Cập nhật thông tin chi tiết về Sáng Kiến Kinh Nghiệm Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Ở Chương Trình Lớp 8, Lớp 9 mới nhất trên website Maiphuongus.net. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình lớp 8, lớp 9 trung học cơ sở là một dạng toán tương đối khó với học sinh. Do đặc trưng của loại toán này có đề bài bằng lời văn và thường được xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, vật lý )
Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì tới lớp 8 học sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi phương trình. Nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán cấp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theo từng đối tượng học sinh.
Chính vì vậy muốn giải toán bằng cách lập phương trình thì điều quan trọng là phải biết cách diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài thành những mối quan hệ toán học.
am và Lan đi xe đạp cùng một lúc và ngược chiều nhau thì sau 1/4 giờ họ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam. Hướng dẫn: Đây là dạng toán chuyển động ngược chiều. Khi 2 người cùng đi và gặp nhau thì 2 người đã đi hết quãng đường đó. Mà vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam, như vậy có mối liên hệ như thế nào với cả 2 người trong khi thời gian đi của 2 người như nhau? Học sinh sẽ hiểu đề bài tự đặt được ẩn và lập phương trình về mối tương quan giữa ẩn và các đại lượng khác. Lời giải: (Tóm tắt) Cách 1: Sau 1/4 giờ: Nam đi được quãng đường là (km) Lan đi được quãng đường là (km) Sau 1/4 giờ cả 2 người đã đi hết quãng đường 7 km nên có phương trình: . Giải phương trình ta được x = 16 thỏa mãn ĐK. Vậy vận tốc của Nam là 16km/h; vận tốc của Lan là 16.3/4 = 12 km/h. Cách 2: Gọi quãng đường Nam đi sau 1/4 giờ là y (km). Theo đề bài ta có: x+y=7 (1) Vận tốc của Nam là x: 1/4 = 4x (km/h); Vận tốc của Lan là y: 1/4 = 4y (km/h) Theo bài ta có: 4y = 3/4.4x hay (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình được x = 4; y = 3. Từ đó có vận tốc của mỗi người. 2. Bài 2: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km cả đi lẫn về mất 8h20 phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng ? Biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h. Hướng dẫn: Trong bài này cần lưu ý học sinh xác định vận tốc thực của tàu khi đi ngược dòng và xuôi dòng là khác nhau. - Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước. - Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nước. Lời giải (tóm tắt) Khi xuôi dòng vận tốc của tàu là x+4 (km/h) Khi ngược dòng vận tốc của tàu là x-4 (km/h) Thời gian tàu đi xuôi dòng là: Thời gian tàu đi xuôi dòng là: Thời gian tàu đi và về mất 8h20' = 25/3h. Nên ta có phương trình Giải phương trình bậc hai có x1 = 20 thỏa mãn ĐK Vậy vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là 20km/h Tóm lại: Với 3 lời giải trên giáo viên đã hình thành cho học sinh làm quen với việc giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình, ở đây mới cố gắng nên 3 cách giải đại diện cho các dạng phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai và hệ phương trình. Trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng nhỏ, cần lưu ý: - Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau. - Nếu chuyển động ngược chiều và gặp nhau thì có thể lập phương trình từ: S = S1 + S2 - Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì cách lập phương trình có thể từ: T (dự định đi với v ban đầu) + T (đến chậm) = T (đi với v ban đầu)+ T (đi sau khi giảm tốc độ). - Nếu chuyển động xuôi dòng và ngược dòng thì: V (xuôi) + V (ngược) = 2V (thực) V (xuôi) - V (ngược) = 2V (dòng) 1. Bài 1: Mẫu của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị thì được phân số 1/2. Tìm phân số đã cho ? Hướng dẫn: - Để tìm một phân số tức là ta phải tìm những thành phần nào? - Biết tử số ta có thể tìm được mẫu số không và ngược lại? - Sau khi tăng cả tử và mẫu 2 đơn vị ta có phân số nào ? ở đây, ta thấy rằng các thành phần tử và mẫu số của phân số đã cho đều chưa biết, nghĩa là tương đương nhau về giá trị ẩn số. Như vậy ta có thể gọi bất kì tử số hoặc mẫu số là ẩn, cách chọn ẩn nào sẽ dẫn đến cách giải khác. Ngoài ra nếu gọi cả hai thành phần trên là ẩn sẽ dẫn đến giải hệ phương trình. Nhưng ta sẽ chọn cách giải đơn giản nhất. Muốn vậy cần đặt ẩn đơn giản nhất, ở đây là phân số nên thường là tử nhỏ hơn mẫu (bài toán cũng đã cho), do đó gọi tử số là ẩn. Lời giải (Tóm tắt): Gọi tử của phân số đã cho là x (ĐK xẻZ, x ạ 0) Sau khi tăng tử số sẽ là x +2 và mẫu số sẽ là x+3+2 = x+5 (x ạ -5) Theo bài ra ta có phương trình: Giải phương trình được x = 1 thỏa mãn ĐK. Vậy phân số đã cho là 1/4. 2. Bài 2: Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số lớn cho 5 và chia số nhỏ cho 7 thì được thương thứ nhất hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm hai số đó? Hướng dẫn giải: Theo 4 cách ở bảng sau: Cách Quá trình Số lớn Số nhỏ Phương trình xây dựng 1 - Chưa tính thương - Tính tổng x x-12 2 - Chưa tính thương - Tính tổng x+12 x 3 - Chưa tính thương - Tính tổng x y 4 - Chưa tính thương - Tính tổng y x Từ 4 cách chọn ẩn khác nhau ta dẫn đến xây dựng 4 phương trình hoặc hệ phương trình khác nahau và có 4 cách giải khác nhau nhưng đều có cùng 1 kết quả. Giải phương trình (*) ta được: ú 7x - 5x + 60 = 140 ú 2x =80 ú x = 40 (thỏa mãn ĐK bài toán) Vậy số lớn là 40, số nhỏ là 28 3. Bài 3: Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157 ? Hướng dẫn giải: Đây là bài toán đưa về phương trình bậc 2 cũng có thể có 2 cách giải theo 2 cách đặt ẩn khác nhau: Cách Quá trình Số thứ nhất Số thứ hai Phương trình xây dựng 1 - Chưa tính thương - Tính tổng x (xạ0) x2 17 - x (17 - x)2 x2+(17 - x)2 = 157(*) 2 - Chưa tính thương - Tính tổng x (xạ0) x2 y (yạ0) y2 x + y = 17 x2 + y2 = 157 Giải phương trình (*) ta có: 2x2 - 34x + 132 = 0 ú x2 - 17x +66 = 0 Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện của bài toán Vậy só thứ nhất phải tìm là 11, số thứ hai là 6 Khi đổi chỗ vị trí của các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tương tự như vậy. Dựa vào đó đặt điều kiện cho ẩn phải phù hợp. III. Dạng toán về năng suất lao động. 1. Bài 1: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy, trong tháng sau tổ 1 vượt mức 10%, tổ 2 vượt mức 15% nên cả hai tổ sản xuất được 448 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Hướng dẫn. - Đã biết 2 tổ trong tháng đầu làm được 400 chi tiết, nếu biết số chi tiết của1 trong 2 tổ thì sẽ tính được số chi tiết của tổ kia (chọn ẩn). - Giả sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính được tổng chi tiết máy sản xuất tháng sau: - Tính năng suất của từng tổ tháng sau, từ đó xây dựng phương trình. Lời giải: Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (xẻZ, 0<x<400) Như vậy tổ 2 sản xuất được 400-x (chi tiết) Tháng sau tổ 2 làm răng được 10%.x (chi tiết) Tổ 2 làm tăng được 15%.