Xem Nhiều 1/2023 #️ Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc Của Một Điểm Lên Một Mặt Phẳng # Top 5 Trend | Maiphuongus.net

Xem Nhiều 1/2023 # Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc Của Một Điểm Lên Một Mặt Phẳng # Top 5 Trend

Cập nhật thông tin chi tiết về Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc Của Một Điểm Lên Một Mặt Phẳng mới nhất trên website Maiphuongus.net. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.

Để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng (P) cho trước thì trong bài giảng này thầy sẽ chia sẻ với chúng ta 02 cách làm. Đó là cách làm theo kiểu tự luận và công thức trắc nghiệm nhanh. Tuy nhiên cách giải tự luận sẽ giúp chúng ta hiểu rõ bản chất, còn công thức giải nhanh thì có thể quên bất cứ khi nào.

Bài toán:

Cho mặt phẳng (P): $Ax+By+Cz+D=0$ và một điểm $M(x_0;y_0;z_0)$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Đường thẳng d có phương trình là: $left{begin{array}{ll}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ctend{array}right.$

Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là H. Ta sẽ có H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Tọa độ điểm H chính là nghiệm của hệ phương trình:

$left{begin{array}{ll}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ct\Ax+By+Cz+D=0end{array}right.$

Ví dụ 1: Cho điểm $M(1;2;3)$ và mặt phẳng (P) có phương trình là: $2x+3y-z+9=0$. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P).

Hướng dẫn:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $vec{n}(2;3;-1)$

Gọi d là đường thẳng di qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đo đường thẳng d sẽ nhận $vec{n}(2;3;-1)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $left{begin{array}{ll}x=1+2t\y=2+3t\z=3-t end{array}right.$

Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó điểm H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P). Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình sau:

$left{begin{array}{ll}x=1+2t\y=2+3t\z=3-t\2x+3y-z+9=0 end{array}right.$

Vậy tọa độ điểm H là: $H(-1;-1;4)$

Phương pháp 2: Áp dụng công thức tính nhanh tọa độ hình chiếu của điểm

Công thức tính nhanh tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Ak\y_H=y_0+Bk\z_H=z_0+Ckend{array}right.$

Với $k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

Tại sao có công thức này thì thầy có thể giải thích như sau:

Theo cách làm ở phương pháp 1 thì tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

$left{begin{array}{ll}x=x_0+Ak\y=y_0+Bk\z=z_0+Ck\Ax+By+Cz+D=0end{array}right. kin R$

Thay 3 phương trình đầu tiên trong hệ vào phương trình thứ 4 ta sẽ có:

$A(x_0+Ak)+B(y_0+Bk)+C(z_0+Ck)+D=0$

$k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

Với k được xác định như vậy đó.

Mặt phẳng (P): $2x+3y-z+9=0$ có $A=2; B=3; C=-1$

Tọa độ điểm $M(1;2;3)$

$k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$

Tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Ak\y_H=y_0+Bk\z_H=z_0+Ckend{array}right.$

Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là $H(-1;-1;4)$

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng

Hình 1. Hình chiếu của đường lên mặt

Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.

Để tìm hình chiếu $Delta$ của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ ta tiến hành các bước sau

Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha  right)$ chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( P right)$ là ${vec n_P}$ và ${vec u_d}.$

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $Delta  = left( alpha  right) cap left( P right).$

 

Ví dụ.

Cho $left( d right):left{ begin{array}{l} x = 1 – t\ y = 2 + 2t\ z =  – 1 – t end{array} right.$ và  $left( P right):x – y + z – 1 = 0.$ 

Viết phương trình tham số của đường thẳng $Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.

