Cập nhật thông tin chi tiết về Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng mới nhất trên website Maiphuongus.net. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Hình 1. Hình chiếu của đường lên mặt
Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.
Để tìm hình chiếu $Delta$ của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ ta tiến hành các bước sau
Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( P right)$ là ${vec n_P}$ và ${vec u_d}.$
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $Delta = left( alpha right) cap left( P right).$
Ví dụ.
Cho $left( d right):left{ begin{array}{l} x = 1 – t\ y = 2 + 2t\ z = – 1 – t end{array} right.$ và $left( P right):x – y + z – 1 = 0.$
Viết phương trình tham số của đường thẳng $Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.
Giải. Bước 1. Gọi $left( alpha right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( alpha right)$ là ${vec u_d} = left( { – 1;2; – 1} right),{vec n_P} = left( {1; – 1;1} right)$. Suy ra ${vec n_alpha } = left[ {{{vec u}_d},{{vec n}_P}} right] = left( {1;0 – 1} right).$ Chọn $Mleft( {1;2; – 1} right) in d subset left( alpha right).$
Phương trình của mặt phẳng $left( alpha right)$ là $left( {x – 1} right) + 0left( {y - 2} right) – 1left( {z + 1} right) = 0 Leftrightarrow x – z – 2 = 0.$
Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ là $Delta = left( alpha right) cap left( P right).$
Do đó phương trình tổng quát của $Delta$ là $left( Delta right):left{ begin{array}{l} x – y + z – 1 = 0\ x – z – 2 = 0 end{array} right..$
Từ đây ta có cặp vector pháp tuyến của $Delta$ là ${vec n_1} = left( {1, – 1;1} right),{vec n_2} = left( {1,0; – 1} right) Rightarrow {vec u_Delta } = left[ {{{vec n}_1},{{vec n}_2}} right] = left( {1;2;1} right).$ Từ phương trình tổng quát của $Delta$ ta thay $x = 0 Rightarrow y = – 3,z = – 2 Rightarrow Aleft( {0; – 3; – 2} right) in Delta .$
Suy ra phương trình tham số của $Delta$ là $$left( Delta right):left{ begin{array}{l} x = t\ y = – 3 + 2t\ z = – 2 + t end{array} right..$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc Của Một Điểm Lên Một Mặt Phẳng
Để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng (P) cho trước thì trong bài giảng này thầy sẽ chia sẻ với chúng ta 02 cách làm. Đó là cách làm theo kiểu tự luận và công thức trắc nghiệm nhanh. Tuy nhiên cách giải tự luận sẽ giúp chúng ta hiểu rõ bản chất, còn công thức giải nhanh thì có thể quên bất cứ khi nào.
Bài toán:
Cho mặt phẳng (P): $Ax+By+Cz+D=0$ và một điểm $M(x_0;y_0;z_0)$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).
Đường thẳng d có phương trình là: $left{begin{array}{ll}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ctend{array}right.$
Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là H. Ta sẽ có H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).
Tọa độ điểm H chính là nghiệm của hệ phương trình:
$left{begin{array}{ll}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ct\Ax+By+Cz+D=0end{array}right.$
Ví dụ 1: Cho điểm $M(1;2;3)$ và mặt phẳng (P) có phương trình là: $2x+3y-z+9=0$. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P).
Hướng dẫn:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $vec{n}(2;3;-1)$
Gọi d là đường thẳng di qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đo đường thẳng d sẽ nhận $vec{n}(2;3;-1)$ làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng d là: $left{begin{array}{ll}x=1+2t\y=2+3t\z=3-t end{array}right.$
Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó điểm H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P). Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình sau:
$left{begin{array}{ll}x=1+2t\y=2+3t\z=3-t\2x+3y-z+9=0 end{array}right.$
Vậy tọa độ điểm H là: $H(-1;-1;4)$
Phương pháp 2: Áp dụng công thức tính nhanh tọa độ hình chiếu của điểm
Công thức tính nhanh tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Ak\y_H=y_0+Bk\z_H=z_0+Ckend{array}right.$
Với $k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$
Tại sao có công thức này thì thầy có thể giải thích như sau:
Theo cách làm ở phương pháp 1 thì tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
$left{begin{array}{ll}x=x_0+Ak\y=y_0+Bk\z=z_0+Ck\Ax+By+Cz+D=0end{array}right. kin R$
Thay 3 phương trình đầu tiên trong hệ vào phương trình thứ 4 ta sẽ có:
$A(x_0+Ak)+B(y_0+Bk)+C(z_0+Ck)+D=0$
$k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$
Với k được xác định như vậy đó.
