ab b

+ +≥ − + + − + + − +

( )

( ) ( ) ( )

22 2 2

3

a b c

ab a b bc b c ca c a abc

+ += + + + + + −

Mặt khác, áp dụng BĐT: ( ) ( )23 xy yz zx x y z+ + ≤ + + ta có:

3 ab bc ca a b c

a b c

+ + ≤ + ++ +

Do đó để có BĐT đã cho ta chỉ cần chứng minh:

( )

( ) ( ) ( )

22 2 2

3

a b c

a b c

ab a b bc b c ca c a abc

+ + ≥ + ++ + + + + −

Hay

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 3a b c ab a b bc b c ca c a abc a b c+ + ≥ + + + + + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( )4 4 4 2 2 2 2 2 22a b c a b b c c a⇔ + + + + + ≥

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3ab a b bc b c ca c a abc a b b c c a abc a b c≥ + + + + + + + + + + + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 3 3 3a b c abc a b c a b c b c a c a b⇔ + + ≥ + + ≥ + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0a a bc a b c b b ca b c a c c ab a a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + + − + + + − + ≥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 0a a b a c b b c b a c c a c b⇔ − − + − − + − − ≥ (1)

Do vai trò của , ,a b c trong BĐT (1) là như nhau nên không nhấn mất tính tổng quát ta có thể giả sử

VT (1) ( )( ) ( )( )2 2a a b a c b b c b a≥ − − + − −

( ) ( ) ( )2 2a b a a c b b c⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦

( ) ( ) ( )3 3 2 2a b a b a c b c⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 35 

( ) ( )2 2 2a b a b ab ca cb= − + + − −

( ) ( ) ( )2 0a b a a c b b c ab= − − + − + ≥⎡ ⎤⎣ ⎦

Từ đó suy ra BĐT (1) đúng. Do đó ta có BĐT cần chứng minh.

Bài 13 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh:

1a b c a b b c

b c a b c a b

+ ++ + ≥ + ++ +

Hướng dẫn giải

Ta chỉ cần chứng minh BĐT sau đúng:

( )2 1a b c a b b c

ab bc ca b c a b

+ + + +≥ + ++ + + +

Hay ( )

2

3 2

a b c a b b c

ab bc ca b c a b

+ + + +− ≥ + −+ + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

2 2 23 2a b c ab bc ca a b b c a b b c

ab bc ca a b b c

+ + − + + + + + − + +⇔ ≥+ + + +

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )

2 2 2 2

2

a b b c c a c a

ab bc ca a b b c

− + − + − −⇔ ≥+ + + + (1)

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2a b b c a b b c a b b c− + − = − + − − − + −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 2c a a b b c= − − − + −

Từ đó suy ra BĐT (1) tương đương với:

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )( )

2 2 22

2

c a a b b c c a c a

ab bc ca a b b c

− − − − + − −≥+ + + +

Hay ( ) ( )( ) ( )( )( )

2 2c a a b b c c a

ab bc ca a b b c

− − − − −≥+ + + +

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2c a a b b c a b b c c a ab bc ca⇔ − + + − − − ≥ − + +

( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 0c a b a b b c⇔ − − − − ≥

( )24 2 2 2 22 0 0b a c b ac b ac⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ : BĐT đúng.

Từ đó ta có BĐT cần chứng minh.

Bài 16 : Cho :f R R+ +→ là một hàm số thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh BĐT sau đúng với mọi số thực dương , ,a b c :

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0f a a b a c f b b c b a f c c a c b− − + − − + − − ≥ (1)

Hướng dẫn giải

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 36 

( ) ( ) ( )f a f c f b+ ≥ (2)

Khi đó ta viết BĐT (1) dưới dạng:

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )f a a b a c f c a c b c f b b c a b− − + − − ≥ − −

Hay ( ) ( ) ( )f a f c f b

b c a b a c

Áp dụng BĐT BCS ta có:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2f a f c f a c f a cf a f c

b c a b b c a b b c a b a c

+ +

+ = + ≥ =− − − − − + − −

Kết hợp BĐT trên với BĐT (2) ta nhận được:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2f a cf a f c f b

b c a b a c a c

+

+ ≥ =− − − − ⇒BĐT (3) đúng và ta có ĐPCM.

Nhận xét:

Nếu hàm số :f R R+ +→ xác định bởi ( ) rf x x= với r là một số thực thì f thỏa mãn tính chất của bài toán.

ii) Nếu 0r ≥

Do đó trong cả hai trường hợp ta đều có: ( ) ( ) ( )f x z f y+ ≥

Khi đó ta có BĐT:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0r r ra a b a c b b c b a c c a c b− − + − − + − − ≥

với mọi số thực dương , ,a b c

BÀI TẬP :

Bài 1: Cho 1 2, ,…, na a a là các số thực dương. Chứng minh:

2

1 2 1 2

1 1 1…

…n n

n

a a a a a a

+ + + ≥ + + +

Bài 2: Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh;

1)

2 2 2

2

a b c a b c

b c c a a b

+ ++ + ≥+ + + 2)

3 3 3 2 2 2

2

a b c a b c

b c c a a b

+ ++ + ≥+ + +

Bài 3: Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh : 1 1 1 1

2 2 3 3a b b a a b

+ ≤ ++ +

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 37 

Bài 4: Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Tìm GTNN của biểu thức

2 2 2

1 1 1 1P

a b c ab bc ca

= + + ++ +

Bài 5: Cho , , , , ,a b c d e f là các số thực dương. Chứng minh:

3a b c d e f

b c c d d e e f f a a b

+ + + + + ≥+ + + + + +

Bài 6: Cho ,a b là các số thực dương. Chứng minh : ( )2 2 2 22a b a bb a+ ≥ +

Bài 7: Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương. Chứng minh:

2

xa yb zc x y zxy yz zx

b c c a a b

+ ++ + ≥ + + −+ + +

Bài 8: Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh

1) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 13 2 3 2 3 2

a b c

a b c bc b c a ca c a b ab

+ + ≥

+ + + + + + + + +

2)

( )3

1

a b ca b c

a xb b xc c xa x

+ ++ + ≥+ + + + với 2x ≥

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com

Cách Giải Các Dạng Toán Tìm X Cơ Bản Và Nâng Cao

Tóm Tắt Lý Thuyết Hóa 12 Bài Phản Ứng Thủy Phân Lipit

Hàm Số Chẵn Lẻ, Cách Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số

Phương Pháp Giải Bài Toán Về Tổ Hợp – Chỉnh Hợp – Xác Suất

Các Bài Toán Về Trung Bình Cộng Lớp 4

🌟 Home
🌟 Top