(400-x) (chi tiết) Do cả 2 tổ đã vượt 48 chi tiết nên có phương trình: 10% x +15% (400-x) = 48 Giải phương trình được x = 240 (thỏa mãn ĐK) Vậy tháng đầu tổ 1 sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 160 chi tiết máy. Cách 2: Gọi số chi tiết máy tổ 1, tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu lần lượt là x và y (chi tiết) (x,y ẻZ, 0<x,y<400) Theo bài ra ta có hệ phương trình: 2. Bài 2: Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 2.000.000 lên 2.048.288 người . Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm? Hướng dẫn: Đã biết số người của năm đầu và 2 năm sau nên học sinh dễ nhầm lấy số sau trừ đi số trước sau đó chia 2 lấy trung bình từ đó tính phần trăm dẫn đến kết quả sai. Lời giải: Số dân năm đầu của Hà Nội tăng là 2.000.000 . x% = 20.000x Sau năm đầu dân số của Hà Nội là: 2.000.000 + 20.000x = 20.000(x+100) Năm thứ hai dân số Hà Nội tăng là: 20.000(x+100).x% = 200x (x+100) Theo bài ra ta có phương trình: 20.000(x+100) + 200x(x+100) = 2048288 ú x2 + 100x -241,44 = 0 Giải phương trình ta được: x1 = 1,2 (thỏa mãn ĐK) x2 = -201,2 (không thỏa mãn ĐK) Vậy số phần trăm tăng dân số trung bình của Hà Nội là 1,2%. IV. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng (toán Quy về đơn vị) 1. Bài 1: Hai máy xúc nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong công việc được giao. Nếu làm riêng thì máy 1 làm lâu hơn máy hai là 5 ngày. Hỏi mỗi máy nếu làm riêng thì mất mấy ngày sẽ hoàn thành công việc được giao trên ? Hướng dẫn giải: Theo bài ra ta có 2 cách giải sau: Cách Quá trình Số thứ nhất Số thứ hai Phương trình xây dựng 1 - Làm riêng xong công việc - Phần công việc làm trong 1 ngày x - 5 2 - Làm riêng xong công việc - Phần công việc làm trong 1 ngày Giải phương trình (*) ta có: x2 -17x +30 = 0 x1 =15 x2 = 2 (loại) Vậy máy 1 làm trong 15 ngày thì xong công việc, máy 2 làm trong 10 ngày thì xong công việc. 2. Bài 2: Hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy 2/5 bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì phải mất bao lâu ? Lời giải: Sau mỗi giờ: Vòi 1 chảy được 1/x bể, vòi 2 chảy được 1/y bể Sau 4 giờ: Vòi 1 chảy được 4/x bể, vòi 2 chảy được 6/y bể Từ đó giải hệ phương trình ta được x = 20, y = 30 (thỏa mãn ĐK) Vậy mỗi vòi chảy riêng thì vòi 1 hết 20 giờ, vòi 2 hết 30 giờ. Tóm lại: ở bài toán này mấu chốt là học sinh phải hiểu đầu bài và đặt đúng ẩn, từ đó xác định công việc trong 1 giờ rồi lập phương trình hoặc hệ phương trình. V. Dạng toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng- hiệu, tỉ số của chúng). 1. Bài 1: HTX Hồng Châu có 2 kho thóc, kho thứ nhất chứa nhiều hơn kho thứ hai 100 tấn, nếu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì số thóc ở kho thứ nhất bằng 12/13 số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu ? Hướng dẫn giải: Hướng dẫn học sinh theo bảng: Cách Quá trình Số thứ nhất Số thứ hai Phương trình xây dựng 1 - Chưa chuyển - Đã chuyển x+100 x+40 x+60 2 - Chưa chuyển - Đã chuyển x-60 y+60 x - y = 100 Giải phương trình (*) có: x = 200 (thỏa mãn ĐK). Vậy kho 1 lúc đầu có 200 tấn thóc, kho 2 có 300 tấn thóc 2. Bài 2: Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe bị điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi đội xe có bao nhiêu chiếc? Lời giải: Theo dự định mỗi xe phải chở 120/x (tấn) Nhưng hôm làm việc chỉ có x -2 (xe), nên mỗi xe phải chở tấn Theo bài ra ta có phương trình: Giải ra ta được: x1 = 5 (thỏa mãn ĐK) x2= -3 (không thỏa mãn ĐK) Vậy đội xe lúc đầu có 5 ô tô. 1. Bài 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256m2. Tính kích thước của vườn. Hướng dẫn: 4256m2 A B A P B B' F E M D' M Hình A Hình B C D D N C Qua hình vẽ ta thấy nửa chu vi: AB+BC= 140(m) Nếu vẽ lại hình A thành hình B bài toán dễ nhìn hơn, nếu vẽ thêm chuyển phần diện tích MECN sang BEFB' ta thấy ngay AB' = (nửa chu vi) - 4m. = 140 - 4 = 236 (m) Và AD' = 4m. Vậy ta có thể tìm ra diện t ích lối đi. Lời giải: Theo hình vẽ ta thấy diện tích lối đi là 136 x 4 = 544m2 Thì cạnh thứ hai là 140-x (m) Theo bài ra ta có phương trình x (140-x) = 4256 + 544 = 4800 ú x2 -140x +4800 = 0 Giải phương trình ta có x1 = 80; x2 = 60 (thỏa mãn ĐK đầu bài) Vậy kích thước hình chữ nhật ban đầu là 80m, 60m. 2. Bài 2: Cho 1 tam giác vuông. Nếu tăng mỗi cạnh góc vuông lần lượt lên 2cm và 3cm thì diện tích tam giác sẽ tăng 50cm2, nếu giảm cả 2 cạnh đi 2cm thì diện tích giảm đi 32cm2. Tính hai cạnh góc vuông của tam giác. Lời giải: B' B B B'' x A y C A C'' C C' Theo bài ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình có : x = 26, y = 8 (thỏa mãn ĐK) Vậy hai cạnh góc vuông lần lượt là 26cm và 8cm 3. Bài 3: Cho hai đường tròn đồng tâm. Tìm bán kính của mỗi đường tròn, biết rằng khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn đồng tâm bằng 18cm và khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn đó bằng 10cm. Hướng dẫn: Cần phân tích cho học sinh hiểu được khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn đồng tâm là tổng bán kính của 2 đường tròn, khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn là hiệu của 2 bán kính của 2 đường tròn đó. Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ hình. Hướng dẫn học sinh theo bảng sau: M' Cách Quá trình Bán kính Đ.T lớn Bán kính Đ.T nhỏ Phương trình xây dựng 1 - K/c lớn nhất - K/c nhỏ nhất x 18-x x-10 18-x=x-10 (1) 2 - K/c lớn nhất - K/c nhỏ nhất x y (2) Giải phương trình (1) ta được x = 14cm Tóm lại: Dạng toán này ngoài việc hướng dẫn học sinh cách giải bài toán bằng cách lập phương trình, còn lưu ý đến học sinh các kiến thức về hình học, các mối quan hệ trong hình học như cách tính diện tích tam giác, hình chữ nhật, định lí Pitago, và kĩ năng vẽ hình thành thạo, từ đó mới thiết lập các mối quan hệ để xây dựng phương trình. Trong hình học cần lưu ý đến điều kiện của ẩn luôn dương. VII. Dạng toán có nội dung vật lý, hóa học. 1. Bài 1: Có 200g dung dịch chứa 50g muối. Cần pha thêm bao nhiêu gam nước để được một dung dịch chứa 10% muối. Lời giải Khi đó lượng dung dịch mới là: 200 + x (g) Theo bài ra ta có phương trình: (thỏa mãn ĐK). Vậy phải thêm 300g nước vào dung dịch đã cho. Chú ý: Cần cho học sinh hiểu dung dịch gồm chất tan và nước. Nồng độ dung dịch là tỉ số chất hòa tan với dung dịch của chất đó. 2. Bài 2: Dùng hai lượng nhiệt, mỗi lượng bằng 168 KJ để đun nóng 2 khối nước hơn kém nhau 1 kg thì khối nước nhỏ nóng hơn khối nước lớn 20C. Tính xem khối nước nhỏ được đun nóng thêm mấy độ. Hướng dẫn: Cần cho học sinh hiểu kĩ về kiến thức vật lí đã học ở đây cần sử dụng công thức tính nhiệt lượng: Q = c m (t1 - t2); trong đó (t1 - t2) là nhiệt độ được tăng thêm. Và cần nhớ nhiệt dung riêng của nước là: c = 4,2 KJ/kg độ Lời giải: Như vậy khối lượng của khối nước nhỏ là: Vì khối nước lớn được đun nóng kém hơn khối nước nhỏ 20 nên khối nước lớn là Giải ra ta được x1 = 10 (thỏa mãn ĐK) x2= -8 (không thỏa mãn ĐK) Vậy khối nước nhỏ được đun nóng thêm 100C. VIII. Dạng toán có chứa tham số. 1. Bài 1: Thả một vật rơi tự do từ một tháp cao xuống đất. Người ta ghi được quãng đường rơi S(m) của một vật theo thời gian t (giây) trong bảng sau: t 1 2 3 4 5 S 5 20 45 80 125 a. Chứng minh rằng quãng đường vật tơi tỉ lệ với bình phương thời gian tương ứng, tính hệ số tỉ lệ đó? b. Viết công thức biểu thị quãng đường vật rơi theo thời gian? Lời giải: a. Dựa vào bảng trên ta có: Vậy: . Do đó hệ số tỉ lệ là 5. b. Công thức biểu thị quãng đường vât rơi theo thời gian là: hay 2. Bài 2: Một hình tròn có diện tích S= 3,14R2 với R là bán kính. a. Khi R tăng lên 2 lần thì S tăng thêm mấy lần? Khi R giảm 3 lần thì S tăng thêm hay giảm mấy lần? b. Khi S tăng 4 lần thì R tăng hay giảm mấy lần? Khi S giảm 16 lần thì R tăng hay giảm mấy lần? Lời giải: Gọi R = a thì S1 = 3,14a2 a. Nếu R tăng 2 lần thì R2 = 2R1 = 2a S2 = 3,14.42 = 4,3.14a2 = 4S1. Vậy diện t ích tăng 4 lần. - Nếu R giảm 3 lần thì Khi đó S3 = 3,14. Vậy diện t ích giảm đi 9 lần b. Nếu S tăng 4 lần, tức là S4= 4S1 thì ta có: Vậy bán kính tăng 2 lần. - Tương tự, nếu S giảm 16 lần thì bán kính giảm 4 lần. Như vậy: Bài toán đã xác định mối tương quan tỉ lệ giữa độ dài bán kính và diện tích: độ tăng của diện tích bằng bình phương độ tăng của bán kính và ngược lại. Mỗi dạng toán tôi lựa chọn một số bài toán điển hình có tính chất giới thiệu về việc xây dựng phương trình theo 3 cách: + Bài toán đưa về phương trình bậc nhất một ẩn. + Bài toán đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. + Bài toán đưa về phương trình bậc hai một ẩn. Đó là các loại chương trình, hệ phương trình các em đã được học và làm quen với cách giải ở THCS. Những ví dụ tôi không có ý thiên về hướng dẫn cách giải các phương trình, hệ phương trình mà chủ yếu gợi ý giúp các em xây dựng được phương trình cơ bản, để đến khi gặp các dạng toán đó các em hiểu và biết cách làm. C. kết quả thực hiện và bài học kinh nghiệm: Khi chưa thực hiện đề tài này, học sinh chỉ nắm được ba bước cơ bản để giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình nên gặp dạng toán này học sinh rất ngại, hầu hết các em chỉ gọi ẩn, biểu thị các đại lượng khác theo ẩn và một số ít lập được phương trình đúng nhưng trình bày lủng củng thiếu lập luận, điều kiện; một số lúng túng không biết phải làm gì, vì vậy kết quả học tập chưa cao. Sau khi thực hiện đề tài trên, với hệ thống các phương pháp giải đã xây dựng. Tôi nhận thấy học sinh tiếp cận loại bài tập này với thái độ tích cực, chủ động, hào hứng. Nhiều em giải bài nhanh, trình bày khoa học lập luận chặt chẽ, các em học sinh trung bình đã biết cách giải các bài toán thông thường. Từ đó khích lệ lòng say mê học toán, phát triển tư duy trí thông minh sáng tạo, tự mình tìm ra các phương pháp giải ngắn gọn, hay nhất. Kết quả cụ thể: Lớp Sĩ số Kết quả bài viết Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 8C 41 5 11 17 8 0 8D 44 3 10 21 10 0 8E 43 6 10 18 9 0 d. Kết luận: Dựa vào hệ thống các bài tập đại diện cho mỗi dạng toán kết hợp với tài liệu tham khảo và nỗ lực phấn đấu học hỏi của mỗi người chắc chắn sẽ giúp ích cho người dạy phần " Giải bài toán bằng cách lập phương trình " ở lớp 8 và lớp 9 trường THCS để phát huy tinh thần sáng tạo, độc lập trong nhận thức của học sinh. Các bài tập trên tôi đã phân loại theo từng mục song chỉ mang tính chất tương đối và khi trình bày không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến và sự chỉ bảo của ban xét duyệt sáng kiến kinh nghiệm và các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! Đông Anh, ngày 10 tháng 4 năm 2007 Người thực hiện Trần Thị Thanh Huyền Trang Đặt vấn đề. 1 Nội dung 3 Phần I: Phương pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán. 3 Phần II : Phân loại các bài toán và các giai đoạn giải một bài toán. 7 Phần III : Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán. 10 - Dạng toán chuyển động. 10 - Dạng toán về năng suất lao động. 14 - Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng. 16 - Dạng toán về tỉ lệ chia phần. 17 - Dạng toán có nội dung vật lý, hoá học. 20 - Dạng toán có chứa tham số. 21 C. Kết quả thực hiện và bài học kinh nghiệm. 24 D. Kết luận. 25Sáng Kiến Kinh Nghiệm Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình đại số các lớp 8 và 9 ở trường trung học cơ sở là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Do đặc trưng của loại này thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và thường được xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, vật lý).
Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì đến lớp 8 học sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi tương đương các phương trình. Nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tuỳ theo từng đối tượng học sinh.
Ở lớp 1, 2 phương trình được cho dưới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống: – 2 = 5
Ở lớp 3 được nâng dần dưới dạng: x + 3 – 2 = 10
Ở lớp 4, 5, 6 cho dưới dạng phức tạp hơn như:
x . 3 + 5 = 11; (x – 15). 7 = 21
Ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ như trên bài toán còn cho dưới dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo.
Vì vậy muốn giải được loại toán này học sinh phải suy nghĩa để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phương trình (hệ phương trình).
