Top 3 # Cách Giải Bài Tập Về Giới Hạn Hàm Số Xem Nhiều Nhất, Mới Nhất 3/2023 # Top Trend

Gv: Khái quát các trường hợp của giới hạn hàm số tại một điểm : Bài toán:Tính TH1: Nếu xác định tại thì (Chỉ cần thếvào hàm số )TH2: Nếu thế vào mà được các dạng vô định ( nghĩa là không xác định tại ):1.Dạng : dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân liên hợp( nếu có chứa căn thức)2.Dạng (với thường gặp trong giới hạn một bên) : ta làm theo cách tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của , dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả.Gv: yêu cầu học sinh lên bảng giải bài tập, các em còn lại giải bài tập ra nháp. Hướng dẫn giải bài tập: a) ta thấy hàm số xác định tại nên ta thay vào phương trình b) ta thấy nếu thay vào hàm số thì ta có cả tử và mẫu đều là bằng không (ta có dạng vô định ) và cả tử và mẫu đều là tam thức bậc haita sẽ tách theo công thức với và là nghiệm của phương trình c) ta thấy hàm số ở dạng mà có căn dưới mẫu nên ta dùng cách nhân liên hợp d) ta có hàm số giới hạn một bên, ta làm theo cách tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của , dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả.Gv: gọi học sinh đứng lên nhận xétGv: chính xác hóa lời giải Hs: nghi nhận và ghi vào vở

Hs: lên bảng làm bài tập

Hs: nhận xét bài bạn

b)

vìnên Vậy

Hoạt động 2: Giới hạn hàm số tại vô cực Hướng dẫn HS giải bài toán : Tính : Dạng toán này thường áp dụng 2 phương pháp :1.Rút mũ cao nhất (thường áp dụng cho các dạng )2.Nhân liên hợp ( thường áp dụng cho dạng và có chứa căn thức)– Lưu ý các giới hạn đặc biệt để xét giới hạn trong bài tập.Gv:Yêu cầu HS nghiên cứu giải bài tập 2.Gv:Gọi HS lên bảng trình bày lời giải Gv:Gọi HS khác nhận xét bài làmGv: Nhận xét,sửa chữa lời giải của HS.Khái quát lại các giải của dạng giới hạn hàm số tại vô cựcxác hóa lời giải của học

Bài tập giới hạn dãy số – có lời giải chi tiết. Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp: + Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số + Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp:

+ Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

+ Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng cóthể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này.

Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉta rút ra nhận xét như sau.

+ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng + – vô cùng

+ Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu

Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau:

+ Nếu bậc của tử béhơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.

Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn cóthể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác.

Thật vậy, sử dụng nhận xét đóta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau:

Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại cách giải một số dạng bài tập về hàm số, đồ thị hàm số y=ax để các em hiểu rõ hơn và dễ dàng vận dụng giải các bài toán tương tự khi gặp. Nhưng trước tiên chúng ta cùng tóm tắt lại phần lý thuyết của hàm số, đồ thị hàm số:

I. Lý thuyết về hàm số, đồ thị hàm số

* Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.

* Lưu ý: Nếu x thay đổi mà y không thay đổi thì y được gọi là hàm số hằng (hàm hằng).

* Với mọi x 1; x 2 ∈ R và x 1<x 2 mà f(x 1)<f(x 2) thì hàm số y = f(x) được gọi làm hàm đồng biến.

* Tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn hệ thức y = f(x) thì được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).

* Đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm (1; a).

II. Các dạng bài tập về hàm số và đồ thị hàm số

– Kiểm tra điều kiện: Mỗi giá trị của x được tương ứng với 1 và chỉ 1 giá trị của y.

Ví dụ 1 (bài 24 trang 63 SGK Toán 7 tập 1): Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:

– Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không?

– Vì với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x.

* Ví dụ 2 (bài 27 trang 64 SGK Toán 7 tập 1): Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không, nếu bảng các giá trị tương ứng của chúng là

b)

a) Vì với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x;

b) Vì với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng, trong trường hợp này với mọi x thì y luôn nhận duy nhất một giá trị là 2 nên đây là một hàm hằng.

– Nếu hàm số cho bằng bảng thì cặp giá trị tương ứng của x và y nằm cùng 1 cột.

– Nếu hàm số cho bằng công thức, ta thay giá trị của biến đã cho vào công thức để tính giá trị tương ứng của hàm số

Cho hàm số y = 5x – 1. Lập bảng các giá trị tương ứng của y khi: x = -5; -4; -3; -2; 0; 1/5.

Khi x = -5 ⇒ y = 5.(-5) – 1 = -25 – 1 = -26

Khi x = -4 ⇒ y = 5.(-4) – 1 = -20 – 1 = -21

Khi x = -3 ⇒ y = 5.(-3) – 1 = -15 – 1 = -16

Khi x = -2 ⇒ y = 5.(-2) – 1 = -10 – 1 = -11

Khi x = 0 ⇒ y = 5.(0) – 1 = 0 – 1 = -1

Khi x = 1/5 ⇒ y = 5.(1/5) – 1 = 1 – 1 = 0.

