Top 15 # Cách Giải Bài Toán Phương Trình Tiếp Tuyến Đạo Hàm Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 6/2023 # Top Trend

Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác

A. Phương pháp giải

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .

+ Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình

+ Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình ; bất phương trình lượng giác đã được học

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho f(x)= sin 2x. Giải phương trình f’ ( x)=0?

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm: f,m ‘ (x)=2cos2x

+ Để f’ ( x)=0 ⇔ 2.cos2x= 0 hay cos2x= 0

A. x≠π/6+kπ B. x≠π/6+k2π C. x≠π/3+kπ D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Điều kiện : x+ π/3≠π/2+kπ hay x≠π/6+kπ

+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:

Ví dụ 3. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y’=0

Hướng dẫn giải

Ví du 4. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y’=0

Hướng dẫn giải

Ví du 5. Cho hàm số: y=2 cos⁡( 2x- π/3). Giải phương trình y’=4

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho :

Ví dụ 6 Cho hàm số y= x+ sin 2x. Giải phương trình y’= 0

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số là : y’=1+2cos2x

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y’=3+2sin2x

Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤sin⁡2x ≤1 ⇔ – 2 ≤2sin2x ≤2

⇔ ≤3+2sin2x ≤5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho hàm số y=x 3+ 3x+ sin 3 x. Giải bất phương trình y’ ≥0

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm: y’=3x 2+ 3+ 3sin 2 x. cosx

Với mọi x ta có; cosx ≥ – 1 ⇒ 3sin 2 x.cosx ≥ – chúng tôi 2 x

⇒ 3+ 3sin 2x.cosx ≥ 3- chúng tôi 2 x ⇔ 3+ 3sin 2x.cosx ≥ chúng tôi 2 x ( 1)

Lại có 3x 2 ≥0 ∀ x (2)

Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:

Vậy với mọi x ta luôn có: y’ ≥0

Chọn C.

Ví dụ 9. Cho hàm số y= cos( 2π/3+2x) . Khi đó phương trình y’=0 có nghiệm là:

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ví dụ 10.Cho hàm số y= cot 2 π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y’=0 là:

Hướng dẫn giải

Ví dụ 11. Cho hàm số : y= 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y’= 0

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm : y’= -6 sin⁡3x-6cos2x

Để y’= 0 thì – 6 sin 3x – 6 cos2x= 0

⇔sin3x+ cos2x= 0 ⇔ sin3x= – cos2x

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f’ ( x)=0?

Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx – 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y’=0

Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y’=0

Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos⁡( 4x- π/6). Giải phương trình y’=1

Hiển thị lời giải

Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y’= 2

A. x=π/3+kπ B. x=π/6+kπ C. x=kπ/2 D. x=kπ

Câu 7: Cho hàm số y= x 3 +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^’ ≤0

Hiển thị lời giải

Ta có đạo hàm: y’=3x 2+3+3cos3x

⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)

Chọn B. .

Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin 2 x. Giải bất phương trình y’≥0

Hiển thị lời giải

Điều kiện: x ≥0

Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2

Hiển thị lời giải

Câu 10: Cho hàm số y= tan( x 3 + 3x 2+ 3x+ 9). Giải phương trình y’=0?

A. x= 0 B. x = 2 C. x= -1 D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Điều kiện cos⁡( x 3+3x 2+3x+9)≠0

Chọn C.