Khi đổi chỗ vị trí các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tương tự như vậy. Dựa vào đó đặt điều kiện cho ẩn số phải phù hợp. III. Dạng toán về năng suất lao động: (Tỷ số phần trăm) Ví dụ 1: (Ôn thi tốt nghiệp THCS NXB Giáo dục 1990) Trong 2 tháng đầu 2 tổ sản xuất được 400 chi tiết máy, trong tháng sau tổ 1 vượt mức 10%, tổ 2 vượt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất được 448 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy. * Hướng dẫn học sinh: – Đã biết năng suất chung của 2 tổ trong tháng đầu được 400 chi tiết máy. Nếu biết 1 trong 2 tổ sẽ tính được được tổ kia (chọn ẩn). – Giả sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính được tổng chi tiết máy sản xuất trong tháng sau. – Tính năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng phát triển. * Lời giải: Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (x ẻ Z+, x 0). Như vậy tổ 2 sản xuất được 400 – x chi tiết máy. Tháng sau tổ 1 đã làm được chi tiết máy. Tổ 2 đã làm được (400 – x). chi tiết máy Do đó cả 2 tổ đã vượt 48 chi tiết máy. Theo bài ra ta có phương trình: 10x + 6000 – 15x = 4800 5x = 1200 x = 240 Thoả mãn điều kiện đề ra. Vậy tháng dần tổ 1 sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ sản xuất 400 – 240 = 160 chi tiết máy. Cách 2: Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu là x(xẻZ, 0 < x < 400) Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất trong tháng đầu là y(y ẻ Z, 0 < y < 400). Do đó ta có x + y = 400 (1) Trong tháng sau tổ 1 làm được chi tiết máy. Tổ 2 làm được chi tiết máy. Do đó ta có phương trình: (2) Từ đó ta có hệ phương trình: x + y = 400 (1) (2) Giải hệ phương trình ta có: x = 240; y = 160 Ví dụ 2: (Bài 2 – Đại 9 – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB Giáo dục 1996). Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 2.000.000 lên 2.048.288 người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm. * Hướng dẫn học sinh: Đã biết số người của năm đầu và 2 năm sau, học sinh dễ nhầm lẫn lấy số sau trừ đi số trước, sau đó chia cho 2 năm lấy trung bình từ đó tính phần trăm dẫn đến kết quả sai. * Lời giải: Sau năm đầu dân số Hà Nội là: 2.000.000 + 20.000x = 20.000 (x + 100) Năm thứ hai dân số Hà Nội tăng là: 20.000 (x + 100). Theo bài ra ta có phương trình: 20.000 (x + 100) + 200(x + 100) = 2.048.288 x2 + 200x – 241,44 = 0 Giải phương trình bậc 2 ta được x1 = 1,2; x2 = -201,2 (loại) Vậy số phần trăm tăng dân số trung bình của Hà Nội 1,2%. IV. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng. (Toán qui về đơn vị) Bài 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THCS, Sở GD ĐT Hải Hưng 1996) Hai máy xúc đất, nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong công việc được giao. Nếu làm riêng thì máy 1 phải làm lâu hơn máy 2 là 5 ngày. Hỏi mỗi máy nếu làm riêng thì mất bao nhiêu ngày sẽ hoàn thành công việc đã được giao. * Lời giải: Máy 2 làm riêng mất số ngày là x – 5. Mỗi ngày máy 1 làm được công việc, máy 2 làm công việc. Cả 2 máy trong một ngày được công việc. Theo bài ra ta có cách giải sau: Cách Quá trình Máy 1 Máy 2 Phương trình xây dựng 1 Làm riêng xong công việc Phần công việc trong 1ngày x – 5 (*) 2 Làm riêng xong công việc Phần công việc trong 1ngày x – y = 5 Giải phương trình (*) ta có x2 – 17x + 30 = 0 x1 = 15, x2 = 2 (loại) Vậy máy 1 làm riêng mất 15 ngày, máy 2 làm riêng mất: 15 – 5 = 10 ngày Bài 2: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS – Sở GD-ĐT Hải Hưng 1996) Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không có nước trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 6 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể. * Lời giải: Sau mỗi giờ vòi 1 chảy là vòi 2 chảy là Trong 4h vòi 1 chảy , vòi 2 chảy (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: + = Giải hệ phương trình ta được x = 20, y = 30 thoả mãn điều kiện đã nêu. Vậy vòi 1 chảy riêng hết 20h, vòi 2 chảy riêng hết 30h. ở bài toán này mấu chốt là cho học sinh hiểu đầu bài biết đặt đúng ẩn, từ đó tính thời gian của 1h và lập được phương trình. V. Dạng toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng hiệu, tỷ số của chúng). Bài 1: (Bài 5 sách đại số 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB giáo dục 1995) HTX Hồng Châu có 2 kho thóc. Kho thứ nhất nhiều hơn kho thứ hai 100 tấn. Nừu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ 2 60 tấn thì lúc đó số thóc ở kho thứ nhất số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu. * Lời giải: Hướng dẫn học sinh theo bảng sau: Cách Quá trình Kho 1 Kho 2 Phương trình xây dựng 1 Chưa chuyển Đã chuyển x + 100 x + 40 x + 60 x + 40 = (x + 60) (*) 2 Chưa chuyển Đã chuyển x – 60 y + 60 x – y = 100 x – 60 = (y + 60) Giải phương trình (*) ta có x = 200 thoả mãn. Vởy kho 2 lúc đầu có 200 tấn thóc. Kho 1 lúc đầu có 300 tấn thóc. Bài 2: (Bài 5 – Sách đại số 9 – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB Giáo dục – 1996) Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng khi làm việc cho 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi đội xe có bao nhiêu xe. * Lời giải: Gọi x là số xe của đội lúc đầu ( x ẻ z+). Theo dự định mỗi xe phải chở tấn hàng. Nhưng khi làm việc chỉ có (x – 2) xe chở. Thực tế mỗi xe phải chở tấn hàng. Theo bài ra ta có phương trình: – = 16 x2 – 2x – 15 = 0 Giải ra ta được x1 = 15, x2 = – 3 (loại) Vậy đội có 5 xe ô tô lúc đầu. Bài 1: (Bài 2 – Sách đại số – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB Giáo dục 1996) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256m2. Tính kích thước của vườn? * Hướng dẫn học sinh: 2m 4m B’ B A B A C’ M D’ 4m E N D C D C Hình a Hình b Qua hình vẽ ta thấy nửa chu vi AB + BC = 140m Nếu vẽ lại hình (hình a) thành (hình b) bài toán dễ nhìn hơn. Ta thấy diện tích phần lối đi đã được vẽ chuyển về một phía. Nếu vẽ thêm chuyển phần diện tích MECN sang BB’C’E ta thấy ngay. AB’ nửa chu vi – 4m = 140 – 4 = 136 Và AD’ = 4m Vậy có thể tìm ra diện tích lối đi. * Lời giải: Theo hình vẽ ta thấy: Diện tích lối đi là 136 . 