Top 5 # Cách Giải Bài Toán Giới Hạn Dãy Số Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 1/2023 # Top Trend | Maiphuongus.net

Bài Tập Giới Hạn Dãy Số

Bài tập giới hạn dãy số – có lời giải chi tiết. Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp: + Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số + Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp:

+ Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

+ Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng cóthể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này.

Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉta rút ra nhận xét như sau.

+ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng + – vô cùng

+ Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu

Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau:

+ Nếu bậc của tử béhơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.

Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn cóthể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác.

Thật vậy, sử dụng nhận xét đóta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau:

Phương Pháp Tính Giới Hạn Dãy Số

Published on

3. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133Vì (un ) coù giôùi haïn laø 0 neân un coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø soá haïngnaøo ñoù trôû ñi.Maët khaùc, vn un un . Do ñoù, vn cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keåtöø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (un ) coù theå nhoe hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soáhaïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (v n ) cuõng coù giôùi haïn laø 0.(Chöùng minh töông töï, ta coù chieàu ngöôïc laïi cuõng ñuùng). nBài 6. Vì sao dãy (un ) với un 1 không thể có giới hạn là 0 khi n ?Hướng dẫn:Vì un ( 1)n 1, neân un khoâng theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïngnaøo ñoù trôû ñi. Chaúng haïn, un khoâng theå nhoû hôn 0,5 vôùi moïi chúng tôi ñoù, daõy soá (u n ) khoâng theå coù giôùi haïn laø 0.Bài 7. Cho biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, còn dãy (vn) không có giới hạn hữuhạn. Dãy un vn có thể có giới hạn hữu hạn không?Hướng dẫn: Xem nội dung lời giải bài 3.Bài 8. a) Cho hai dãy (un) và (vn). Biết lim un vaø vn un vôùi moïi n. Coù keát luaän gì veà giôùi haïn cuûa daõy (vn ) khi n + ? n b) Tìm lim vn vôùi vn n! n 1Bài 9. Biết un 2 . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (un)? 3nBài 10. Dùng định nghĩa giới hạn cảu dãy số. Chứng minh: 3n 2 n2 2a) lim 3 b) lim n n 1 n n 1 sin nc) lim 0 d ) lim 3 1 n3 n n nTrần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 3

4. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Phương pháp 2: Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. 1. Các giới hạn đặc biệt: C C lim 0; lim 0; lim C C; lim n n n n n n n C lim n k , k N * ; lim 0; k N* n n nk lim q n 0, q 1 ; lim q n , q 1 n n A A lim 0 lim vn ; lim lim vn 0 n vn n n vn n 2. Định lý về giới hạn hữu hạn: Giaû söû lim un a vaø lim vn b. Khi ñoù: n n 1. lim un vn a b n 2. lim un .vn a.b n un a 3. lim ,b 0 n vn b 4. lim un a (vôùi un 0 vôùi moïi n N* ) n 3. Định lý về giới hạn un 1.Neáu lim un a vaø lim vn thì lim 0 n n n vn un 2.Neáu lim un a 0, lim vn 0 vaø vn 0, n * thì lim n n n vn 3.Neáu lim un vaø lim vn a 0 thì lim un vn n n n Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất. Nếu biểu thức chứa căn thức ( dạng A B ; 3 A 3 B ) cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.BÀI TẬP MẪU: 3n3 5n2 1Bài 1. Tính lim . n 2n3 6n 2 4n 5 Giải:Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 4

5. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 5 1 3 3n3 5n 2 1 n n3 3lim 3 limn 2n 6n2 4n 5 n 6 4 5 2 2 n n2 n3 2n2 1 5nBài 2. Tính lim . n 1 3n2 Giải: 1 1 5 2 2n 1 5n 2 n n2 n 0lim lim 0n 1 3n2 n 1 3 3 n2Bài 3. Tính lim n2 7 n2 5 n Giải n 2 7 n2 5 2lim n2 7 n2 5 lim lim 0n n n 2 7 n 2 5 n n 2 7 n 2 5Bài 4. Tính lim n 2 3n n2 n Giải: 3n 3 3lim n2 3n n2 lim limn n n 2 3n n 2 n 3 2 1 1 nBÀI TẬP ÁP DỤNG:Bài 1. Tính các giới hạn sau: 4n2 n 1 n2 n 1 2a) lim b) lim c) lim n 2 n 3 2n2 n 2n3 5 n n 1 a0 n m a1n m 1 … am 1n amToång quaùt: Tính giôùi haïn: lim n b0 n p b1n p 1 … bp 1n bpTính giôùi haïn sau: 3 2 2n 4 n2 1 2 3n n 1d) lim e) lim n 2n 1 3 n n2 2 n 1 4n5Đáp số: 27a) 2 b) 0 c) d) 1 e) 4Bài 1.1 Tính: lim n2 n n 1 n 1 1Giải: Tính: lim n2 n n 1 lim ( n) 1 n n n n2Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 5

6. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133Bài 2. Tính các giới hạn: 2n 4 n 2 7 3n2 1 n2 1 3n2 14 na) lim b) lim c) lim n 2n 2 n 3 n n n 1 2n 2 3 2n3 nd ) lim n n 2Đáp số: 2a) b) 3 1 c) 0 d) 3 2 2Bài 3. Tình giới hạn sau: 3n 1 2n 1 3n 2 4.3n 7n 1a) lim n b) lim c) lim n 3 2n n 1 2n n 2.5n 7n n 2 3n 5n 1d ) lim e) lim n 2 n 1 3n 1 n 5n 1Đáp số: 1a) 3 b) c) 7 d) e)1 3Bài 4. Tính các giới hạn sau: 3a) lim n 1 n b) lim n 2 3n n 2 c) lim n3 2n 2 n n n n 4n2 1 2n 1d ) lim n 2 n n e) lim f ) lim n n2 1 n2 2 n n n2 2n n n 3 1g) lim n n3 n 2 h) lim n n n2 2 n2 4Đáp số: 7 2 1 3a) 0 b) c) d) e)1 f) g)3 h) 2 3 2 2Bài 5.Tính các giới hạn sau: n 1 2 3 … n 1 2 3 … na) lim b) lim n n2 n 1 n n2 1 1 1 1 1 a a2 … a nc) lim … d ) lim vôùi a 1, b 1 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1 b b2 … b n n 1 3 … 2n 1e) lim n 2n2 n 1 1 1 1 1f ) lim … n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 6

7. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2 2 2g) lim 1 1 … 1 n 2.3 3.4 n 1 n 2 1 1 1 1h) lim … n 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2.12 3.22 … n 1 n2i) lim n n4 1 1 1k ) lim … n 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1 1 3 5 2n 1l* ) lim … n 2 2 2 2 3 2nHướng dẫn và đáp số: 1 n n n n 1 2 3 … n 2 n n2 n 1a) lim lim lim n n2 n 1 n n 2 n 1 n n2 n 1 2 2 1b) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1c) Ta coù: 1 ; ; ;…; 1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 n(n 1) n n 1 1 1 1 1 1Suy ra: lim … lim 1 1 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n n 1 1 1 bd) S lim 1 a n 1 1 a 1 b 1 2n 1 n n n 1 3 … 2n 1 2 1e) S lim lim n 2n 2 n 1 n 2n 2 n 1 2 1 1 1 1 Söû duïng: k k 1 k 2 2 k k 1 k 1 k 2 1 1 1 1 1 1f) Vaäy: … 1.2.3 2.3.4 n. n 1 n 2 2 2 n 1 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Vaäy lim … lim n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2 n 2 2 n 1 n 2 4 2 k 1 k 2g) Ta thaáy: 1 k k 1 k k 1Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 7

8. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2 2 2 2Vaäy: 1 1 … 1 … 1 2.3 3.4 k. k 1 n. n 1 1.4 2.5 k 1 k 2 n 1 n 2 1 n 3 . … … 2.3 3.4 k k 1 n n 1 3 n 1 2 2 2 1Vaäy lim 1 1 … 1 n 2.3 3.4 n 1 n 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1h) Sn … 1 … 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 1 neân lim Sn 2 2n 1 n 2i) Ta coù: Sn 2.12 3.22 … n 1 n2 1 1 12 2 1 2 2 … n 1 n2 2 n n 1 n n 1 2n 1Sn 13 23 … n3 12 22 …. n2 2 6 2 Sn n2 n 1 n n 1 2n 1 1lim limn n 4 n 4n 4 6n 4 4 1 n 1 n n n 1 1 1k ) Ta coù: 2 n 1 n n n 1 n 1 n n2 n 1 n n 1 1 1 1Sn … 2 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 lim Sn 1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 3 5 2n 1l) Ta coù: Sn … 2 2 2 23 2n 1 1 3 1 5 3 2n 1 2n 3 2n 1Sn S … 2 n 2 22 22 23 23 2n 2n 2n 1 1 1 1 1 1 1 2n 1 1 2n 1 2n 1 1 1 1 2 2n 1 … n 1 2 2 22 2 2n 1 2 1 2n 1 2 2n 2 2n 1 1 2 1 1 1 2n 1 1 2n 1Suy ra: S 1 n2 Sn 3 n 3 2 n 2 2 2 n 1 2 2n 2n n n 2 2 nMaët khaùc: . Maø lim 0 lim n 0 2n 1 1 n n 1 n n 1 n 2Vaäy lim Sn 3 nTrần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 8

9. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Phương pháp 3. Dùng nguyên lí kẹp. Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn). Nếu un vn wn vôùi moïi n Và lim un lim wn L (L ) thì lim vn LBÀI TẬP MẪU: 1 2 nTính lim …. . n n 2 1 n 2 2 n 2 nGiải:Ta thấy: 1 2 n 1 2 … n 1 …. 2 n 1 n 2 2 2 n n n2 n 2 1 2 n 1 2 n n n 1Vaø …. … n2 1 n2 2 n2 n n2 1 n2 1 n2 1 2 n2 1 1 1 2 n n n 1Vaäy …. 2 n2 1 n2 2 n2 n 2 n2 1 n n 1 1 Maø lim n 2 n2 1 2 1 2 n 1Vaäy lim …. n n2 1 n2 2 n2 n 2BÀI TẬP ÁP DỤNG:Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau: n 1 1 3sin n 4cosn n sin na) lim b) lim c) lim n 2 3n n n+1 n 3n+4 n sin 2n cos2n 1 3n 2d ) lim e) lim n 3n+1 n cosn+5n 2 1 1 1f ) lim … n n 2 1 n 2 2 n2 nĐáp số: 1 3a) 0 b) 0 c) d )0 e) f )1 3 5Bài 2. Cho 2 dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu lim vn 0 vaø u vn với mọi nthì lim un 0Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 9

10. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133Hướng dẫn:lim vn 0 vn coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoùtrôû ñi. (1)Vì un vn vaø vn vn vôùi moïi n, neân un vn vôùi moïi n (2)Töø (1) vaø (2) suy ra un cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïngnaøo ñoù trôû ñi, nghóa laø lim un 0 Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau: 1 ( 1)n 2 n( 1)na) un b) un c) un n! 2n 1 2n 2 11d ) un (0,99)n cos n e) un 5n cos nĐáp số:a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) DẠNG 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn: Phương pháp: 1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ: Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn. Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. 2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M. 3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau: * Phương pháp 1: Đặt lim un a n Từ lim un 1 lim f (un ) ta được một phương trình theo ẩn a. n n Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm. Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. Phương pháp 2: Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán./ Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học. Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó.Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 10

11. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133BÀI TẬP MẪU: u1 2Bài 1. Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi . un 1 2 un vôùi n 1Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó. Giải:Ta có: u1 2 vaø un 1 2 un , un 0 vôùi n N Ta chứng minh : un 2 vôùi n N (1) Vôùi n=1, ta coù u1 2 2 thì (1) ñuùng Giaû söû baát baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi n=k thì uk 2. Vaäy un 2, n N Chứng minh dãy (un) tăng: Xeùt un 1 un 2 un un un un 2 0 2 1 un 2 Maø 0 un 2 neân un 1 un . Vaäy (u n ) laø daõy taêng (2) Töø (1) vaø (2) suy ra (un ) coù giôùi haïn. Đặt lim un a thì 0 a 2 n un 1 2 un lim un 1 lim 2 un n n a 2 a a2 a 2 0 a 1hoaëc a=2 Ta có: Vì un 0 neân lim un a 0.Vaäy lim un =2 n n Löu y: Trong lôøi giaûi treân, ta ñaõ aùp duïng tính chaát sau: ù ” Neáu lim un a thì lim un 1 a ” n n u1 2Bài 2. Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi 1. un 1 2 unChứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải:Ta có : 1 2 3 4 nu1 ; u2 ; u3 ; u4 .Töø ñoù ta döï ñoaùn: un (1) 2 3 4 5 n 1Chöùng minh döï ñoaùn treân baèng quy naïp: 1 1 Vôùi n=1, ta coù: u1 (ñuùng) 1 1 2 k Giaû söû ñaúng thöùc (1) ñuùng vôùi n=k (k 1), nghóa laø uk . k 1Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 11

12. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1 1 k 1Khi ñoù ta coù uk ,nghóa laø ñaúng thöùc (1) 1 2 uk k k 2 2 k 1cuõng ñuùng vôùi n=k+1. n Vaäy un , n * . n 1 nTöø ñoù ta coù lim u n lim 1 n 1BÀI TẬP ÁP DỤNG:Bài 1. Chứng minh dãy (un) với un 2 2 … 2 2 là dãy hội tụ. n daáu caênPhương pháp: Xét dãy (un) tăng (hoặc giảm), xét (un) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới)Chú ý: Để tìm giới hạn của dãy cho bởi công thức truy hồi ta dùng các phương pháp. 1. Tìm công thức tổng quát ( dựa vào phương pháp đã được nêu ở phần kiến thức dãy số). Tính giới hạn un. 2. Tìm lim un 1 lim f un . Giải phương trình tìm lim un a Tìm giới hạn. n n n u1 0Bài 2. Cho dãy truy hồi un 1 3 . Tìm giới hạn của dãy. un (n 2) 4Hướng dẫn và đáp số:u1 0 1 3 1u2 1 4 4 2 15 1u2 1 16 4… n 1 1un 1 4 n 1 1baèng phöông phaùp quy naïp chöùng minh un 1 4 n 1 1Vaäy lim 1 1 n 4Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 12

13. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 u1 2Bài 3. Cho dãy truy hồi un 1 1 . Chứng minh dãy (un) có giới hạn, tìm giới un (n 2) 2hạn đó.Hướng dẫn và đáp số:Cách 1: 2n 1 1Döï ñoaùn un 2n 1 2n 1 1lim un lim n 1n n 2 1Cách 2: Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới. lim un a, tìm a n a 1 Giả sử lim un lim un 1 a a 1 n n 2 lim un 1 nBài 4. u1 2 a) Cho dãy truy hồi un 1 . Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm un 1 (n 1) 2 giới hạn đó. 0 un 1 b) Cho dãy (un) xác định bởi: 1 . Chứng minh dãy (un) un 1 1 un (n 1) 4 có giới hạn và tìm giới hạn đó.Hướng dẫn và đáp số:b) * Chöùng minh (u n ) laø daõy taêng vaø bò chaën treânTa coù: 0 un 1, n NAÙp duïng baát ñaúng thöùc coái: 1un 1 1 un 2 un 1 1 un 2 1 un 1 un , n N * 4Vaäy (un ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân thì (un ) thì daõy coù giôùi haïn* Ñaët lim un a, a 0 n 2 1 1 1 1 1Ta coù: un 1 1 un lim un 1 1 un a 1 a a 0 a 4 n 4 4 2 2 1Vaäy lim un n 2Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 13

14. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1 2Bài 5. Cho dãy (un) xác định bởi un 1 u vaø u1 0 2 n un a) Chứng minh rằng un 2 vôùi moïi n 2 b) Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.Hướng dẫn và đáp số: 1 2a) Ta coù: u1 0, un 1 u un 0, n N * 2 n unAÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si: 1 2 2un 1 u un . 2 , n 1, n 2 n un unSuy ra un 2, n 2, n Nb) Ta coù: u n 2, n 2, n N neân un laø daõy bò chaën döôùi 1 2 1 u2Xeùt un 1 un u un 1 n 0, n 2, n N neân un 1 un , n N * 2 n un un 2* Ñaët lim un a, a chúng tôi coù: n 1 2 1 2 1 2 a 2un 1 u lim un 1 lim u a a a2 2 2 n un n n 2 n un 2 a a 2Vaäy lim un 2 nBài 6. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un cos n. n * . Chứng minhdãy không có giới hạn.Hướng dẫn:Giaû söû lim un lim cos n a lim cos n 2 a lim cos n 2 cos n 0 n n n n 2 lim sin n 1 sin1 0 lim sin n 1 0 lim sin n 0 n n nmaët khaùc: sin n 1 sin ncos1 cos n sin1,Suy ra lim cos n 0 nSuy ra : lim cos2 n sin 2 n 0, voâ lyù nVaäy daõy soá (un ) vôùi un cos n khoâng coù giôùi haïn.Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ: 1 1 1a) n 1 … 2 ; n N 2 3 2 2 n 1 1 1b) n 1 2 … n ; n N 2 3 3 nHướng dẫn:a) Ta thấyTrần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 14

16. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1134Đáp số: 33Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 1 2 1 1 1a) S 1 … n 1 … b) S … 4 16 4 2 1 2 2 2Hướng dẫn : 1 4 2 2a) q ;S b) q ;S 4 3 2 4 3 2Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội n 1 2 2 4 2q . Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ;… 3 3 9 3 1Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6. Tính hai số hạng đầu u1 u2 4 2Hướng dẫn: u1 S 6 u1 6 1 q 1 q 1 1 q 1 u1 1 q 4 2 u1 u1q 4 2 2 n 13Bài 5. Giải phương trình sau: 2 x 1 x 2 x3 x4 x 5 … 1 x n … với 6x 1 nHướng dẫn: Dãy số x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,…, 1 x n … là một cấp số nhân với công bội 1 7q x . ĐS: x ;x 2 9Bài 6. 2 3 n 1 a) Tính tổng S 1 0,9 0,9 0,9 …. 0,9 … b) Cho 0 . Tính tổng S 1 tan tan 2 … tan3 4 c) Viết số thập phân vô hạn tiần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ a = 0,272727…… b = 0,999999999……….. d) Cho dãy bn sin sin 2 sin 3 … sin n với k . Tìm giới hạn 2 dãy bn.Hướng dẫn: 1 a) S 10 1 0,9 1 b) S 1 tan c)Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 16

17. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2 7 2 7 a 0 … 10 102 103 10 4 2 2 2 7 7 … … …. 10 10 3 10 2n 1 102 10 4 1 1 3 2 10 7 10 1 1 11 1 1 10 2 10 2 9 1 b . 1 10 1 1 10 sin d) lim bn 1 sin n soá haïng a aa … aaa…aBài 9. Tính lim n 10 nHướng dẫn:Ta có: n soá haïng n soá haïng 10 1 100 1 10 n 1a aa … aaa..a a 1 11 … 111..1 a … 9 9 9 10 10 n 1 9n a 81 n soá haïng a aa … aaa..a 10a 10 n 1 9n 10aVaäy lim n 10n 81 10n 81Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 17

