Xem Nhiều 1/2023 #️ Hai Quy Tắc Đếm Cơ Bản (Phương Pháp Giải Bài Tập) # Top 4 Trend | Maiphuongus.net

Xem Nhiều 1/2023 # Hai Quy Tắc Đếm Cơ Bản (Phương Pháp Giải Bài Tập) # Top 4 Trend

Cập nhật thông tin chi tiết về Hai Quy Tắc Đếm Cơ Bản (Phương Pháp Giải Bài Tập) mới nhất trên website Maiphuongus.net. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.

A. TỔ HỢP §1. HAI QUI TẮC ĐẾM CƠ BẢN B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo) ?

Giải

Theo qui tắc cộng ta có 5 + 4 = 9 cách chọn áo sơ mi

2. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ?

Giải

Chữ số hàng chục có thể chọn trong các chữ số có 2, 4, 6, 8; do đó có 4 cách chọn. Chữ số hàng đơn vị có thể chọn trong các chữ số 0, 2, 4, 6, 8; do đó có 5 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, ta có 4.5 = 20 số có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn.

3. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.

a) Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

Giải

a) Theo qui tắc cộng, nhà trường có : 280 + 325 = 605 cách chọn

b) Theo qui tắc nhân, nhà trường có : 280 . 325 = 91.000 cách chọn

Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên ?

a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau) ?

b) Có 4 chữ số khác nhau ?

Giải

a) Số có 4 chữ số thỏa yêu cầu có dạng $overline{abcd}$

a có 4 cách chọn, b có 4 cách chọn, c có 4 cách chọn và d có 4 cách chọn

Vậy theo qui tắc nhân ta có 4.4.4.4 = 256 cách chọn.

b) Số thỏa yêu cầu có dạng $overline{abcd}$

a có 4 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn, d có 1 cách chọn.

Vậy ta có 4.3.2.1 = 24 số cần tìm.

C. BÀI TẬP LÀM THÊM

1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?

ĐS: Có 4.7.6 = 168 số

2. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là chẵn ?

ĐS: Có 5.4 = 20 số

3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5 ?

ĐS: Có 2.9.$10^{4}$ = 180.000 số

4. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D.

Đs: 12

Hai Quy Tắc Đếm Cơ Bản

A. KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CĂN BẢN §1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1.1. Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo hai phương án A hoặc B. Phương án A có thể thực hiện bằng n cách, phương án B có thể thực hiện bằng m cách. Khi đó, công việc đó có thể được thực hiện bằng m + n cách.

Ví dụ 1.

Bạn muốn mua một cây bút (bút mực hoặc bút chì). Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Như thế, bạn có bao nhiêu cách lựa chọn?

Giải.

Có 8 cách chọn mua một cây bút mực. Có 8 cách chọn mua một cây bút chì. Vậy theo quy tắc cộng, có 8 + 8 = 16 cách chọn mua một cây bút (mực hoặc chì).

1.2. Quy tắc nhân

Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bằng n cách, công đoạn B có thể thực hiện bằng m cách. Khi đó, công việc đó có thể được thực hiện bằng m.n cách.

Ví dụ 2.

Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số được thành lập từ 6 chữ số đó ?

Giải.

Để lập chữ số thứ nhất, có 6 cách. Để lập chữ số thứ hai, có 6 cách. Để lập chữ số thứ ba, có 6 cách. Vậy theo quy tắc nhân, số các số gồm 3 chữ số lập từ 6 chữ số là 6.6.6 = 216.

Ví dụ 3.

Tìm số tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10.

Giải.

Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số 0 sao cho số phải tìm chia hết cho 10. Sau khi chọn chữ số 0 ở hàng đơn vị còn lại 9 chữ số vậy có 9 cách chọn chữ số hàng chục. Tương tự, sau khi chọn hàng chục có 8 cách chọn chữ số hàng trăm, 7 cách chọn chữ số hàng nghìn, và 6 cách chọn chữ số hàng vạn. Theo quy tắc nhân, có

9.8.7.6 = 3168 cách chọn.

Vậy có 3168 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10.

Ví dụ 4.

Cho hai tập hợp A = {$a_{1}$, $a_{2}$, … $a_{n}$}, B = {$b_{1}$, $b_{2}$, …, $b_{n}$}.

Tập hợp A . B = {($a_{i}$, $b_{i}$) / $a_{i}$ $in$ A ; $b_{i}$ $in$ B} được gọi là tích Descartes của 2 tập A và B.

Hỏi tập tích A . B có bao nhiêu phần tử ?

Giải.

Mỗi phân tử của A . B có dạng (a, b), với a $in$ A và b $in$ B. Để có a, ta có n cách chọn từ n phần tử của A. Tương tự, để có b, ta có m cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, có m . n cách chọn (a, b).