4 = 544m2 Theo bài ra ta có phương trình: x(140 – x) = 4256 + 544 = 4800 x2 – 140x + 4800 = 0 Giải phương trình ta có x1 = 80, x2 = 60 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy một cạnh ban đầu của hình chữ nhật là 60m, một cạnh là 80m. Bài 2: (Bài 2 – trang 68 – Đại số 9 – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB Giáo dục 1996). Cho một tam giác vuông nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2cm, 3cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 50cm2. Tính 2 cạnh góc vuông của tam giác. * Lời giải: 3x + 2y = 94 2x + 2y = 68 Giải ra ta có x = 26, y = 8 thoả mãn điều kiện của bài. Vậy 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông là 26cm và 8cm. Bài 3: (Bài 7 – Sách đại 9 – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB Giáo dục 1996). Cho 2 đường tròn đồng tâm. Tìm bán kính của mỗi đường tròn. Biết rằng khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trên 2 đường tròn đồng tâm bằng 18cm và khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm trên 2 đường tròn đó bằng 10cm. * Hướng dẫn học sinh: Cần phân tích cho học sinh hiểu được khoảng cách giữa 2 điểm lớn trên 2 đường tròn đồng tâm là tổng 2 bán kính của 2 đường tròn đó. Khoảng cách giữa 2 điểm nhỏ nhất là hiệu của 2 bán kính của 2 đường tròn đó. * Lời giải: Theo bảng sau ta giải phương trình (2) ta tìm M, O, N, M’ được x = 14cm. Bán kính của đường tròn nhỏ là 18 – 14 = 4cm M Cách Quá trình B.kính Đ.tròn lớn B.kính Đ.tròn nhỏ Phương trình xây dựng 1 Khoảng cách lớn nhất Khoảng cách nhỏ nhất x y x + y = 18 (1) x – y = 10 2 Khoảng cách lớn nhất Khoảng cách nhỏ nhất x x 18 – x X – 10 18 – x = x – 10 (2) Tóm lại: Dạng toán này ngoài việc hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách phương trình cần lưu ý đến học sinh các kiến thức về hình học, các mối quan hệ trong hình học như cách tính diện tích hình tam giác, hình chữ nhật, định lý Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và kỹ năng vẽ hình thành thạo. Từ đó mới thiết lập các mối liên hệ để xây dựng phương trình. Trong hình học cần lưu ý đến điều kiện của ẩn luôn dương (diện tích, chu vi, cạnh…) VII. Dạng toán có chứa tham số. Bài 1: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS – Sở GD- ĐT Hải Hưng – 1996) Thả một vật rơi tự do, không vận tốc ban đầu từ một tháp cao xuống đất. Người ta ghi được quãng đường rơi S của một vật theo thời gian t trong bảng sau: t(giây) 1 2 3 4 5 S(m) 5 20 45 80 125 a) Chứng minh rằng quãng đường vật rơi tỷ lệ với bình phương thời gian tương ứng, tính hệ số tỷ lệ đó. b) Viết công thức biểu thị quãng đường vật rơi theo thời gian. * Lời giải: a) Dựa vào bảng trên ta có: ; ; ; ; Vậy Do đó hệ số tỷ lệ là 5. b) Công thức biểu thị quãng đường vật rơi theo thời gian là: = 5 hay S = 5t2 Bài 2: (Bài 1 – Sách đại 9 – Ngô Hữu Dũng – NXB Giáo dục 1989). Một hình tròn có diện tích S = 3,14R2 với R là bán kính. a) Khi R tăng 2 lần thì S tăng thêm hay giảm mấy lần. Khi R giảm 3 lần thì S tăng hay giảm mấy lần. b) Khi S tăng 4 lần thì R tăng hay giảm mấy lần. Khi S giảm 10 lần thì R tăng hay giảm mấy lần. Gọi R = a thì S1 = 3,14 . a2 a) Nếu R tăng 2 lần thì R1 = 2a. S2 = 3,14 . (2a)2 = 3,14 . 4a2 = 4 . 3,14a2 Nếu R giảm 3 lần thì R3 = S3 = 3,14 . Vậy S giảm đi 9 lần. b) Nếu S tăng lên 4 lần tức là S4 = 4 . S1 thì Tương tự, nếu S giảm 16 lần thì bán kính tăng 2 lần. Tóm lại: Bài toán đã xác định mối tương quan tỷ lệ giữa độ dài bán kính và diện tích. Độ tăng của bán kính thì độ tăng của diện tích bằng bình phương độ tăng của bán kính và ngược lại. VIII. Dạng toán có nội dung vật lý – hoá học. Bài 1: (Bài 5 – Đại số 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB Giáo dục 1995). 200g dung dịch chứa 50gam muối cần pha thêm bao nhiêu gam nước để được một dung dịch chứa 15% muối. * Lời giải: = 5000 = 2000 + 10x x = 3000 (thoả mãn) Vậy phải thêm 300g nước vào dung dịch đã cho. Chú ý: Cần cho học sinh hiểu dung dịch gồm chất tan và nước. Nồng độ dung dịch và tỷ số chất tan với dung dịch của chất đó. Bài 2: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS – Sở GD Hải Hưng 1996). Dùng hai lượng nhiệt, mỗi lượng bằng 168KJ để đun nóng hai khối nước kém nhau 1 kg thì khối nước nhỏ lớn hơn khối nước lớn 200C. Tính xem khối nước nhỏ được đun nóng thêm mấy độ. * Hướng dẫn học sinh: Cần cho học sinh hiểu kỹ về kiến thức vật lý đã học. ở đây cần sử dụng công thức tính nhiệt Q = Cm (t2 – t1) Trong đó: t2 – t1 là nhiệt độ được tăng thêm. Vì cần nhớ: nhiệt dung riêng của nước là C = 4,2KJ/kg độ. * Lời giải: Vì khối nước được đun nóng kém hơn khối nước nhỏ là 20C nên khối lượng của khối nước lớn là: . Theo bài ra ta có phương trình: Giải ra ta được x1 = 10, x2 – 8 (loại) Vậy khói nước nhỏ đun nóng hơn 100C Kết luận chương Mỗi dạng, tôi chọn một số bài toán điển hình có tính chất giới thiệu về việc xây dựng phương trình theo 3 cách. – Bài toán đưa về phương trình bậc nhất 1 ẩn. – Bài toán đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. – Bài toán đưa về phương trình bậc hai 1 ẩn. Đó là các loại phương trình (hệ phương trình) các em đã được học và làm quen với cách giải ở THCS. Những ví dụ ở trên tôi không có ý thiên về hướng dẫn cách giải các phương trình (hệ phương trình) mà chủ yếu gợi ý giúp các em xây dựng được phương trình cơ bản. Để khi gặp các dạng toán như trên các em biết cách làm. Chương IV: Phần thực nghiệm Bài soạn Luyện tập giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiết 1) 1. Mục đích yêu cầu; – Giúp cho học sinh nắm vững 6 yêu cầu về giải một bài toán được cụ thể hoá bằng quy tắc: Giải bài toán bằng cách lập phương trình theo 3 bước và 7 giai đoạn của dạng toán trên. – Rèn luyện kỹ năng biểu diễn các số liệu đã biết từ dạng văn thành các biểu thức đại số và xây dựng được phương trình. 2. Chuẩn bị: – Giáo viên: Bài soạn, bảng phụ hình vẽ sơ đồ bài toán – Học sinh: Học kỹ các bước chuẩn bị các bài tập. Bài 2, 8, 10, 11 trang 81 – sách đại số 8. 3. Các bước lên lớp. * ổn định tổ chức. * Kiểm tra: Nêu quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình và các giai đoạn cụ thể để giải dạng toán đó. * Bài mới: Khi kiểm tra bài cũ giáo viên hệ thống lại 7 giai đoạn để giải bài toán bằng cách lập phương trình Giáo viên gọi học sinh lên bảng, dựa vào các bước giải để học sinh tự xây dựng các bước giải. Giáo viên treo bảng phụ đã vẽ trước và giải thích cho học sinh, ta biểu diễn vận tốc của anh Đại và anh Tự bằng sơ đồ đoạn thẳng. – Hãy nêu những yếu tố đã biết? Những yếu tố cần tìm? Chúng liên hệ với nhau như thế nào? – Theo sơ đồ hãy chọn cách đặt ẩn? Đơn vị và điều kiện của ẩn? – Hãy tính vận tốc của an Đại? – Vận tốc của anh Tự giảm đi 1km/h? còn lại. – VĐại tăng 1km/h được là? – S của anh Tự sau 3h với vận tốc mới? – S của anh Đại sau 3h với vận tốc mới? Dựa vào mối liên hệ đề bài ra ta tìm phương trình. – Cả lớp giải phương trình – Kiểm tra x = 15 có phù hợp với điều kiện không? x = 15 nói điều gì? Từ đó tìm VĐại? Trả lời bài toán – Ngoài cách giải trên em nào còn có cách giải khác? – Có thể chọn ẩn khác được không? Chọn vận tốc của anh Đại là ẩn – Có thể chọn ẩn khác? Như thế có mối liên hệ? – Ta phải tìm thêm mối liên hệ mà bài toán đã cho chưa sử dụng? 1. Nội dung: Nhắc lại 7 giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình. 2. áp dụng: Bài 2- 77 Anh Đại, Anh Tự khởi hành cùng 1 lúc