Mặt phẳng (P): $2x+3y-z+9=0$ có $A=2; B=3; C=-1$
Tọa độ điểm $M(1;2;3)$
$k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$
Tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Ak\y_H=y_0+Bk\z_H=z_0+Ckend{array}right.$
Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là $H(-1;-1;4)$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa:
Nếu đường thẳng a vuông góc với (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900 .
Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P).
Kí hiệu: $widehat {left( {a,(P)} right)}$.
Chú ý: $widehat {left( {a,(P)} right)} = widehat {left( {a,a’} right)}$ với a’ là hình chiếu của a trên (P).
Hệ quả:
${0^0} le widehat {left( {a,(P)} right)} le {90^0}.$
$widehat {left( {a,(P)} right)} = {0^0}$ khi và chỉ khi a//(P) hoặc $a subset (P)$.
$widehat {left( {a,(P)} right)} = {90^0} Leftrightarrow a bot (P).$
2. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Phương pháp 1. (Phương pháp hình học)
+ Tìm $I=dcap (P)$
+ Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P)
+ $(d,(P))=widehat{AIH}$
Phương pháp 2. (Phương pháp vec tơ)
+ Gọi $overrightarrow u = (a;b)$ là véc tơ chỉ phương của đướng thẳng a.
+ Gọi $overrightarrow n = (A;B)$ là véc tơ pháp tuyến của (P).
II.Ví dụ minh họa
A. Sử dụng phương pháp hình học
Ví dụ 1.
Cho hình chóp chúng tôi đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=asqrt{6}$. Tính sin của góc giữa:
a). SC và (SAB)
b). AC và (SBC)
Giải
a).Ta có: $BCbot ABtext{ (gt)}$ và $SAbot BC$ (vì $SAbot (ABCD)$)$Rightarrow $$BCbot (SAB)$ do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB) $Rightarrow (SC,(SAB))=widehat{BSC}$. Ta có: $begin{align}
& Rightarrow sin (SC,(SAB))=sin widehat{BSC}= \
& =frac{BC}{SC}=frac{a}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}$
b) Trong mp(SAB) kẻ $AHbot SBtext{ (H}in text{SB)}$. Theo a) $BCbot (SAB)Rightarrow AHbot BC$ nên $AHbot (SBC)$ hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC) $Rightarrow (AC,(SBC))=widehat{ACH}$.
+ Xét tam giác vuông SAB có: $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{S{{A}^{2}}}=frac{7}{6{{a}^{2}}}Rightarrow AH=a.sqrt{frac{6}{7}}$
+ Vậy $sin (AC,(SBC))=sin widehat{ACH}=frac{AH}{AC}=frac{sqrt{21}}{7}$
Ví dụ 2.
Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $(SAB)bot (ABCD)$, H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Giải
+ Ta có: $AH=frac{1}{2}AB=frac{a}{2},$ $SA=AB=a$, $SH=HC=sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=frac{asqrt{5}}{2}$.
Vì $S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}=frac{5{{a}^{2}}}{4}=A{{H}^{2}}$ nên tam giác SAH vuông tại A hay $SAbot AB$ mà $(SAB)bot (ABCD)$ . Do đó, $SAbot (ABCD)$ và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD).
+ Ta có: $(SC,(ABCD))=widehat{SCA}$, $tan widehat{SCA}=frac{SA}{AC}=frac{sqrt{2}}{2}$. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng $frac{sqrt{2}}{2}$.
Ví dụ 3.
Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
Giải
Gọi H là trung điểm của BC suy ra: $AH = BH = CH = frac{1}{2}BC = frac{a}{2}$.
Ta có: $SH bot (ABC) Rightarrow SH = sqrt {S{B^2} – B{H^2}} = frac{{asqrt 3 }}{2}$
$widehat {(SA,(ABC))} = widehat {SAH} = alpha $
$ Rightarrow tan alpha = frac{{SH}}{{AH}} = sqrt 3 Rightarrow alpha = {60^0}$.