 

 

Giải. Bước 1. Gọi $left( alpha  right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( alpha right)$ là ${vec u_d} = left( { – 1;2; – 1} right),{vec n_P} = left( {1; – 1;1} right)$. Suy ra ${vec n_alpha } = left[ {{{vec u}_d},{{vec n}_P}} right] = left( {1;0 – 1} right).$ Chọn $Mleft( {1;2; – 1} right) in d subset left( alpha  right).$

Phương trình của mặt phẳng $left( alpha  right)$ là $left( {x – 1} right) + 0left( {y - 2} right) – 1left( {z + 1} right) = 0 Leftrightarrow x – z – 2 = 0.$

Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ là $Delta  = left( alpha  right) cap left( P right).$

Do đó phương trình tổng quát của $Delta$ là $left( Delta  right):left{ begin{array}{l} x – y + z – 1 = 0\ x – z – 2 = 0 end{array} right..$

Từ đây ta có cặp vector pháp tuyến của $Delta$ là ${vec n_1} = left( {1, – 1;1} right),{vec n_2} = left( {1,0; – 1} right) Rightarrow {vec u_Delta } = left[ {{{vec n}_1},{{vec n}_2}} right] = left( {1;2;1} right).$ Từ phương trình tổng quát của $Delta$ ta thay $x = 0 Rightarrow y =  – 3,z =  – 2 Rightarrow Aleft( {0; – 3; – 2} right) in Delta .$

Suy ra phương trình tham số của $Delta$ là $$left( Delta  right):left{ begin{array}{l} x = t\ y =  – 3 + 2t\ z =  – 2 + t end{array} right..$$

 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

Bài 2: Hình Chiếu Vuông Góc

I. Phương pháp chiếu góc thứ nhất (PPCG 1)

1. Xây dựng nội dung

Hình 1. Phương pháp chiếu góc thứ nhất

2. Phương pháp

Chiếu vật thể lên ba mặt phẳng P1, P2, P3 ta thu được các hình chiếu vuông góc tương ứng trên đó là A, B, C:

A: Hình chiếu đứng

B: Hình chiếu cạnh

C: Hình chiếu cạnh

Đường biểu diễn:

Các đường bao thấy sẽ thể hiện bằng nét liền đậm

Các đường khuất sẽ thể hiện bằng nét gạch mảnh (nét đứt)

Các đường tâm, đường trục sẽ thể hiện bằng nét gạch chấm mảnh

3. Vị trí các hình chiếu trên bản vẽ

Nếu ta chọn mặt phẳng hình chiếu đứng P1 là mặt phẳng bản vẽ, ta sẽ phải xoay P2 và P3 về cùng mặt phẳng với P1 bằng cách:

Xoay P2 xuống phía dưới một góc 90o

Xoay P3 sang phải một góc 90o

Khi đó ta sẽ thu được hình chiếu vuông góc của vật thể trên mặt phẳng bản vẽ

Hình 2. Vị trí các hình chiếu theo PPCG1 Khi đó trên bản vẽ kĩ thuật:

Hình chiếu bằng B đặt dưới hình chiếu đứng A

Hình chiếu cạnh C sẽ đặt bên phải hình chiếu đứng A

II. Phương pháp chiếu góc thứ ba (PPCG 3)

1. Xây dựng nội dung

Hình 3. Phương pháp chiếu góc thứ ba

2. Phương pháp

Chiếu vật thể lên ba mặt phẳng P1, P2, P3 ta thu được các hình chiếu vuông góc tương ứng trên đó là A, B, C:

A: Hình chiếu đứng

B: Hình chiếu cạnh

C: Hình chiếu cạnh

Đường biểu diễn:

Các đường bao thấy sẽ thể hiện bằng nét liền đậm

Các đường khuất sẽ thể hiện bằng nét gạch mảnh (nét đứt)

Các đường tâm, đường trục sẽ thể hiện bằng nét gạch chấm mảnh

3. Vị trí các hình chiếu

Chọn mặt phẳng hình chiếu đứng P1 là mặt phẳng bản vẽ:

Xoay P2 lên trên một góc 90o

Xoay P3 sang trái một góc 90o

Khi đó ta cũng sẽ thu được hình chiếu vuông góc của vật thể trên mặt phẳng bản vẽ

Hình 4. Vị trí các hình chiếu theo PPCG 3 Khi đó trên bản vẽ kĩ thuật:

Hình chiếu bằng B đặt phía trên hình chiếu đứng A

Hình chiếu cạnh C đặt ở bên trái hình chiếu đứng A

Tìm Tọa Độ Điểm Bằng Phép Tịnh Tiến

Phép tịnh tiến là một phép biến hình được ứng dụng rất nhiều trong toán học và trong các ngành khoa học khác. Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ hướng dẫn chúng ta làm dạng toán tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến. Trước khi vào bài tập dạng này chúng ta cùng xem lại lý thuyết và một số tính chất của phép tịnh tiến để áp dụng.