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

1.2. Các dạng bài tập Với hàm đặc trưng Dạng2: Với hàm đặc trưng 2. Bài tập. Bài tập về ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình. Bài 1. Giải phương trình sau: Lời giải: +)Đk :x<2+) Xét hàm số trên +) Ta có Suy ra f(x) đồng biến trên khoảng Dùng máy tính kiểm tra được là nghiệm . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . Bài 2. Giải phương trình sau: (ĐHQG HN-07) Lời giải: +) Đ/K: +)Ta thấy là một nghiệm .+) Xét hàm số +) Ta có f(x) đồng biến trên .Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau: Lời giải: Ta có +) Đ/K: +) Ta có +)Đặt .Phương trình trở thành : +) Với thì vô nghiệm +) Vời , bình phương hai vế ta có +) Ta thấy t=1 là một nghiệm của phương trình +) Xét hàm số +)nghịch biến trên +) Xét hàm +) đồng biến trên +) Vậy t=1 là nghiệm duy nhất .Với t=1 hai nghiệm x=0; x=2 Bài 4. Giải phương trình: Lời giải: +)Ta có +) Xét hàm số Ta có đồng biến. +) Khi đó Vậy phương trình có ba nghiệm x=1; Bài 5. Giải phương trình: Lời giải: Đ/K: +) Ta có Pt: +) Xét hàm trên +) đồng biến trên +) Khi đó phương trình Vậy phương trình có hai nghiệm Bài 6. Giải phương trình: (Olimpic30/04/2011) +) Ta cần phân tích pt về dạng: , với hàm cần xét có dạng . Với f(t) đồng biến. Do đó Bài 7. Giải phương trình : (Olympic30/04/09). Lời giải: Ta đưa phương trình về dạng Đồng nhất các hệ số ta tìm được Khi đó pt: Vời đồng biến. Ta có Vậy phương trình có nghiệm Bài 8.Giải phương trình: Lời giải: Ta cần đưa phương trình về dạng Đồng nhất hệ số ta tìm được Phương trình Với đồng biến Ta có Vậy phương trình có nghiệm Bài 9. Giải phương trình (HSG Hải Phòng 2010) Lời giải : Ta có Xét hàm số đồng biến. Vậy phương trình có nghiệm x=0. Bài10. Giải phương trình (HSG Quảng Bình 2012) Đ/K:Tacó: Xét hàm số đồng biến Phương trình:. Vậy phương trình có hai nghiệm x=0, x=1 Bài11:Giải phương trình: ( Chuyên Lê Quý Đôn- Bà Rịa vũng Tàu) Lời giải :+) ĐKXĐ:a có: Xét hàm số đồng biến Ta có +) Xét .Đặt =cost, , phương trình trở thành Mà suy ra Do phương trình là bậc ba nên có không quá ba nghiệm. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm Bài 12.Giải phương trình : +) Ta thấy phương trình chỉ có nghiệm trong khoảng Ta có Với . Xét hàm số đồng biến trên Ta có Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . Bài 13. Giải phương trình (HSG Nghệ An2012) Lời giải:+) ĐKXĐ: +) Phương trình đã cho tương đương với +)Xét hàm số ; Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên Khi đó: Bài 14. Giải phương trình sau: (HSG Thái Bình 2011) Lời giải: +) ĐKXĐ: +) Xét hàm số đồng biến trên Vậy phương trình có nghiệm Bài 15: Giải phương trình sau: Lời giải: +) ĐKXĐ: +) Phương trình +) Xét hàm số đồng biến .+) Phương trình +) Xét hàm phương trình g(x)=0 có nhiều nhất là hai nghiệm, mà g(0)=g(1)=0. Vậy phương trình có hai nghiệm x=0, x=2. Bài16. Giải phương trình : ( HSG Hải Dương ) Lời giải: +) ĐKXĐ : +) Ta có : +) Xét hàm số nghịch biến. +) Phương trình Vậy phương trình có nghiệm . 2.2. Bài tập ứng dụng tính đơn điệu vào giải hệ phương trình Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu Một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên đó hàm f đơn điệu Bài1 Giải hệ phương trình Giải . Từ PT (2) ta có Xét hàm số có do đó f(t) nghịch biến trên khoảng (-1;1) hay PT (1) thay vào PT (2) ta được PT : Đặt a=x4 ≥0 và giải phương trình ta được Bài2. Giải hệ : Lời giải : Từ pt(1) ta xét hàm hs đồng biến Khi đó Thay vào(2) :hệ có nghiệm Bài3. Giải hệ : (x, y Î R). (Đề thi ĐH 2010-KA) Lời giải ĐK : . Pt (1) Xét hàm : đồng biến Pt Nghĩa là : Pt (2) trở thành Xét hàm số trên < 0 Mặt khác : nên (*) có nghiệm duy nhất x = và y = 2.. x = và y = 2 Bài 4. (Đề thi thử Hà Tĩnh 2013) Giải hệ phương trình: (I) Hướng dẫn cách giải:Biển đổi phương trình (1) về dạng 3x + x = 3y + y (3) Thiết lập hàm số: f(t) = 3t + tChứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3) f(x) = f(y) x = y Cách giải: (I) Þ f(t) là hàm đồng biến, (3) f(x) = f(y) x = y Nên (I) x = y = ± 2Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2) Bài 5.(Tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 5- 2012)Giải hệ (I) Hướng dẫn cách giải: Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y Lấy (1) - (2) và đưa phương trình về dạng Thiết lập hàm số: f(t)= , t [-;4] Cách giải: Điều kiện - Lấy (1) - (2) và đưa phương trình về dạng (3) Xét hàm số: f(t)= , t [-;4]Þ f'(t) = t (-;4) Þ f(t) đồng biến trên (-;4) (3) Suy ra: (pt vô tỉ dạng cơ bản) Giải pt được 2 nghiệm : x=3, x= (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3), Bài 6.G hệ phương trình: (1) +) Với thì , Hệ phương trình chỉ có nghiệm với y. +) Vì nên từ phương trình (2) của hệ suy ra . (3) Thay vào phương trình (3) ta được: (2) +) Xét hàm số: với với mọi là hàm đồng biến trên . Mà +) Thay vào phương trình (2) của hệ ta có : . Thử lại thấy thỏa mãn hệ phương trình đã cho. Kết luận : Hệ phương trình đã có nghiệm duy nhất Bài 7: (ĐH 2012)Giải hệ phương trình (x, y Î R). Lời giải :Pt Pt Xét hàm số suy ra hàm số nghịch biến , pt Thay vào (2): Vậy hệ có nghiệm 3.Bài tập tự luyện: Bài1: Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. (HSG Lâm Đồng) 14. (HSG Ninh Bình) 15. 16. (HSGQuảng Nam) Bài2. Giải các hệ phương trình: 1)2) 3)4) 5)(HSG 2013) 6) 7) ( HSG HD 2012) 8)(i Dương 13-14) 9) KA 13