Cách Giải Bài Toán Giới Hạn

Cách Giải Bài Toán Giới Hạn, Cách Học Toán Giỏi, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tt, Toán Đại 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Toán Học Sinh Giỏi Lớp 2, Cách Giải Bài Toán Lãi Kép, Cách Giải Bài Toán Lớp 2, Cách Giải Bài Toán Lớp 3, Cách Giải Bài Toán Hàm Hợp, Cách Giải Bài Toán Khó, Cách Giải Bài Toán X, Cách Giải Bài Toán, Cách Giải Bài Toán Lớp 4, Cách Giải Bài Toán Về Ankan, Cách Giải Bài Toán Quỹ Tích, Cách Giải Bài Toán Hiệu Tỉ, Cách Giải Bài Toán Ma Trận, Cách Giải Bài Toán Trên Google, Cách Giải Bài Toán Phần Trăm, Cách Giải Bài Toán Tổng Hiệu, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 5 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 5 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình 9, Bài 6+7 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Bài Giảng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Khái Niệm “khổ Giới Hạn Của Đường Bộ”Để Xe Và Hàng Hóa Trên Xe Đi Lại An Toàn Bao Gồm Những Giới Hạn, Khái Niệm Khổ Giới Hạn Của Đường Bộ Để Xe Và Hàng Hóa Trên Xe Đi Lại An Toàn Bao Gồm Những Giới Hạn, Sứ Mệnh Lịch Sử Của Giai Cấp Công Nhân Việt Nam Giai Đoạn Cuộc Cách Mạng 4.0, Cách Ra Đề Thi Học Sinh Giỏi, Quy Cách Mốc Ranh Giới, Cách Viết Giới Thiệu Bản Thân, Quy Cách Mốc Địa Giới Hành Chính Cấp Xã, Chủ Nghĩa Mác Lênin Với Cách Mạng Thế Giới, Cách Viết Giấy Giới Thiệu, Cách Thưc Viết Bài Thuyết Trình Dư Thi Bí Thu Chi Bộ Giỏi, Tư Tưởng Hồ Chí Minh Có ý Nghĩa Như Thế Nào Đối Với Sự Nghiệp Cách Mạng Thế Giới, Luận án Cách Mạng Công Nghiệp 4.0 Trên Thế Giới, Học Tập Và Làm Theo Tấm Gương Đạo Đức Phong Cách Hồ Chí Minh Là Nhiệm Vụ Của Toàn Đảng Toàn Dân, Giải Bài Tập Giới Hạn Của Dãy Số, Giải Bài Tập Giới Hạn Hàm Số, Giải Bài Tập Dãy Số Có Giới Hạn 0, Giải Bài Tập Dãy Số Có Giới Hạn Vô Cực, Bài Giải Giới Hạn Hàm Số, Giải Bài Tập Giới Hạn Dãy Số, Bài Giải Cứu Thế Giới, Giải Bài Tập Giới Hạn, Giải Bài Tập Giới Hạn Của Hàm Số, Giải Bài Tập Giới Hạn Của Dãy Số Sgk, Giới Thiệu Và Hướng Dẫn Chỉ Dẫn Tham Khảo Theo Phong Cách Harvard, Lời Giải Đề Thi Học Sinh Giỏi Hóa Học Lớp 8, Hãy Lắng Nghe Cuộc Cách Mạng Thông Tin Đã Bao Phủ Thế Giới Bằng Những Thiết Bị, Cách Giải Bài Vật Lý Lớp 6, Cách Giải Bài Tập Tia X, Cach Xem Sao Giai Han, Lười Giải Phiếu Bài Tập Toán Cuối Tuần Toán 4tuân 16, Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16, Đề Thi Hs Giỏi Toán 6, Làm Thế Nào Để Học Giỏi Môn Toán Lớp 10, Cách Giải Bài Tập Hối Phiếu, Cách Làm Báo Cáo Giải Trình, Giải Bài Tập Khoảng Cách Lớp 11, Giai Bai 3 Trang 19 2 Cach, 7 Cách Đơn Giản Giải Độc Cơ Thể, Cách Giải Bài Tập Tỷ Giá Hối Đoái, Khái Niệm Nào Sau Đây Không Thể Lý Giải Bằng Đường Giới Hạn Khả Năng Sản , Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 6, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8 Tập 1, Phương Pháp Giải Toán Qua Các Bài Toán Olympic, Đề Thi Học Sinh Giỏi 9 Toán, Bí Quyết Học Giỏi Toán, Đề ôn Thi Học Sinh Giỏi Toán Lớp 6, Bộ Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 7 Môn Toán, Bộ Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 8, Các Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán ở Mỹ,

Cách Giải Bài Toán Giới Hạn, Cách Học Toán Giỏi, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tt, Toán Đại 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Toán Học Sinh Giỏi Lớp 2, Cách Giải Bài Toán Lãi Kép, Cách Giải Bài Toán Lớp 2, Cách Giải Bài Toán Lớp 3, Cách Giải Bài Toán Hàm Hợp, Cách Giải Bài Toán Khó, Cách Giải Bài Toán X, Cách Giải Bài Toán, Cách Giải Bài Toán Lớp 4, Cách Giải Bài Toán Về Ankan, Cách Giải Bài Toán Quỹ Tích, Cách Giải Bài Toán Hiệu Tỉ, Cách Giải Bài Toán Ma Trận, Cách Giải Bài Toán Trên Google, Cách Giải Bài Toán Phần Trăm, Cách Giải Bài Toán Tổng Hiệu, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 5 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 5 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình 9, Bài 6+7 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Bài Giảng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet,