Trong mặt phẳng cho vectơ $vec{v}$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $vec{MM’}=vec{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $vec{v}$

Phép tịnh tiến theo vectơ $vec{v}$ được kí hiệu là: $T_{vec{v}}$, $vec{v}$ được gọi là vectơ tịnh tiến.

Như vậy: $T_{vec{v}}(M) = M’ Leftrightarrow vec{MM’} =vec{v}$

Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

2. Tính chất của phép tịnh tiến

a. Tính chất 1: Nếu $T_{vec{v}}(M) = M’$, $T_{vec{v}}(N) = N’$ thì $vec{M’N’}=vec{MN}$ và từ đó suy ra M’N’=MN.

b. Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $vec{v}=(a;b)$. Với mỗi điểm M(x;y) ta có M'(x’;y’) là ảnh của M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ $vec{v}$.

Khi đó $vec{MM’} = vec{v} Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x’-x=a\y’-y=bend{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x’=x+a\y’=y+bend{array}right.$

Đó là một số khái niệm và tính chất của phép tịnh tiến chúng ta cần nắm được để có thể giải được bài tập. Ngay sau đây thầy sẽ hướng dẫn chúng ta làm một số bài tập tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến và tìm phương trình đường thẳng cũng bằng phép tịnh tiến.

4. Bài tập tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến

Bài 1: trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $vec{v}=(-1;2)$, hai điểm A(3;5) và B(-1;1) và đường thẳng d có phương trình: $x-2y+3=0$.

a. Tìm tọa độ của các điểm A’; B’ theo thứ tự là ảnh của A; B qua phép tịnh tiến theo $vec{v}$ b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo $vec{v}$ c. Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo $vec{v}$ Hướng dẫn giải:

Trong bài tập này vectơ tịnh tiến chính là vectơ $vec{v}=(-1;2)$. Do đó ta chỉ cần sử dụng tới biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là giải ngon lành rồi.

a. Gọi tọa độ của điểm A'(x’;y’), ta có:

$T_{vec{v}}(A) =A’Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=x+a\y’=y+bend{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x’=3-1\y’=5+2end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x’=2\y’=7end{array}right.$

Vậy tọa độ của điểm A’ là A'(2;7)

Gọi tọa độ của điểm B'(x’;y’), ta có:

$T_{vec{v}}(B) =B’Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=x+a\y’=y+bend{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x’=-1-1\y’=1+2end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x’=-2\y’=3end{array}right.$

Vậy tọa độ của điểm B’ là B'(-2;3)

b. Tìm tọa độ của điểm C

Điểm C ở đây chính là điểm vật, tọa độ của A(3;5) là tọa độ của điểm ảnh hay A(3;5)=A(x’;y’).

Gọi tọa độ của điểm C(x;y), áp dụng biểu thức tọa độ ta có:

$T_{vec{v}}(C) =ALeftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=x+a\y’=y+bend{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}3=x-1\5=y+2end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x=4\y=3end{array}right.$

Vậy tọa độ của điểm C là C(4;3)

c. Việc tìm phương trình của đường thẳng d thầy sẽ hướng dẫn chúng ta giải theo 3 cách

Cách 1: Tìm phương trình của đường thẳng d theo biểu thức tọa độ

Gọi M(x;y) là điểm thuộc đường thẳng d và M'(x’;y’) là điểm thuộc đường thẳng d’. Ta có:

$T_{vec{v}}(M) =M’Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=x+a\y’=y+bend{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x’=x-1\y’=y+2end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x=x’+1\y=y’-2end{array}right.$

Vì điểm $Min d$ nên ta có tọa độ của M thỏa mãn phương trình đường thẳng d:

Ta có: $(x’+1)-2(y’-2)+3=0 Leftrightarrow x’-2y’+8=0$

Như vậy điểm M’ thuộc đường thẳng d’ có phương trình là: $x-2y+8=0$

Cách 2: Tìm phương trình của đường thẳng d theo tính chất 2

Vì đường thẳng d’ cần tìm là ảnh của đường thẳng d nên đường thẳng d’ sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d’ sẽ có phương trình là: $x-3y+c=0$