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có rất nhiều dạng bài như: viết pttt của hàm số tại 1 điểm, đi qua 1 điểm, biết hệ số góc…Nhưng phần này lại không khó khăn gì nếu chúng ta nắm được phương pháp của từng dạng bài này.

I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:

Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f'(x 0). (x – x 0) + y 0

1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(x 0, y 0) thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M(x 0; y 0) làm tiếp điểm).

Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x 0; y 0) ∈ (C)

2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A (x A, y A) cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua A(x A, y A)).

Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x 0, y 0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f'(x).(x – x 0) + y 0 (d).

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

3. Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k

Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x 0;y 0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: d: y = f'(x 0).(x – x 0) + y 0.

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:

Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f'(x 0). (x – x 0) + y 0.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0; y 0) có hệ số góc k có dạng;

Điều kiện để đường thằng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm: (left{begin{matrix} f(x)=g(x) & \ f'(x)=g'(x) & end{matrix}right.) Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

II. Bài tập

Loại 1: Cho hàm số y =f(x). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0(x 0; y 0) ∈ (C).

Giải

Phương trình tiếp tuyến tại M 0 có dạng: y = k(x – x 0) + y 0 (*)

Với x 0 là hoành độ tiếp điểm;

Với y 0 = f(x 0) là tung độ tiếp điểm;

Với k = y'(x 0) = f'(x 0) là hệ số góc của tiếp tuyến.

Để viết được phương trình tiếp tuyến ta phải xác định được x 0; y 0 và k.

MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M 0(x 0;y 0) ∈ (C)

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x 0 ta được hệ số góc

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x 0

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x 0 ta được hệ số góc.

– Thay x 0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm.

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y 0

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x 0 ta được hệ số góc.

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x 0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y'(x 0) = f'(x 0)

-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y'(x 0) = f'(x 0) để tìm x 0

– Thay x 0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.

Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x 0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Chú ý: Một số dạng khác

-Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì điều này

… Quay về dạng 4.

– Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = ax + b thì điều này ⇔ y'(x 0) = a… Quay về dạng 4.

– Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng… Quay về dạng 1.

Chú ý:

Cho hai đường thẳng d 1: y = a 1x + b 1 với a 1 là hệ số góc của đường thẳng d 1 và y = a 2x + b 2 với a 2 là hệ số góc của đường thẳng d 2.

Trong chương trình giảng dạy bộ môn Toán ở bậc trung học phổ thông các bài toán về phương trình, bất phương trình chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình của ba khối lớp. Bên cạnh đó là sự phong phú về dạng toán, từ phương trình, bất phương trình vô tỷ ở lớp 10, phương trình lượng giác ở lớp 11 đến phương trình, bất phương trình mũ, logarit ở lớp 12, mà phương pháp để giải quyết các dạng bài toán đó cũng rất phong phú, rất nhiều ý tưởng độc đáo và bất ngờ được phát hiện khi tìm hiểu để giải quyết những bài toán tạo lên sự hấp dẫn của toán học đối với người học cũng như người dạy.