Do đó, tập tích A . B có n . m phần tử.

Nhận xét. Tổng quát, cho k tập hợp : $A_{1}$ có $n_{1}$ phần tử ; $A_{2}$ có $n_{2}$ phần tử ; …; $A_{k}$ có $n_{k}$ phần tử. Tích Descartes của k tập hợp này là

Ví dụ 5.

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5. Từ các chữ số này, ta có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từng đôi một ?

Giải

Gọi số phải tìm là $overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$. Có 2 trường hợp:

+ Nếu $a_{4}$ = 0 thì có 5 cách chọn $a_{1}$ $in$ {1,2,3,4,5}, có 4 cách chọn $a_{2}$ $in$ {0,1,2,3,4,5} {$a_{1}$, $a_{6}$}, có 3 cách chọn:

$a_{3}$ $in$ {0,1,2,3,4,5} {$a_{1}$, $a_{2}$, $a_{6}$}.

Vậy trường hợp này có 5.4.3 = 60 cách.

+ Nếu $a_{4}$ $neq$ 0: có 2 cách chọn $a_{4}$, có 4 cách chọn $a_{1}$, có 4 cách chọn $a_{2}$, có 3 cách chọn $a_{3}$. Vậy trường hợp này có 2.4.4.3 = 96 cách.

Theo quy tắc cộng ta có 156 cách. Vậy có 156 số phải tìm

BÀI TẬP

2.1. Cho 6 chữ số 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hỏi có bao nhiêu số khác nhau gồm 3 chữ số được thành lập từ 6 chữ số đó?

2.2. Hãy tìm số tất cả các số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đó đều là hai số chẵn.

2.3. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau (số hàng nghìn khác 0)?

2.4. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5. Từ các chữ số đã cho ta lập được bao nhiêu số chia hết cho 5, biết rằng số này có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau từng đôi một ?

2.5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5?

HƯỚNG DẪN GIẢI

2.1. Để lập chữ số thứ nhất, có 6 cách. Để lập chữ số thứ hai, có 5 cách. Để lập chữ số thứ ba, có 4 cách. Vậy số các số gồm 3 chữ số lập từ 6 chữ số là 6.5.4 = 120.

2.2. Chữ số thứ nhất được chọn trong 4 số 2, 4, 6, 8. Chữ số thứ hai được chọn trong 5 số 0, 2, 4, 6, 8. Vậy số các số tự nhiên hai chữ số mà hai chữ số đó đều là hai số chẵn là 20.

2.3. Có 5 cách chọn chữ số lẻ 1, 3, 5, 7, 9 để chọn hàng đơn vị. Sau khi chọn hàng đơn vị có 8 cách chọn chữ số khác 0 và khác hàng đơn vị để chọn hàng nghìn, sau đó có 8 cách chọn hàng trăm, có 7 cách chọn hàng chục.

Vậy có 5.8.8.7 = 2240 số phải tìm.

2.4. Gọi số phải tìm là $overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$. Có hai trường hợp:

+ Nếu $a_{3}$ = 0 ta có 5 cách chọn $a_{1}$, có 4 cách chọn $a_{2}$.

Vậy trong trường hợp này có 5.4 = 20 cách chọn.

+ Nếu $a_{3}$ = 5 ta có 4 cách chọn $a_{1}$, có 4 cách chọn $a_{2}$

Vậy trong trường hợp này có 4.4 = 16 cách chọn.

Theo quy tắc cộng ta có 20 + 16 = 36 cách. Vậy có 36 số.

2.5. Số phải tìm có dạng $overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$

Có 5 cách chọn $a_{1}$ $in$ {1,2,3,4,5}.

Có 5 cách chọn $a_{2}$ $in$ {0,1,2,3,4,5} {$a_{1}$}.

Có 4 cách chọn $a_{3}$ $in$ {0,1,2,3,4,5} {$a_{1}$, $a_{2}$}

Có 3 cách chọn $a_{4}$ $in$ {0,1,2,3,4,5} {$a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$}.

Tương tự có 2 cách chọn $a_{5}$.

Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số.

Quy Tắc Đếm: Quy Tắc Cộng Và Quy Tắc Nhân

QUY TẮC ĐẾM: QUY TẮC CỘNG

Giả sử chúng ta có một công việc có thể chia nhỏ ra thành hai công việc tạm gọi là việc 1 và việc 2. Sao cho mỗi cách thực hiện công việc 1 hay mỗi cách thực hiện của công việc 2  đều khiến 1 cách công việc ban đầu được hoàn thành. Mỗi cách của công việc 1 không trùng lặp cách của công việc 2 và ngược lại. Giả sử công việc 1 có m cách thực hiện. Công việc 2 có n cách thực hiện. Thì công việc ban đầu có m+n cách thực hiện. Quy tắc này có thể áp dụng tương tự cho việc chia nhỏ ra nhiều hơn 2 công việc.