Lấy 1 điểm $D(-3;0)in d$. Gọi $D'(x’;y’)in d’$ là ảnh của điểm D qua phép tịnh tiến theo vectơ $vec{v}$. Ta có: $T_{vec{v}}(D) =D’Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=x+a\y’=y+bend{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x’=-3-1\y’=0+2end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x’=-4\y’=2end{array}right.$

Vậy tọa độ của điểm D’ là: $D'(-4;2)$

Vì điểm D’ thuộc đường thẳng d’ nên tọa độ của D’ thỏa mãn phương trình d’, tức là: $-4-2.2+c=0 Leftrightarrow c=8$. Từ đó ta có phương trình đường thẳng d’ là: $x-2y+8=0$

Cách 3:

Lấy 2 điểm M; N thuộc đường thẳng d

Tìm ảnh của 2 điểm M; N qua phép tịnh tiến theo vectơ $vec{v}$

Đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d sẽ đi qua M’; N’

Viết phương trình đường thẳng M’N’

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: $2x-3y+3=0$, đường thẳng $d_1$ có phương trình: $2x-3y-5=0$. Tìm tọa độ của vectơ $vec{v}$ có giá vuông góc với đường thẳng d để $d_1$ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $vec{v}$. Hướng dẫn giải: *. Phân tích bài toán:

Đường thẳng $d_1$ là ảnh của d qua $T_{vec{v}}$ nên $d//d_1$

Vectơ $vec{v}$ có giá vuông góc với đường thẳng d nên $vec{v}$ chính là 1 vectơ pháp tuyến của d. Hay $vec{v}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d_2$ vuông góc với đường thẳng d.

Viết phương trình đường thẳng $d_2$ bằng cách: đi qua 1 điểm M thuộc d và nhận VTPT của d làm VTCP

Tìm giao của $d_2$ với $d_1$ tại điểm N. Khi đó $vec{v} = vec{MN}$

*. Lời giải:

Vì đường thẳng $d_1$ là ảnh của d qua $T_{vec{v}}$ nên $d//d_1$. Mặt khác vectơ $vec{v}$ có giá vuông góc với đường thẳng d nên $vec{v}$ chính là 1 vectơ pháp tuyến của d. Hay $vec{v}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d_2$ vuông góc với đường thẳng d.

Viết phương trình đường thẳng $d_2$:

Vectơ pháp tuyến của dường thẳng d: $vec{n_d}=(2;-3) Rightarrow vec{n_d} $ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d_2$.

Lấy điểm M(3;3) thuộc d.

Phương trình đường thẳng $d_2$ đi qua M nhận $vec{n_d}$ làm VTCP: $left{begin{array}{ll}x=3+2t\y=3-3tend{array}right.$ $tin R$

Giao điểm của $d_2$ với $d_1$ là điểm N:

Thỏa mãn hệ phương trình: $left{begin{array}{ll}x=3+2t\y=3-3t\2x-3y-5=0end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}t=frac{8}{13}\x=frac{55}{13}\y=frac{15}{13}end{array}right.$

Ta có tọa độ của N là: $N(frac{55}{13};frac{15}{13})$

Tọa độ của vectơ MN là: $vec{MN}=(frac{16}{13};frac{-24}{13})$

Vậy vectơ tịnh tiến $vec{v}$ cần tìm là:$vec{MN}=(frac{16}{13};frac{-24}{13})$

Qua bài giảng trên đã giúp chúng ta hiểu thêm về việc tìm tọa độ điểm bằng phép tính tiến. Chúng ta cần phải nắm được biểu thức tọa độ và tính chất của phép tịnh tiến để làm toán. Qua hai bài tập trên hy vọng phần nào giúp các bạn giải bài tập trong dạng này. Trong bài giảng sau thầy tiếp tục trình bày về phép tịnh tiến thông qua dạng bài tập tìm phương trình đường tròn và đường thẳng.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Bạn đang xem bài viết Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc Của Một Điểm Lên Một Mặt Phẳng trên website Maiphuongus.net. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!