VĐại = VTự VĐại + 1km/h, VTự – 1km/h thì sau 3h STự dài hơn SĐại là 3km. Tính V thực mỗi anh? VĐại VTự x b) Mối quan hệ giữa vận tốc, quãng đường và thời gian. – Thì vận tốc của anh Đại là 4/5x – Khi vận tốc của anh Tự giảm đi 1km/h thì vận tốc mới là (x – 1) – Khi vận tốc anh Đại tăng lên 1km/h thì vận tốc mới là (4/5x+1) – Quãng đường anh Tự sau 3h là 3(x-1)km/h. – Quãng đường anh Đại sau 3 h là 3(4/5x + 1)km. c) Giai đoạn lập phương trình: Theo bài ra ta có phương trình 3(x – 1) = 3 + 3 (*) d) Giải phương trình (*) 15x – 12x = 45 3x = 45 x = 15 e) Kiểm tra x = 15 thoả mãn điều kiện bài toán và phương trình (*). g) Vận tốc thực của anh Tự là 15km/h. Vận tốc của anh Đại là * Củng cố: Nhắc lại mối quan hệ giữa các bước dẫn đến lập phương trình của bài toán trên và áp dụng gợi ý một số bài toán khác có nội dung tương tự. * Hướng dẫn về nhà: Bài 8, 10, 11 – 81 VCanô nhỏ hơn Vôtô 17km/h. tính Vca nô? – Đổi 3h20′ = ? h(3) – Nếu biết Vcanô là x thì Vôtô là ? ( x + 17) – Scanô đi là ? – Sôtô đi 2h là? – Xây dựng phương trình. * Rút kinh nghiệm giờ dạy. Học sinh nắm được 7 giai đoạn, chú ý uốn nắn học sinh đặt điều kiện và đơn vị, phát huy hết năng lực học sinh… 4. Nhận xét của nhóm dự giờ. Bài soạn: Luyện tập (tiết 2) Giải bài toán bằng cách lập phương trình 1. Mục đích yêu cầu Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình theo 7 giai đoạn. Phát huy khả năng sáng tạo của học sinh trong quá trình tư duy với dạng toán phức tạp hơn. Học sinh tìm được cách giải hay hơn và phân biệt được dạng toán. 2. Chuẩn bị: Giáo viên: Dùng bảng phụ Học sinh: Chuẩn bị bài 1, 2, 3 – 80 3. Các bước lên lớp. * ổn định tổ chức. * Kiểm tra bài cũ (kết hợp với giảng) * Bài giảng Giáo viên cho học sinh đọc kỹ đầu bài, ghi tóm tắt lên bảng, nêu hướng suy nghĩ tìm cách giải. – Tìm phân số nghĩa là tìm gì? (mẫu, tử). – Theo em chọn ẩn số là gì? (mẫu hay tử) – Sau khi chọn hãy tìm tử số sau khi tăng? – Sau khi tăng mẫu? – Dựa vào quan hệ lập phương trình. Bài 1 – 80 – Đại số 8 Mẫu số của 1 phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị thì được phân số chẵn. Tìm phân số đã cho? * Hướng dẫn giải: – Có thể chọn tử số là x – Có thể chọn mẫu số là x – Tử số sau khi tăng là x + 2 – Mẫu số sau khi tăng là x + 5 – Dựa vào đề bài ta có bảng Cách Quá trình Tử số Mẫu số Phương trình xây dựng 1 Chưa tăng Đã tăng x(x ≠0) x + 2 x + 3 x + 5 (*) 2 Chưa tăng Đã tăng x – 3 x – 1 x ≠0 x + 2 (**) Gọi học sinh lên bảng giải phương trình, ở dưới lớp tìm và so sánh kết quả. – Nhận xét cách giải phương trình? – Xem xét điều kiện? – Kết luận. – Yêu cầu học sinh tìm lời giải khác. – Gọi học sinh đọc tóm tắt nội dung bài toán. – Một số có 2 chữ số được biểu diễn như thế nào? – Nêu cách chọn ẩn số? Điều kiện của ẩn số? – Tìm chữ số hàng đơn vị. – Viết số có 2 chữ số thành tổng đại ssó qua các hàng chia theo cách đặt lập số? – Khi viết chữ số 1 vào giữa 2 số ta được số nào? – Biểu diễn số mới theo cấu tạo số? – Viết phương trình. – Giải phương trình. – Kiểm tra điều kiện và kết luận. Giải phương trình (*) ta có: 2x + 4 = x + 5 x = 1 (thoả mãn điều kiện) Mẫu của phân số phải tìm là: x + 3 = 1 + 3 = 4 Vậy phân số đã cho là 1/4. Bài 14- 81 Cho 1 số có 2 chữ số, chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị. Nếu đặt chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số đó ta được 1 số lớn hơn số đã cho là 370. Tìm số đã cho? * Lời giải: – Gọi chữ số hàng chục là x(x ẻ N, 1;2 Ê 9) Thì chữ số hàng đơn vị là a. Ta có a = 2x Vậy chữ số đã cho là = 10x + = 10x + 2x = – Khi viết số 1 xen vào giữa ta được số mới là . = 100x + 10 + a = 100x + 10 + 2x = 102x + 10 – Theo bài ra ta có phương trình: 102x + 10 = 12x + 370 90x = 360 x = 4 (thoả mãn) Vậy số đã cho là 48. * Củng cố: Gợi ý học sinh giải bằng cách khác thay đổi ẩn. Tìm bài toán khác tương tự bằng cách thay đổi dữ kiện, thay đổi lời văn. VD: Bài 1 có thể thay lời văn như sau: Tuổi anh hơn tuổi em là 3, sau 2 năm nữa tuổi của anh gấp đôi tuổi của em. Tìm tuổi của anh, em. * Hướng dẫn về nhà: Bài 4, 5 làm tương tự như bài 1 – 80 Bài 12 – 81 làm tương tự như bài 14 Tìm cách giải khác. * Rút kinh nghiệm giờ dạy. – Học sinh đã biết cách giải. – Chú ý cách phân tích cấu tạo số ở bài 2. * Nhận xét của nhóm dự giờ * Nhận xét của Ban giám hiệu
Sáng Kiến Kinh Nghiệm Rèn Kỹ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Cho Học Sinh Lớp 8
Xuất phát từ mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao. Để tạo ra lớp người như vậy ta cần đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh. Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với từng môn học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tế, làm thế nào mà các em cảm thấy hứng thú khi học và nhất là học môn toán.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong chương trình Giáo dục phổ thông hiện nay nhìn chung tất cả các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng .Đặc biệt là môn toán, các em tiếp thu trên tinh thần toán học hiện đại. trong đó có nội dung xuyên suốt quá trình học tập của các em đó là phương trình. Ngay từ ngày đầu đến trường các em đã được làm quen với phương trình dưới dạng đơn giản
I. PHẦN MỞ ĐẦU I.Lí do chọn đề tài: 1. Cơ sở lí luận Xuất phát từ mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao. Để tạo ra lớp người như vậy ta cần đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh. Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với từng môn học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tế, làm thế nào mà các em cảm thấy hứng thú khi học và nhất là học môn toán. 2. Cơ sở thực tiễn Trong chương trình Giáo dục phổ thông hiện nay nhìn chung tất cả các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng .Đặc biệt là môn toán, các em tiếp thu trên tinh thần toán học hiện đại. trong đó có nội dung xuyên suốt quá trình học tập của các em đó là phương trình. Ngay từ ngày đầu đến trường các em đã được làm quen với phương trình dưới dạng đơn giản Cụ thể * Ở lớp 1 các em được làm quen với phương trình ở dạng tìm số thích hợp vào ô trống: 6 - □ = 3 * lớp 2, 3 các em đã được làm quen với dạng phức tạp hơn: Tìm x biết: x + 1 + 3 =8 * Lên lớp 4, 5, 6, 7 các em làm quen với dạng tìm x biết : x : 4 = 12: 2 x. 3 -4 = 12 3x + 12 = 21 x - 3,5 = Các dạng toán như trên học sinh chỉ cần tìm được ẩn x là hoàn thành nhiệm vụ Lên lớp 8, lớp 9 các bài toán trong chương trình đại số về phương trình không đơn giản như vậy nữa, mà bài toán phải cần có lời. Các em căn cứ vào lời lời bài toán đã cho phải tự mình thành lập lấy phương trình và giải phương trình. kết quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kĩ năng giải phương trình mà còn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập phương trình. Trong quá trình giảng dạy toán tại trường THCS tôi nhận thấy dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình luôn luôn là dạng toán cơ bản. Dạng toán này không thể thiếu được trong các bài kiểm tra, đa số học sinh bị mất điểm ở bài này vì không nắm chắc cách giải, cũng có học sinh biết làm nhưng không đạt điểm tối đa vì: Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác. Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình Lời giải thiếu chặt chẽ. Giải phương trình chưa đúng. Quên đối chiếu điều kiện. Thiếu đơn vị Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các loại bài tập này tránh những sai lầm học sinh hay mắc phải. Do đó, khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên quy tắc chung là: Yêu cầu về giải bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, cần phải xác định được dạng toán, mối quan hệ giữa các đại lượng từ đó học sinh tìm lời giải cho bài toán Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ thông tôi mạnh dạn viết đề tài " Rèn kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình " cho học sinh lớp 8 Để giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng giải toán bằng cách lập phương trình, để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình toán THCS đều nắm chắc loại toán này và biết cách giải chúng, và đặc biệt yêu thích môn toán hơn, không còn ngại đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình. Học sinh thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và nhất là đối với thực tiễn cuộc sống II. PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận Rèn là : luyện với lửa trở thành khí cụ. Kĩ năng là : năng lực khéo léo khi làm việc nào đó. Rèn kĩ năng là: rèn luyện kĩ năng trong công việc để trở thành khéo léo, chính xác khi thực hiện công việc ấy. Rèn kĩ năng giải toán là rèn và luyện trong việc giải toán để trở thành kéo léo, chính xác khi tìm ra kết quả bài toán Giải toán bằng cách lập phương trình là phép biến đổi đại số để tìm đại lượng chưa biết thoả mãn điều kiện bài cho. *Bước 1 : Lập phương trình ( gồm các công việc sau): - Gọi ẩn số (ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện cho ẩn - Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết - Lập phương trình diễn đạt quan hệ giữa các lượng trong bài toán *Bước 2: Giải phương trình : Tuỳ từng phương trình mà chọn cách giải phù hợp ngắn gọn *Bước 3: Nhận định kết quả rồi trả lời: ( chú ý đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra, thử lại vào đề toán) Kết luận: đối với học sinh giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học . giải toán giúp cho học sinh củng cố và nắm vững tri thức, phát triển tư duy và hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào trong thực tiễn cuộc sống. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài toán góp phần thực hiện tốt các mục đích dạy học toán trong nhà trường, đồng thời quyết định đối với chất lượng dạy học. Các nội dung cụ thể trong đề tài : Yêu cầu về giải một bài toán: *Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ. Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức, phương pháp suy luận và kĩ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện của ẩn và xem xét đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn xem đã hợp lí chưa. Ví dụ: ( sgk Đại số 8 ) Mẫu số của phân số gấp bốn lần tử số của nó. Nếu tăng cả tử lẫn mẫu lên 2 đơn vị thì được phân số . Tìm phân số đã cho? Hướng dẫn Thì mẫu số của phân số đã cho là 4x Theo bài ra ta có phương trình: 2. ( x+ 2)= 4x + 2 2x + 4 = 4x + 2 2x = 2 x = 1 x = 1 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy tử số là 1, mẫu số là 4.1 = 4 Phân số đã cho là: *Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Đó là quá trình thực hiện từng bước có lô gic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lí luận chặt chẽ. đặc biệt phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết. xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các giữ kiện đã cho làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình từ đó tìm dược giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn, đâu là giữ kiện? đâu là điều kiện? có thể thoả mãn được điều kiện hay không? điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không? từ đó mà xác định hướng đi, xây dựng được cách giải *Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện Giáo viên hướng dấn học sinh không bỏ qua chi tiết nào. Không được thừa nhưng cũng không được thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp chưa? Nếu thay đổi điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt thì kết quả bài toán vẫn luôn đúng. * Yêu cầu 4 : Lời giải bài toán phải đơn giản. Bài toán phải đảm bảo 3 yêu cầu trên không sai sót , không được thiếu. Có lập luận mang tính toàn diện Ví dụ: Bài toán cổ " Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn Hỏi có mấy con gà, mấy con chó?" Hướng dẫn Với bài toán này nếu giải như sau: Thì số chó sẽ là: 36-x (con) Gà có hai chân nên số chân gà là: 2x chân. Chó có bốn chân chó là: 4.(36-x) chân. Theo bài ra ta có phương trình:2x+4.(36-x)=100 Giải phương trình ta được: x =22 thoả mãn điều kiện. Vậy có 22 con gà Số chó là: 36-22=14(con) Thì bài toán sẽ ngắn gọn, dễ hiểu. Nhưng có học sinh giải theo cách: Gọi số chân gà là x, suy ra số chân chó là 100-x Theo bài ra ta có phương trình: Giải phương trình cũng được kết quả là 22 con gà và 14 con chó. Nhưng đã vô tình biến bài toán thành bài giải khó hiểu hoặc không phù hợp với trình độ của học sinh. * Yêu cầu 5 Lời giải phải trình bày khoa học. Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau. Các bước sau được suy ra từ các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trước. * Yêu cầu 6 Lời giải bài toán phải rõ ràng, đầy đủ, nên kiểm tra lại kết quả Lưu ý đến việc giải các bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng. muốn vậy phải rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần phải thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nhất là đối với phương trình bậc hai b)Phân loại dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình và các giai đoạn giải một bài toán: Phân loại bài toán giải bằng cách lập phương trình Trong số các bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể phân loại thành các dạng như sau: 1/ Dạng bài toán về chuyển động 3/ Dạng toán về năng suất lao động. 4/ Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng 5/ Dạng toán về tỉ lệ chia phần 8/ Dạng toán có chứa tham số Các giai đoạn giải một bài toán * Giai đoạn 1: Đọc kĩ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán * Giải đoạn 3: Lập phương