Vậy chọn: A.
Ví dụ 4.
Cho hình chóp chúng tôi , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD) . Biết SA = a(√6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD) .
A. 30° B. 45° C. 60° D.90°
Giải
Ta có: $SA bot (ABCD) Rightarrow SA bot AC$
$ Rightarrow widehat {(SC,(ABCD))} = widehat {SCA} = alpha $
Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên $AC = asqrt 2 ,SA = frac{{asqrt 6 }}{3}$
$ Rightarrow tan alpha = frac{{SA}}{{AC}} = frac{{sqrt 3 }}{3} Rightarrow alpha = {30^0}$
Vậy chọn A.
Ví dụ 5.
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
A. 60° B.90° C. 45° D. 30°
Giải
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)
⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) =$widehat {SAH}$
Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH
Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH
Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ $widehat {SAH}$ = 45°
B. Sử dụng phương pháp véc tơ
(Xem phần 2)
III. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a ; BD = 2AC . Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO ⊥ (ABCD) . Biết tan(SBO) = 1/2. Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD)
A. 30° B.45° C. 60° D. 90°
Câu 2. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điể BC . Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
A. 30° B.45° C. 60° D. 75°
Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:
A. 45° B. 120° C. 90° D. 65°
Câu 4. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $alpha = {60^0}$ B. $alpha = {30^0}$
C. $cos alpha = frac{{sqrt 6 }}{4}$ D. $sin alpha = frac{{sqrt 6 }}{4}$
Câu 5. Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = ${asqrt 6 }$. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
A. $alpha = {60^0}$ B. $alpha = {30^0}$
C. $ alpha ={45^0} $ D. $cos alpha = frac{{sqrt 3 }}{3}$
Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi α là góc giữa AC’ và mp(A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $alpha = {30^0}$ B. $alpha = {45^0}$
C. $tan alpha = frac{2}{{sqrt 3 }}$ D. $tan alpha = sqrt 2 $
Câu 7. Cho hình chóp chúng tôi đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) là?
A. $tan beta = sqrt 2 $ B. $tan beta = sqrt 5 $
C. $tan beta = 3 $ D. $tan alpha = 2 $
Câu 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. AB=a, AD=2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy ABCD bằng 600 . Tính độ dài SA?
A. $SA = asqrt 5 $ B. $SA = asqrt 3 $
C. $SA = asqrt 15 $ D. $SA = asqrt 13 $
Câu 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính độ dài SA để góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 .
A. $SA = asqrt 5 $ B. $SA = asqrt 3 $
C. $SA = asqrt 6 $ D. $SA = asqrt 2 $
Câu 10. Cho hình chóp SABC có SA = a, SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông cân tại B, góc $widehat {ACB} = {30^0}$, AC=2a. Tính $tan alpha $ góc giữa SC và mặt phẳng (SAB).
A. $tan alpha = frac{{sqrt 5 }}{2}$ B. $tan alpha = frac{{sqrt 6 }}{2}$
C. $tan alpha = frac{{1 }}{2}$ D. $tan alpha = frac{{sqrt 3 }}{2}$
———————————-
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng-p2.
Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian-p1.
Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian-p2.
Hình Chiếu Là Gì? Phân Loại Hình Chiếu Và Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc
Hình chiếu là gì? Phân loại hình chiếu và quan hệ giữa đường vuông góc
Hình chiếu là gì? Nghe có vẻ rất đơn giản vì đây là kiến thức của Toán Học lớp 7. Nhưng không phải ai cũng có thể hiểu về khái niệm này một cách chính xác.
Hình chiếu là gì?
Hình chiếu là hình biểu diễn ba chiều của vật lên mặt phẳng hai chiều. Yếu tố cơ bản giúp tạo nên hình chiếu chính là vật cần chiếu, phép và mặt phẳng chiếu.
Hình chiếu của một đoạn thẳng nằm trên đường thẳng chính là khoảng cách giữa hai đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho trước. Hình chiếu của một điểm tức là giao điểm của đường thẳng đã cho trước, và đường thẳng kẻ từ điểm vuông góc.
Phân loại hình chiếu
1. Hình chiếu thẳng góc
Đây là loại hình biểu diễn theo cách đơn giản, hình dạng, kích thước của vật thể đã được bảo toàn và cho phép thể hiện hình dạng, kích thước vật thể một cách chính xác.