Như ta đã biết phương trình, bất phương trình đều được xây dựng trên cơ sở của khái niệm hàm số, chính vì vậy mà một trong những phương pháp giải không thể thiếu chúng của các dạng toán trên chính là sử dụng đạo hàm trong giải toán.

Xuất hiện ở rất nhiều tài liệu, từ chuyên đề hàm số đến các chuyên đề về phương trình đại số và trong các đề thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp đều có những bài toán được giải bằng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên hệ thống bài tập trong một số chuyên đề đó còn rời rạc, việc khai thác và khắc sâu ý tưởng trong bài giải còn chưa triệt để. Điều đó gây khó khăn cho học sinh trong việc xây dựng cho mình những phương pháp giải hoàn chỉnh đối với các dạng bài toán phương trình, bất phương trình .

Xuất phát từ thực tế cần có một hệ thống các bài tập theo những chuyên đề hoàn chỉnh tôi đã tập hợp, bổ sung và sắp xếp các bài toán dạng này theo cấu trúc rõ ràng và đa dạng. Vì vậy tôi lựa chọn đề tài: “Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình” làm sáng kiến kinh nghiệm, mong rằng với những tìm hiểu của mình có thể giúp học sinh nhận biết, sử lý bài toán giải phương trình, bất phương trình nhanh chóng và thành thạo hơn .

Trong thực tế, chuyên đề đã được tôi sử dụng trong quá trình ôn thi đại học cho học sinh các lớp tôi dạy đạt kết quả khá tốt và học sinh giỏi trong những năm qua cũng đạt kết quả khá cao. Khi triển khai chuyên đề trên tới các đối tượng học sinh, không chỉ học sinh khá giỏi mới làm được mà ngay cả những học sinh trung bình sau khi tiếp nhận kiến thức cũng đã biết sử lý, phân tích bài toán một cách linh hoạt hơn. Học sinh khá, giỏi đã có thể suy nghĩ để đưa ra một số bài toán sử dụng phương pháp đạo hàm để trao đổi trong nhóm học, tạo ra sự hứng thú và hăng say học tập.