trình Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào các công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được. * Giai đoạn 4: Giải phương trình vận dụng các kĩ năng giải phương trình đã biết để tìm nghiệm của phương trình. *Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình để xác định lời giải của bài toán. Tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra bài toán, với thực tiễn xen có phù hợp không? Sau đó trả lời bài toán. * Giai đoạn 6: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thường để mở rộng cho học sinh tương đối khá, giỏi sửa khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi bài toán thành bài toán khác bằng cách: - Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác. - Giữ nguyên các giữ kiện thay đổi các yếu tố khác - Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất + Ví dụ (SGK đại số 8) Nhà bác Hà thu hoạch được 480kg cà chua và khoai tây. khối lượng khoai gấp ba lần khối lượng cà chua. Tính khối lượng mỗi loại? Hướng dẫn giải * Giai đoạn 1 Giả thiết Khoai + cà chua = 480kg Khoai = 3 lần cà chua Kết luận Tìm khối lượng khoai? Khối lượng cà chua? *Giai đoạn 2: Thường là điều chưa biết gọi là ẩn, nhưng ở bài này cả cà chua và khoai tây đều chưa biết nên có thể gọi ẩn là một trong hai loại đó. Thì khối lượng cà chua sẽ là: 489 - x(kg) *Giai đoạn 3: Vì khối lượng khoai gấp ba lần khối lượng cà chua nên ta có phương trình: x = 3.(480- x) * Giai đoạn 4: Giải phương trình bậc nhất trên ta được x =360(kg) *Giai đoạn 5: Từ đó kết luận: Khối lượng khoai đã thu hoạch được là 360(kg) Khối lượng cà chua đã thu hoạch được là 480 - 360 = 120(kg) *Giai đoạn 6: Nên cho học sinh nhiều cách giải khác nhau do việc chọn ẩn khác nhau dẫn đến lập các phương trình khác nhau từ đó tìm cách giải hay nhất, ngắn gọn nhất như đã trình bày ở trên Có thể từ bài toán trên xây dựng thành bài toán tương tự như sau: Một phân số có tổng tử và mẫu là 480.Biết rằng mẫu gấp ba lần tử số. Tìm phân số đó. Hoặc bài toán : Tuổi của cha gấp ba lần tuổi của con, biết rằng tuổi của con bằng 12. Tìm tổng số tuổi của cả cha và con III. PHẦN KẾT LUẬN Cuối năm các em đã quen với dạng toán " giải bài toán bằng cách lập phương trình "đã nắm được các dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết trình bày đầy đủ khoa học, lời giải chặt chẽ, rõ ràng, các em bình tĩnh, tự tin và cảm thấy thích thú khi giải loại toán này. Do điều kiện và kinh nghiệm còn hạn chế, các tài liệu tham khảo chưa đầy đủ nên chắc chắn còn những điều thiếu sót, những lời giải chưa hay chưa phải là ngắn gọn nhất. Nhưng tôi mong rằng đề tài này ít nhiều cũng giúp cho học sinh hiểu kĩ hơn về loại toán giải bài toán bằng cách lập phương trình . Bằng kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ thông, nhất là những bài học rút ra sau những tiết dự giờ thăm lớp của đồng nghiệp tôi đã mạnh dạn viết đề tài này Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong ban giám hiệu nhà trường, cảm ơn các đồng chí trong tổ chuyên môn trường THCS Cao Bá Quát đã giúp tôi hoàn thành đề tài này. Rất mong được sự chỉ bảo góp ý của các đồng chí chuyên môn phòng giáo dục đào tạo, cũng như của các đồng nghiệp để vốn kinh nghiệm giảng dạy của tôi được phong phú. TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa lớp 8 Sách giáo viên lớp 8 Sách tham khảo Báo thế giới trong taGiải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8
I.Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8 chọn lọc (đề)
Bài 2: Tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Tìm hai số đó ?
A. 2;4 B. 4;6C. 6;8 D. 8;10
Bài 3: Trong mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài mảnh đất hơn chiều rộng 3cm. Chu vi mảnh đất là 100cm. Chiều rộng hình chữ nhật là:
A. 23,5cm B. 47cmC. 100cm D. 3cm
A. 1h B. 2hC. 3h D. 4h
A. 20km/h B. 20km/hC. 25km/h D. 30km/h
A. 12km /h B. 15km/hC. 20km/h D. 16km/h
A. 38 B. 35C. 30 D. 40
A. 270 km B. 200kmC. 240 km D. 300km
A. 20km/h B. 25km/hC. 27 km /h D. 30km/h
II.Giải bài tập lớp 8 chọn lọc (hướng dẫn giải)
Câu 1: Hướng dẫn chi tiết giải toán 8:
20km/h25km/h. 27 km /h30km/h
X là số tuổi của mẹ hiện tại (Tuổi) (x ∈ N)
→ số tuổi của mẹ là x + 24 (Tuổi)
Theo bài ra ta có: 3(x + 2) = x + 24 + 2
⇔ 3x + 6 = x + 26
⇔ 2x – 20 = 0
⇔ x = 10
Vậy hiện tại tuổi con là 10
Chọn đáp án B.
Câu 2: Hướng dẫn chi tiết
Gọi 2 số chẵn liên tiếp cần tìm là x; x + 2 (x chia hết 2; x ∈ N)
Theo bài ra ta có: x(x + 2) = 24 ⇔ x2 + 2x – 24 = 0
Vậy hai số đó là 4; 6.
Câu 3: Hướng dẫn chi tiết
→ Chiều dài hình chữ nhật là x + 3(cm)
Theo đề bài, ta có:
2[ x + (x + 3) ] = 100 ⇔ 2x + 3 = 50 ⇔ x = 23,5
Vậy chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là 23,5cm
Chọn đáp án A.
Câu 4: Hướng dẫn chi tiết
⇒ t + 6 ( h ) là thời gian kể từ lúc xe đạp đi đến lúc xe hơi đuổi kịp.
+ Quãng đường xe đạp đi được là s1 = 15( t + 6 ) km.
+ Xe hơi đi được quãng đường là s2 = 60t km.
Hai xe xuất phát cùng 1 điểm (A) nên khi gặp nhau s1 = s2.
Khi đó ta có: 15(t + 6) = 60t ⇔ 60t – 15t = 90 ⇔ t = 2(h) (thỏa mãn)
Sau 2 giờ xe hơi bắt kịp xe đạp.
Chọn đáp án B.
Câu 5: Hướng dẫn chi tiết
x(km/h) là vận tốc trung bình của người đó đi được
a là nửa quãng đường AB là: (km)
Khi đó ta có:
+ Nửa quãng đường đầu là: (h)
+ Nửa quãng đường còn lại là: (h)
→ Đi hết quãng đường AB là
Do đó ta có:
Vậy vận tốc cần tìm là 24km/h
Câu 6: Hướng dẫn chi tiết
Giải phương trình:
Vận tốc của xe đạp đi từ A đi đến B là 12km/h.
Chọn đáp án A
Câu 7: Hướng dẫn chi tiết
Bước 1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (thường chọn đại lượng đề bài yêu cầu làm ẩn)
+ Biểu diễn tất cả các đại lượng khác qua ẩn vừa chọn.
+ Sau đó hãy lập phương trình và biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho.
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: So sánh với điều kiện của bài, đưa ra kết quả là kết luận cuối cùng.
Vậy lớp sẽ có 40 học sinh
Câu 8: Hướng dẫn chi tiết
Chọn đáp án C
Câu 9: Hướng dẫn chi tiết
Thời gian ô tô tải đi từ A đến B là (giờ)
Thời gian xe con đi từ A đến B là (giờ)
Vì xe con xuất phát sau xe tải 1 giờ 30 phút = giờ nên ta có phương trình:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy AB dài 270km.
Chọn đáp án A
Câu 10: Hướng dẫn chi tiết
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là (giờ)
x-3 là vận tốc ca nô đi ngược dòng (km/h)
Ca nô di chuyển từ điểm B đến địa điểm gặp bè có quãng đường là : 40 – 8 = 32 km
Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là: (giờ)
Thời gian bè trôi là:
Ta có phương trình:
Bạn đang xem bài viết Sáng Kiến Kinh Nghiệm Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Ở Chương Trình Lớp 8, Lớp 9 trên website Maiphuongus.net. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!