Với mỗi hình chiếu thẳng góc sẽ chỉ thể hiện được hai chiều. Nên chúng ta cần phải dùng đến nhiều hình chiếu để biểu diễn nhất là đối với những vật thể phức tạp. Có ba hình chiếu phổ biến đó là: Hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng.
2. Hình chiếu trục đo
Hình chiếu này có thể biểu diễn được hết ba chiều của vật thể lên trên mặt phẳng chiếu. Và các tia chiếu song song với nhau. Sẽ tùy vào phương chiếu là vuông góc hay xiên góc. Theo sự tương quan của ba chiều, sẽ được phân ra các loại hình chiếu như sau:
a. Hình chiếu trục đo vuông góc
Hình chiếu trục đo vuông góc, có đều ba hệ số biến dạng với ba trục bằng nhau
Hình chiếu trục đo vuông góc sẽ cân hai trong ba hệ số biến dạng, có từng đôi một bằng nhau
Hình chiếu trục đo vuông góc sẽ lệch ba hệ số biến dạng, với ba chục không bằng nhau
b. Hình chiếu trục đo xiên góc
Hình chiếu trục đo xiên góc đều
Hình chiếu trục đo xiên góc cân
Hình chiếu trục đo xiên góc lệch
Tam giác hình chiếu là gì?
Tam giác hình chiếu hay còn được gọi là tam giác bàn đạp tại điểm P với tam giác đã cho trước và có ba đỉnh là hình chiếu của điểm P lên ba cạnh của tam giác.
Ta xét tam giác ABC, điểm P trên mặt phẳng không trùng với điểm A, B, C. Các giao điểm của ba đường thẳng đi qua P và kẻ vuông góc với điểm của ba cạnh tam giác BC, CA, AB sẽ lần lượt là L,M,N, đồng thời LMN sẽ là tam giác bàn đạp tương ứng với điểm P trong tam giác ABC.
Với mỗi điểm P sẽ có một tam giác bàn đạp khác nhau, ví dụ:
Nếu P = trực tâm, thì LMN = tam giác orthic
Nếu P = tâm nội tiếp, thì LMN = tam giác tiếp xúc trong
Nếu P = tâm ngoại tiếp, thì LMN = tam giác trung bình
Khi P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, lúc này tam giác bàn đạp sẽ trở thành một đường thẳng.
Quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên, và đường xiên với hình chiếu
Cho một điểm A nằm bên ngoài đường thẳng d, sau đó kẻ một đường thẳng vuông góc tại điểm H và trên d lấy điểm B không trùng với điểm H. Ta có:
Đoạn thẳng AH: Được gọi là đoạn vuông góc hay còn là đường vuông góc bắt đầu kẻ từ A đến đường thẳng d
Điểm H: Là đường xiên góc bắt đầu kẻ từ A đến đường thẳng d
Đoạn thẳng AB: Là đường xiên góc bắt đầu kẻ từ điểm A đến đường thẳng d
Đoạn thẳng HB: Là hình chiếu của đường xiên góc AB ở trên đường thẳng d
Định lý 1: Trong các đường xiên góc và trong đường vuông góc kể từ điểm nằm ngoài đường thẳng, cho đến đường thẳng đó, đường vuông góc sẽ là đường ngắn nhất.
Định lý 2: Trong hai đường xiên góc kể từ điểm nằm ngoài đường thẳng cho đến đường thẳng đó:
Đường xiên góc có hình chiều lớn hơn, tương đương sẽ lớn hơn.
Đường xiên góc lớn hơn, sẽ có hình chiếu lớn hơn.
Hai đường xiên góc bằng nhau, hai hình chiếu sẽ bằng nhau. Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên góc bằng nhau.
Đây đều là những kiến thức vô cùng cần thiết và quan trọng cho các bạn học sinh để áp dụng vào các bài toán trong chương trình học của mình. Hãy thường xuyên luyện tập các kỹ năng thực hành giải toán chắc chắn bạn sẽ trở thành một học sinh ưu tú.
2.6
/
5
(
5
bình chọn
)
Bạn đang xem bài viết Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng trên website Maiphuongus.net. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!