Giải 30 Bài Toán Dãy Số Hay Gặp

Published on

2. b) Nhân 2 vế với 3, trong đó từ số hạng thứ 2 thay vì nhân 3 ta nhân (4-1)=3 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+…+99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+…+99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: Dãy số b) với số cuối cùng là n thì: ØBài 3: Tính giá trị của A, biết: A = 1.3+2.4+3.5+…+99.101 Hướng dẫn: thay thừa số 3, 4, 5, 6…..101 bắng (2+1), (3+1), (4+1)…..(100 +1) Ta có A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+…+99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+…+99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+…+99.100)+(1+2+3+…+99) A = 333300 + 4950 = 338250 Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1] Tổng quát: A = 0.1 + 1.3+2.4+3.5+…+(n-1)(n+1) Lưu ý số hạng đầu =0 với n=1 A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 ØBài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+…+99.102 = ? Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6…..102 bắng (2+2), (3+2), (4+2)…..(100 +2) ta có : A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+…+99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+…+99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+…+99.100)+2(1+2+3+…+99) A = 333300 + 9900 = 343200 Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1] ØBài 5: Tính: A = 4+12+24+40+…+19404+19800 2 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ (n – 1) n = ⅓.n. (n – 1 ).(n + 1) [*2] A = 1.3+2.4+3.5+…+(n-1)(n+1) =n/6 [ (n-1) .(2n+1) ] [*3]

4. A = 1+2(1+1)+3(2+1)+…+99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+…+98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+…+99.100)+(1+2+3+…+99+100) A = 333300 + 5050 = 338050 Tổng quát: A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 Bài 11: Tính tổng các bình phương của 50 số chẵn đầu tiên ( 2,4,6,8…..98,100): A = 22 +42 +62 +…+982 +1002 = ? EHướng dẫn: Tách 22 làm thừa số chung rồi áp dụng công thức [*5] A = 22 .(12 +22 +32 +…+492 + 502 ) Bài 12: Tính tổng các bình phương của 50 số lẻ đầu tiên A = 12 +32 + 52 +…+972 +992 = ? EHướng dẫn: Lấy tổng các bình phương của 100 số tự nhiên đầu tiên trừ tổng các bình phương của 50 số chẵn đầu tiên A = (12 +22 +32 +…+992 +1002 ) – 22 .(12 +22 +32 +…+492 + 502 ) Bài 13: Tính: A = 12 – 2 2 +32 – 42 +…+ 992 – 1002 EHướng dẫn: Lấy tổng các bình phương của 100 số tự nhiên đầu tiên trừ 2 lân tổng các bình phương của 100 số chẵn đầu tiên A = (12 +22 +32 +…+992 +1002 ) – 2.(12 +22 +32 +…+992 + 1002 ) Bài 14:Tính: A = 1.22 +2.32 +3.42 +…+98.992 = ? EHướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+…+98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+…+98.99.100-98.99 4 A = 12 +22 +32 +…+992 +1002 = n(n+1)(2n+1):6 [*5]

5. A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+…+98.99) ØBài 15:Tính: A = 1.3+3.5+5.7+…+97.99+99.101 =? EHướng dẫn: Đổi thừa thừa sô thứ 2 của các số hạng thành tổng (1+2), (3+2); (5+2)………99 +2) A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+…+97(97+2)+99(99+2) A = (12 +32 +52 +…+972 +992 )+2(1+3+5+…+97+99) ØBài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+…+98.100+100.102 EHướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+…+98(98+2)+100(100+2) A = (22 +42 +62 +…+ 982 +1002 )+4(1+2+3+…+49+50) ØBài 17: Tính: A = 13 +23 +33 +…+993 +1003 EHướng dẫn: A = 12 (1+0)+22 (1+1)+32 (2+1)+…+992 (98+1)+1002 (99+1) A = (1.22 +2.32 +3.42 +…+98.992 +99.1002 )+(12 +22 +32 +…+992 +1002 ) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+…+98.99(100-1)] +(12 +22 +32 +…+992 +1002 ) A = (1.2.3 – 1.2+2.3.4 – 2.3+3.4.5 – 3.4+…+98.99.100 – 98 .99) + (12 + 22 + 32 +…+992 +1002 ) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+98.99.100) – (1.2+2.3+3.4+…+98.99) (12 +22 +32 +…+992 +1002 ) ØBài 18:Tính: A = 23 +43 +63 +…+983 +1003 EHướng dẫn: ØBài 19:Tính: A = 13 +33 +53 +…+973 +993 EHướng dẫn: Lấy dãy số của bài 17 trừ dãy của bài 18 ØBài 20: Tính: A = 13 -23 +33 -43 +…+993 -1003 Hướng dẫn: ØBài 21 : Tính tổng: 5