– Như vậy ta có bảng giá trị tương ứng sau:

a) f(5) = ?; f(-3) = ?

b) Hãy điền các giá trị tương ứng của hàm số vào bảng sau:

– Tương tự, lần lượt thay các giá trị còn lại của x là: x = -4 ; -3 ; 2 ; 5 ; 6 ; 12 vào công thức hàm số: y = 12/x ta được các giá trị y tương ứng là:-3; -4; 6; 2,4; 2; 1 và ta có được bảng sau:

Cho hàm số y = f(x) = x 2 – 2. Hãy tính f(2) ; f(1) ; f(0) ; f(-1) ; f(-2)

– Ta có y= f(x) = x 2 – 2 nên:

a) f(-1) = 9

b) f(-1/2) = -3

c) f(3) = 25

– Ta có y = f(x) = 1 – 8x.

a) Vậy f(-1) = 1 – 8(-1) = 1 + 8 = 9 ⇒ khẳng định a) ĐÚNG.

b) f(1/2) = 1 – 8(1/2) = 1 – 4 = -3 ⇒ khẳng định b) ĐÚNG

c) f(3) = 1 – 8.3 = 1 – 24 = -23 ⇒ khẳng định c) SAI

– Như vậy ta được bảng sau:

– Muốn tìm tọa độ một điểm ta vẽ 2 đường thẳng vuông góc với hai trục tọa độ.

– Để tìm một điểm trên một đồ thị hàm số ta cho bất kì 1 giá trị của x rồi tính giá trị y tương ứng.

– Có thể tính diện tích trực tiếp hoặc tính gián tiếp qua hình chữ nhật.

– Chú ý: Một điểm thuộc Ox thì tung độ bằng 0, thuộc trục Oy thì hoành độ bằng 0.

a) Viết tọa độ các điểm M, N, P, Q trong hình dưới (hình 19 trang 67 sgk).

b) Em có nhận xét gì về tọa độ của các cặp điểm M và N, P và Q.

M(-3; 2) ; N(2; -3) ; P(0; -2) ; Q(-2; 0)

b) Nhận xét: Trong mỗi cặp điểm M và N ; P và Q hoành độ của điểm này bằng tung độ của điểm kia và ngược lại

– Dựa vào hệ trục tọa độ Oxy theo bài ra ta có:

A(0,5; 2) ; B(2; 2) ; C(2; 0) ; D(0,5; 0).

P(-3; 3) ; Q(-1; 1) ; R(-3; 1).

– Từ vị trí các điểm dựng được, ta thấy tứ giác ABCD là hình vuông.

* Ví dụ 1 (bài 41 trang 72 SGK Toán 7 Tập 1): Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số y = -3x.

A(-1/3; 1); B(-1/3; -1); C(0; 0).

– Theo bài ra, y = -3x, ta có:

– Với C(0; 0). ta được: 0 = (-3).0 nên C thuộc đồ thị hàm số đã cho.

– Ta thay tọa độ điểm đi qua vào đồ thị để tìm a.

* Ví dụ 1 (bài 42 trang 72 SGK Toán 7 Tập 1): Đường thẳng OA trong hình 26 là đồ thị của hàm số y = ax.

a) Hãy xác định hệ số a

b) Đánh dấu điểm trên đồ thị có hoành độ bằng 1/2

a) Ta có A(2; 1) thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ điểm A thỏa mãn hàm y = ax. Tức là 1 = a.2 ⇒ a =1/2.

– Cho f(x)=g(x) để tìm x rồi suy ra y và tìm được giao điểm

– Xét hoành độ giao điểm thỏa mãn: 2x = x + 2 ⇒ x = 2 thay giá trị x = 2 vào một trong hai hàm trên ⇒ y = 4.

– Vậy 2 đồ thị giao nhau tại điểm A(2; 4).

– Cách 1: Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta lập tỉ số x/y nếu chúng cùng có 1 hệ số tỉ lệ thì suy ra 3 điểm đó cùng thuộc một đồ thị, ngược lại thì 3 điểm không thẳng hàng.

– Cách 2: Viết đồ thị đi qua một điểm rồi thay tạo độ 2 điểm còn lại vào, nếu 2 điểm này đều thỏa đẳng thức thì 3 điểm thẳng hàng, nếu 1 điểm không thỏa thì 3 điểm không thẳng hàng.

– Cách 1: Để A, B, C thẳng hàng thì:

– Ta sử dụng kiến thức phần tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch để tính k rồi biểu diễn y theo x.

– Hai đường thẳng cắt nhau khi: a 1 ≠ a 2 ⇒ a+1 ≠ 2, hay a≠1.

– Vì b 1 = -2 ≠ b 2 = 0 nên hai đường thẳng không trùng nhau.