Ví dụ:

Trong 1 lớp học có 11 học sinh nam và 22 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh.

Lời giải:

Việc chọn ra 1 học sinh có thể chia ra làm  hai công việc. Công việc 1 là chọn ra 1 học sinh nữ. Công việc 2 là chọn ra một học sinh nam. Dễ dàng thấy cách chia như vậy thỏa mãn điều kiện của quy tắc cộng. Hơn nữa công việc 1 có 22 cách. Công việc 2 có 11 cách. Vậy công việc chọn ra 1 học sinh có 11+22=33 cách.

Chắc hẳn các bạn đọc đến đây cho rằng quy tắc cộng rất dễ. Không có gì để bận tâm. Nhưng đây chỉ là ví dụ với việc phân chia công việc đơn giản. Còn với công việc phức tạp hơn việc phân chia này lại rất quan trọng. Tới phần tổ hợp các bạn sẽ thấy ý nghĩa của quy tắc này nhiều hơn.

QUY TẮC ĐẾM: QUY TẮC NHÂN

Giả sử chúng ta có một công việc có thể chia nhỏ ra thành hai công việc tạm gọi là việc 1 và việc 2. Sao cho mỗi cách thực hiện công việc 1 đều cần 1 cách thực hiện của công việc 2 để hoàn thành 1 cách của công việc ban đầu. Giả sử công việc 1 có m cách thực hiện. Công việc 2 có n cách thực hiện. Thì công việc ban đầu có m.n cách thực hiện. Quy tắc này cũng có thể áp dụng tương tự cho việc chia nhỏ ra nhiều hơn 2 công việc.

Ví dụ:

Một người đi từ A đến C cần phải đi qua B. Từ A đến B có 4 con đường. Từ B đến C có 5 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách để người đó đi từ A đến C mà chỉ đi qua B đúng 1 lần?

Lời giải:

Ta chia việc đi từ A đến C thành 2 việc. Việc 1 đi từ A đến B. Việc 2 đi từ B đến C. Với mỗi cách đi từ A đến B ta cần 1 cách đi từ B đến C để hoàn thành việc đi từ A đến C. Do đó 2 việc trên thỏa mãn quy tắc nhân. Hơn nữa việc 1 có 4 cách thực hiện. Việc 2 có 5 cách thực hiện. Do đó có 4.5=20 cách đi từ A tới C.

Chuyên đề tổ hợp xác suất P1: Đếm số tự nhiên

Bài tập quy tắc đếm lớp 11 có lời giải

Quy Tắc So Sánh Hai Lũy Thừa Và Logarit Cùng Cơ Số

Nắm vững các quy tắc so sánh hai lũy thừa, hai logarit cùng cơ số không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán về so sánh lũy thừa, logarit mà còn là công cụ hữu hiệu và nhanh chóng để giải các bất phương trình mũ hay logarit dạng đơn giản.

Quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số

Lưu ý học và dạy

1. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Ở các lớp THCS, học sinh đã được học quy tắc về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số và quy tắc này được hoàn thiện thành định lí tường minh trong SGK Giải tích lớp 12. 1

Định lí

Trong hai lũy thừa cùng cơ số lớn hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

Trong hai lũy thừa cùng cơ số nhỏ hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lại nhỏ hơn và ngược lại

Quan sát và so sánh chiều của số mũ với chiều của lũy thừa trong từng trường hợp cơ số lớn hơn 1 và cơ số nhỏ hơn 1. Chúng ta thấy rằng, khi cơ số lớn hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó cùng chiều, còn khi cơ số nhỏ hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó ngược chiều. Do đó, ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng khẩu quyết ngắn gọn là

Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều. Cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều 2

Hãy xem khẩu quyết trên được vận dụng như thế nào trong các bài toán.

Ví dụ 1. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số sau

Nhận xét: Hai lũy thừa cùng cơ số

nên (ngược chiều) lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì nhỏ hơn

Lời giải

* Vì nên .

* Ta có mà nên

Ví dụ 2. Giải bất phương trình

Phân tích

* Việc giải bất phương trình trên có thể xem như là bài toán so sánh hai lũy thừa.

* Tuy nhiên, chúng ta chỉ có quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, trong khi lũy thừa ở mỗi vế chưa cùng cơ số nên đầu tiên ta cần biến đổi hai lũy thừa về cùng một cơ số, sau đó áp dụng quy tắc hay khẩu quyết so sánh trên.