n sẽ đơn giản hơn nhiều.Và rất nhiều bài toán khác mà việc sử dụng đạo hàm là rất cần thiết và hữu ích. Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình và bất phương trình.Bên cạnh đó giúp các đồng nghiệp có được nguồn tài liệu bồi dưỡng học sinh thi đại học và thi học sinh giỏi. Trong phạm vi hạn hẹp của một sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ đưa ra một số bài toán và cách giải tương ứng bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm. 2.2. Thực hiện các giải pháp của đề tài: Để giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình trong các kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và sử dụng tốt các phương pháp như: Các phương pháp biến đổi đại số đã học ở lớp 10, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải. Ở đây, tôi chỉ đề cập đến một vài khía cạnh nhỏ trong việc giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp ứng dụng tính đơn điệu của hàm số. 2.2.1. Cơ sở lí thuyết: 2.2.1a.Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), với . a. Hàm số f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên (a;b) nếu x1 < x2 thì f(x1)<f(x2). b.Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên (a;b) nếu x1 f(x2). *Mệnh đề 1: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì a. phương trình : có không quá một nghiệm trên D. b. Chứng minh: * Không mất tính tổng quát, giả sử f(x) đồng biến trên D. a)Giả sử phương trình có nghiệm .Do f(x) đồng biến nên: +x f(x) < f(x0) =m phương trình f(x) = m vô nghiệm. Vậy phương trình f(x) = m có nhiều nhất là một nghiệm x = x0. b)*nếu a f(a) vô lý. *Chú ý: +Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giải phương trình: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng hoặc (trong đó ) và ta chứng minh được f(x)là hàm luôn đồng biến (nghịch biến). Nếu là phương trình: ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất. Nếu là phương trình: ta có ngay giải phương trình này ta tìm được nghiệm. +Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm. 2.2.1b. Định lý. Cho hàm số có đạo hàm trên D. +Nếu dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thìđơn điệu tăng trên D. +Nếu dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thìđơn điệu giảm trên D. Hàm số đơn điệu là hàm số tăng hoặc giảm . *Mệnh đề 2: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình không nhiều hơn một. Chứng minh: Giả sử x = a là một nghiệm của phương trình: tức là . Ta giả sử đồng biến còn nghịch biến. +Nếu suy ra nên phương trình vô nghiệm. +Nếu suy ra nên phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình có nhiều nhất một nghiệm. *Chú ý: Khi gặp phương trình F(x) = 0 ta có thể biến đổi về dạng; , trong đó f và g khác tính đơn điệu. khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. *Mệnh đề 3: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì: . 2.2.2Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình: Dạng 1: Phương trình đã cho được đưa về dạng: (hoặc )trong đó . a)Phương pháp: Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng : (hoặc ) Bước 2: Xét hàm số trên D. *Tính và xét dấu , kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D. *Kết luận hàm số: đơn điệu trên D. *Tìm sao cho (hoặc tìm ). Bước 3: kết luận. *Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (hoặc rồi giải phương trình ) *Kết luận nghiệm của phương trình trên. b)Bài tập áp dụng Bài 1. Giải các phương trình sau: a) . b) . c) d). *Nhận xét: Đối với các bài toán trên nếu giải theo cách bình thường như: bình phương hai vế hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó, tuy nhiên nếu chú ý một chút ta thấy ngay vế trái là một hàm đồng biến và vế phải là hàm số nghịch biến hoặc hằng số, sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số ta có cách giải sau. Giải. TXĐ : PT ó Xét liên tục trên D hàm số đồng biến trên D. Mà = 6. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. TXĐ : D =. PT ó Xét hàm số liên tục trên D ta có Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. c) . TXĐ: D = . PT ó Xét hàm số là hàm số liên tục trên D. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. d) TXĐ: Xét hàm số: , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và nên hàm số f(x) đồng biến trên D. Mặt khác ta thấy f(1)= 4. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. +Dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương. Bài 2. Giải các phương trình sau. a) . b) . c) d) e) *Nhận xét: Bài này ta không thể sử dụng các phép biến đổi bình thường để giải. Vì vậy ta chỉ có thể giải được bằng phương pháp hàm số sau: Giải a) TXĐ : D= R. Ta có: . Xét ta có nên hàm số f(x) đồng biến trên R. Mặt khác ta thấy f(1)= 0. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. b)TXĐ: . PT ó (*) Xét hàm số: , khi đó (*), ta có f(x) là hàm liên tục trên D và , nên hàm số f(x) đồng biến trên D. Mặt khác ta thấy f(6)= 0. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. Vậy x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình. c) . TXĐ : D = . PT ó Xét liên tục trên D. Ta có nên hàm số f(x) đồng biến trên D. Mặt khác ta thấy f(2)= 4. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. d). TXĐ : D = . PT ó . Xét hàm số liên tục trên D. Ta có *Nếu nên phương trình vô nghiệm. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. Vậy x = 343 là nghiệm duy nhất của phương trình. e) . TXĐ : D = . PT ó Xét liên tục trên D. Ta có *Nếu nên phương trình vô nghiệm. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. *Chú ý: Nếu trong phương trình có chứa cả hàm số mũ (hoặc lôgarit) và hàm đa thức thì ta thông thường hướng suy nghĩ đầu tiên khi lựa chọn cách giải là sử dụng bằng phương pháp đạo hàm. Bài 3. Giải phương trình sau ( Đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2004-2005) ln(x2 +6x + 10 ) + x3 +3x2 + 4x +12 = 0. * Nhận xét: Rõ ràng bài toán trên ta không thể giải bằng phương pháp biến đổi thông thường. Sử dụng phương pháp đạo hàm ta có cách giải sau. Giải . TXĐ: D = R Xét hàm số f(x) = ln(x2 +6x + 10 ) + x3 +3x2 + 4x +12 trên R * Nếu x f(x) < f(-3) = 0, phương trình vô nghiệm Vậy x = -3 là nghiệm duy nhất của phương trình Bài 4.Giải phương trình sau . (*) *Nhận xét: Nếu đặt điều kiện và bình phương hai vế hai lần ta sẽ đưa về phương trình bậc 4 giải được nhưng vất vả . Ta có thể giải được bằng phương pháp hàm số sau: TXĐ: Xét hàm số: , khi đó pt(*), ta có f(x) là hàm liên tục trên D và , nên hàm số f(x) đồng biến trên D. Mặt khác ta thấy f(4)= 0. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 5.Giải phương trình sau . (*) *Nhận xét: Nếu đặt điều kiện và bình phương hai về ta đưa phương trình về phương trình bậc 6 mặc dù có nghiệm bằng 0 nhưng bước biến đổi tiếp theo là tất mất thời gian và khó khăn để loại nghiệm do điều kiện bình phương. Vì vậy ta có thể giải được bằng phương pháp hàm số sau: ĐK: Xét hàm số: , khi đó pt(*), ta có f(x) là hàm liên tục trên D và , nên hàm số f(x) đồng biến trên D. Mặt khác ta thấy f(0)= 0. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 6.Giải phương trình sau ( Đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2012) Giải. TXĐ : D = R Phương trình ó Đặt t = sin2x ; Phương trình trở thành (*) Xét hàm số ta có ; phương trình(*) hay sin2x = ½ ó cos2x = 0 . Vậy phương trình có nghiệm Bài 7.Giải phương trình sau (*) *Nhận xét: Bài này ta không thể sử dụng các phép biến đổi bình thường để giải. Vì vậy ta có thể giải được bằng phương pháp hàm số sau: Giải. TXĐ : D = R Xét với , ta có f(x) là hàm liên tục và = Mặt khác ta thấy f(0)= 1. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. *Nếu nên phương trình vô nghiệm. Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 8.Giải phương trình sau 8.log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) (*) Giải . TXĐ: D = R PT(*) ( do ) Đặt t = với t , khi đó phương trình đã cho trở thành (**) Xét hàm số: với t . Ta có < 0 t ó x = ; x = Vậy pt(*) có nghiệm x = ; x = Dạng 2:Phương trình đã cho được đưa về dạng: trong đó . a)Phương pháp: Bước 1:Biến đổi phương trình về dạng: . Bước 2: Xét hàm số trên D. *Tính và xét dấu y'. *Kết luận hàm số là hàm luôn tăng ( hoặc luôn giảm) trên D, Bước 3: Kết luận. *Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi . *Giải phương trình: . *Kết luận nghiệm của của phương trình đã cho. b)Bài tập vận dụng Bài 1.Giải phương trình sau ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình 2010): * Nhận xét : Phương trình trên nếu biến đổi thông thường sẽ rất khó khăn chính vì