– Hai đường thẳng vuông góc khi a 1.a 2 = -1 ⇒ (a+1).2 = -1 ⇒ a = -3/2.

III. Một số bài tập luyện tập về hàm số, đồ thị hàm số

* Bài 1: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỷ lệ 1/4

a) Tìm x để f(x) = -5.

* Bài 2: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a =6.

a) Tìm x để f(x) = 1

b) Tìm x để f(x) = 2

c) Chứng tỏ rằng f(-x) = -f(x).

* Bài 3: Đồ thị hàm số y = ax đi qua điểm A (4; 2)

a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó.

b) Cho B (-2, -1); C ( 5; 3). Không cần biểu diễn B và C trên mặt phẳng tọa độ, hãy cho biết ba điểm A, B, C có thẳng hàng không?

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Các điểm A(-3; 1); B(6; 2); P(9; -3) điểm nào thuộc đồ thị

* Bài 5: Hàm số f(x) được cho bởi bảng sau:

a) Tính f(-4) và f(-2)

b) Hàm số f được cho bởi công thức nào?

a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số.

b) Gọi M là điểm có tọa độ là (3;3). Điểm M có thuộc (d) không? Vì sao?

c) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt Ox tại A và Oy tại B. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

* Bài 7: Hàm số y = ax được cho bởi bảng sau:

a) Tìm hệ số a của hàm số đã cho.

b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vì sao?

Các dạng bài tập giới hạn hàm số lớp 11 từ căn bản tới nâng cao

Các dạng bài tập giới hạn hàm số lớp 11 từ căn bản tới nâng cao

Giới hạn hàm số hay thường gọi là giới hạn của hàm số – Là kiến thức quan trọng của toán 11 thuộc bậc THPT. Để học tốt phần này bạn cần hiểu rõ lý thuyết, biết cách vận dụng linh hoạt các dạng vào giải bài tập.

1. Lý thuyết giới hạn hàm số

1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) {x0} mà lim xn = x0 ta đều có lim f (xn) = L Khi đó ta viết: $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L$ = L hoặc f (x) → L khi x → x0

Từ định nghĩa, ta có các kết quả:

$mathop {lim }limits_{x to {x_0}} c$ = c, với c là hằng số.

Nếu hàm số f (x) xác định tại điểm x0 thì $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = fleft( {{x_0}} right)$

Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là vô cực khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) {x0} mà lim xn = x0

ta đều có limf(xn)= ±∞

Khi đó ta viết: $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$  = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ khi x → x0

1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; +∞) mà lim xn = +∞

ta đều có lim f (xn) = L

1.3 Một số định lý về giới hạn hữu hạn

1.4 Giới hạn một bên

Đề tìm giới hạn bên phải hay giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta dựa vào lý thuyết quan trọng sau

1.5 Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực

1.6 Các dạng vô định

2. Phân dạng giới hạn hàm số

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn

Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3.

Bài tập 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{2}{{x – 1}}$

Lời giải

Dạng 2. Chứng minh rằng $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$ không tồn tại

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {cos x} right)$

Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với:

Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn

Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của những hàm số mà ta đã biết giới hạn.

Ta có kết quả sau:

Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể Giả sử cần tính giới hạn hàm số $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right)$ hoặc $mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right)$

ta thực hiện các bước sau:

Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $mathop {lim }limits_{x to 3} left( {{x^2} + x} right)$

Lời giải

$mathop {lim }limits_{x to 3} left( {{x^2} + x} right)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

Với hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị f(x)

Với hàm số $frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}$ có f(x0) ≠ 0 và g(x0) = 0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bằng ∞.

Trong trường hợp với hàm số $frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}$ có f(x0) = 0 (tức có dạng $frac{0}{0}$)

Chúng ta cần sử dụng các phép biến đổi đại số để khử dạng $frac{0}{0}$, và thông thường là làm xuất hiện nhân tử chung (x − x0)

Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số

Sử dụng các định lí với lưu ý sau:

Bài tập 4: Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau:

Lời giải

Nhận xét: Vậy, nếu hàm số f(x) không xác định tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không khác so với giới hạn tại x0

Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép

Bài tập 5. Cho hàm số

Tính $mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} fleft( x right)$ và $mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} fleft( x right)$

Lời giải

Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $frac{0}{0}$

Bản chất của việc khử dạng không xác định $frac{0}{0}$ là làm xuất hiện nhân tử chung để:

Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác định

Hoặc là biến đổi về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc đã biết kết quả hoặc biết cách giả

Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0

a) Đối với dạng 0.∞ và ∞0 ta chọn một trong hai cách sau

Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản

Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa với các bước

b) Đối với dạng 1∞ cần nhớ các giới hạn cơ bản sau $mathop {lim }limits_{x to 0} {left( {1 + x} right)^{frac{1}{x}}} = e$, $mathop {lim }limits_{x to infty } {left( {1 + frac{1}{x}} right)^x} = e$