* Dễ thấy rằng, do đó bất phương trình đã cho tương đương với

* Lúc này, chúng ta có hai lũy thừa cùng cơ số lớn hơn 1 nên (cùng chiều) lũy thừa nào lớn hơn thì số mũ lớn hơn. Suy ra

* Bất phương trình đã cho quy về một bất phương trình bậc hai quen thuộc và bài toán được giải.

– Trong khi ví dụ thứ nhất đã cho biết chiều số mũ và cần tìm chiều lũy thừa thì ví dụ hai hỏi ngược lại, cho biết chiều lũy thừa và cần tìm chiều số mũ. Tuy nhiên, dù bài toán có cho “kiểu gì đi chăng nữa”: cho biết chiều số mũ cần tìm chiều lũy thừa hay ngược lại, thì chúng ta cứ nắm vững khẩu quyết “Lớn hơn 1 thì cùng chiều, nhỏ hơn 1 thì ngược chiều” là đều có thể giải được hết!

Tiếp theo chúng ta cùng tìm hiểu quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số và cách vận dụng nó.

2. So sánh hai logarit cùng cơ số

Trước tiên, chúng ta cần phân biệt cơ-số và đối-số trong kí hiệu logarit:

Trong kí hiệu trên, được gọi là cơ số còn được gọi là đối số của logarit và điều kiện của chúng là .

Định lí

Trong hai logarit cùng cơ số lớn hơn 1, logarit nào có đối số lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

Trong hai logarit cùng cơ số nhỏ hơn 1, logarit nào có đối số lớn hơn thì lại nhỏ hơn và ngược lại

Quan sát và so sánh chiều của đối số với chiều của logarit trong từng trường hợp cơ số lớn hơn 1 và cơ số nhỏ hơn 1. Chúng ta thấy rằng, khi cơ số lớn hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó cùng chiều, còn khi cơ số nhỏ hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó ngược chiều. Có thể thấy, định lí này “giống hệt” định lí về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số. Do đó, ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng khẩu quyết ngắn gọn là

Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều. Cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều 4

Xét một vài ví dụ để hiểu hơn về khẩu quyết này, “cứ lớn hơn 1 thì cùng chiều, nhỏ hơn 1 thì ngược chiều”.

Ví dụ 3. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số sau

Phân tích

– Hai logarit cùng cơ số nên (cùng chiều) logarit nào có đối số lớn hơn thì lớn hơn. Do đó ta cần so sánh tiếp hai đối số của chúng.

– Hai logarit và cùng cơ số nên (ngược chiều) logarit nào có đối số lớn hơn thì lại nhỏ hơn. Suy ra

Lời giải

* Vì cơ số và nên

* Vì cơ số và nên

Ví dụ 4. Giải bất phương trình

Phân tích

* Hai logarit cùng cơ số nên (ngược chiều) logarit nào lớn hơn thì đối số lại nhỏ hơn. Suy ra:

* Kết hợp với điều kiện: , bất phương trình đã cho tương đương với hệ:

* Giải hệ bất phương trình bậc hai trên ta tìm được nghiệm của bất phương trình đã cho

– Có thể thấy quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số hoàn toàn giống quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số. Chỉ có một điểm khác nho nhỏ: đối số của logarit tương ứng với số mũ của lũy thừa.

3. Lưu ý học và dạy

– Các quy tắc so sánh hai lũy thừa và hai logarit cùng cơ số đều có thể phát biểu thành 1 quy tắc chung:

“Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều, cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều”

– Học xong các quy tắc so sánh trên là học sinh có thể giải được phần lớn các bài tập về phương trình, bất phương trình mũ và logarit, nên giáo viên có thể khuyến khích, hướng dẫn học sinh tự đọc và làm các bài tập về phần này. Điều đó không chỉ tạo điều kiện phát huy tính tích cực, tự học cho học sinh mà còn là cách củng cố các quy tắc so sánh trên cũng như các kiến thức về lũy thừa và logarit một cách hiệu quả.

– Vì SGK Giải tích 12 chương trình Chuẩn không giới thiệu định lí so sánh hai logarit cùng cơ số, trong khi đó là một nội dung bắt buộc được ghi trong Chuẩn kiến thức kĩ năng nên khi giảng dạy Bài 3. Logarit giáo viên cần lưu ý điều này và giới thiệu định lí trên cho học sinh.

Bạn đang xem bài viết Hai Quy Tắc Đếm Cơ Bản (Phương Pháp Giải Bài Tập) trên website Maiphuongus.net. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!