vậy ta có thẻ liên tưởng tới phương pháp sử dụng đạo hàm. Giải. TXĐ : D = PT ó (*) Nên hàm số f(t) đồng biến với mọi t. PT (*) ó f(x+1) = f() ó ( vì x ) ( thoả mãn đk) Vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = 1. Bài 2. Giải phương trình ( Đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2010) . Giải .TXĐ : D=R Xét hàm số ; ta có là hàm số nghịch biến , phương trình ó Vậy phươn trình có nghiệm Bài 3. Giải phương trình (*) Giải. TXĐ: Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương Đặt ta được Trong đó: với . Là hàm số liên tục trên (0;+) Do đó: hay Vậy phương trình có nghiệm: . Bài 4. Giải các phương trình sau ((Olympic 30-4 ĐBSCL 2000) (*) Giải. TXĐ : D = R. Phương trình (*) PT (*) suy ra là hàm đơn điệu tăng. Do đó: Vậy phương trình có nghiệm: . Bài 5. Giải phương trình với *Nhận xét: Với bài này nếu sử dụng các phép biến đổi thông thường thì ta không thể giải được. Nếu nhìn kĩ ta thấy ngay phương trình có thể đưa về dạng và giải bằng phương pháp đạo hàm: Giải. Ta thấy với . Phương trình (3) Đặt hàm số liên tục Ta có nên f(t) là hàm đơn điệu tăng. Do đó: Vì nên phương trình có nghiệm duy nhất Bài 6. Giải phương trình sau ( Đề thi HSG Hải Phòng 2010 ) Giải . TXĐ : D = R PT (*) Xét , thì f(t) liên tục trên R PT(*) ó ó x = 0 Vậy phương trình có nghiệm x = 0. Bài 7. Giải phương trình Giải . TXĐ : D = R{1;} PT ó (*) Xét hàm số Txđ Ta có Mà pt(*) Vậy phương trình có nghiệm x=2 và x=4. Bài 8. Giải phương trình (*) Giải . TXĐ: D = Phương trình (*) Xét hàm số víi t t f(t) là hàm số đồng biến trên . PT(*) x - 1 = x2 - x x2 - 2x + 1 = 0 x = 1 Vậy phương trình có nghiệm: . Bài 9. Giải phương trình (*) Giải . TXĐ : Đặt Phương trình trở thành: (**) PT(**) u = v u- v = 0 hay Vậy phương trình có nghiệm: . Bài 10. Giải phương trình ( Đề thi HSG Bắc Ninh 2010) Giải . TXĐ : D = PT ó Vậy phương trình có nghiệm x = 3/2. Dạng 3. Sử dụng đạo hàm để tìm hết số nghiệm của phương trình. Bài 1. Giải phương trình sau. 2x + 3x = 3x + 2 (*) Giải. TXĐ: D = R Trên txđ D ta có pt (*) 2x + 3x - 3x - 2 = 0 Xét hàm số f(x) = 2x + 3x - 3x - 2 với x D Ta có : f'(x) = 2xln2 + 3xln3 - 3 f'(x) là hàm số đồng biến x R Mặt khác f'(x) là hàm số liên tục x R Ta lại có f'(0) = ln2 + ln3 - 3 < 0 f'(0).f'(1) < 0 x0 (0;1) sao cho f'(x0) = 0 x thì f'(x) < 0 x thì f'(x) < 0 Ta có bảng biến thiên x - x0 + f(x0) + + f'(x) - 0 + f(x) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox. Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy có tối đa 2 giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox. Mà f(0)=f(1)=0. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;1}. Bài 2. Giải phương trình sau. (1) Giải. ĐK: Phương trình(*) (1*) Phương trình(1*) ó Xét hàm số trên Ta có . Bảng biến thiên x x0 + g(x0) + g'(x) - 0 + g(x) Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy g(x) = 0 có không quá 2 nghiệm Mà g(0)=g(1)=0. VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm x=0 vµ x=1. 2.2.3. Ứng dụng đạo hàm để giải bất phương trình: Dạng 1: Bất phương trình đã cho được đưa về dạng: (hoặc ) trong đó . a) Phương pháp: Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng : (hoặc ) Bước 2: Xét hàm số và trên D. *Tính , xét dấu và , kết luận tính đơn điệu của hàm số và trên D. *Tìm sao cho (hoặc tìm ). *Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc hàm hằng) thì: (hoặc .) Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc hàm hằng) thì: (hoặc .) Bước 3: kết luận. *Kết luận nghiệm của bất phương trình trên. b) Bài tập vận dụng: Bài 1.Giải bất phương trình sau. (*) *Nhận xét. Bài toán trên có thể chuyển vế bình phương, tuy nhiên ta cần biến đổi nhiều lần và đưa về bất phương trình bậc cao dẫn đến khó khăn trong biến đổi. Nhìn nhận bài toán dưới góc độ đạo hàm ta có cách giải sau Giải . TXĐ: D = [2;4] Xét hàm số liên tục trên D f(x) là hàm đồng biến trên D, Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S =. Bài 2. Giải bất phương trình sau: (*) Giải . TXĐ: D = Đặt t = 0 . BPT trở thành (**) Xét hàm số BPT (**) ó hay Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiện của bất phương trình là S = Bài 3. Giải bất phương trình sau: Giải. TXĐ : D = Xét hàm số: liên tục trên D Ta có Do đó BPT f(x)6 ó f(x) f(1) . Kết hợp điều kiện vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =. Bài 4.Giải bất phương trình sau (*) Giải . TXĐ : D = . Xét hàm số Ta có Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =. Bài 5. Giải bất phương trình sau (*) Giải . TXĐ : D Xét hàm số Ta có: đồng biến trên . Mà nên . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =. Dạng 2:Bất phương trình được đưa về dạng: trong đó . a)Phương pháp: Bước 1:Biến đổi bất phương trình về dạng: . Bước 2: Xét hàm số trên D. *Tính và xét dấu y'. *Kết luận hàm số là hàm số đơn điệu trên D. *Nếu f(t) đơn điệu tăng thì: *Nếu f(x) đơn điệu giảm thì: Bước 3: Kết luận. *Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho. b)Bài tập vận dụng: Bài 1. Giải bất phương trình sau Giải. TXĐ : D = [1;3] (*) Xét hàm số liên tục Ta có hay hàm số đồng biến Mà bất phương trình(*) Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là S =(2;3] Bài 2. Giải bất phương trình sau (*) Giải. TXĐ: D = R , BPT (*) (**) f(t) là hàm đồng biến trên. Khi đó : (**) Vậy bất phương trình nghiệm đúng x. Bài 3.Giải bất phương trình Giải. TXĐ : D = R{0} Bất phương trình ó Xét hàm số ,liên tục trên R, ta có Nên hàm số f(t) đồng biến trên R, mà bpt Hay Vậy tập nghiệm của bpt là S = (0;2]. Bài 4.Giải bất phương trình (*) Giải. TXĐ: D = Bpt(*) (**) Xét hàm số: f(t) = 3t+1 +t2 , liên tục với ta có: f'(t)= nên f(t) đồng biến bpt (**) x 1 hoặc x 3. Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là: S ={1}. Bài 5.Giải bất phương trình Giải. TXĐ : D = Bpt Xét hàm số liên tục Ta có Hàm số f(t) đồng biến , bpt Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2.2.4. Một số bài tập đề nghị Bài 1. Giải các phương trình sau 1) = x 2) 2log3(tanx) = log2(sinx) 3) 4) 5)2x = + 1 6) 7) 8) Bài 2. Giải các bất phương trình sau. 1) 2) 3) 4) 5) 6) Phần 3 : KẾT LUẬN Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng giải phương trình và bất phương trình. Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ khác nhau để các đối tượng học sinh tiếp cận một cách thuận lợi nhất. Sau khi đưa chuyên đề trên vào thực tế giảng dạy trong lớp tôi thu được kết quả trong 2 lần kiểm tra đánh giá như sau. Thời gian kiểm tra Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Trước khi áp dụng chuyên đề 46 8 (17,4%) 17 (37%) 16 (34,8%) 5 (10,8%) Sau khi áp dụng chuyên đề 46 13 (28,3%) 19 (41,3%) 12 (26,1%) 2 (4,3%) Bên cạnh ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình thì đạo hàm còn có rất nhiều ứng dụng khác trong giải toán như bài toán hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm max,min và bài toán có tham số. Chính vì vậy ta có thể mở rộng thêm chuyên đề ứng dụng đạo hàm. Để việc sử dụng "Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình" có hiệu quả. - Giáo viên phải hướng các em xoáy sâu vào trọng tâm của bài học tùy vào từng bài, từng nội dung mà áp dụng những phương pháp giải một cách phù hợp. - Cần phải chú ý đến từng đối tượng học sinh, nên để học sinh tìm tòi, khám phá - Giáo viên cần chủ động khuyến khích các em làm những bài toán áp dụng từ dể đến khó. - Cho học sinh tự suy nghĩ đưa ra các bài tập giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đạo hàm qua đó giúp học sinh có hứng thú trong việc tìm ra bài toán. Tuy vậy do nhiều nguyên nhân khác nhau, khách quan và chủ quan nên đề tài không tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp và hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm để tôi hoàn thiện hơn nữa nội dung góp phần tích cực vào giáo dục kiến thức cho học sinh. Cuối cùng tôi xin cảm các bạn đồng nghiệp đã đọc , góp ý để tôi hoàn thiện chuyên đề này. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO. 1. Sách giáo khoa: Đại số và giải tích 10- 11-12. 2. Các chuyên đề hàm số - Lê Hồng Đức 3. Bài giảng trong tâm ôn luyện môn toán - Trần Phương. 4. Phương pháp giải toán đại số - Lê Hồng Đức-Lê Hữu Trí- Lê Bích Ngọc 5. Đề thi học sinh giỏi của một số tỉnh. 6. Một số tư liệu trên mạng. MỤC LỤC Trang Phần 1. Đặt vấn đề 5 Phần 2. Nội dung 6 2.1. Cơ sở lý luận 6 2.2.Thực hiện các giải pháp của đề tài 7 2.2.1.Cơ sở lý thuyết 8 2.2.2.2Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình 10 2.2.3. Ứng dụng đạo hàm để giải bất phương trình 26 Phần 3. Kết luận 32 ------