Cập nhật thông tin chi tiết về Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác mới nhất trên website Maiphuongus.net. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác
A. Phương pháp giải
+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .
+ Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình
+ Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình ; bất phương trình lượng giác đã được học
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho f(x)= sin 2x. Giải phương trình f’ ( x)=0?
Hướng dẫn giải
+ Ta có đạo hàm: f,m ‘ (x)=2cos2x
+ Để f’ ( x)=0 ⇔ 2.cos2x= 0 hay cos2x= 0
A. x≠π/6+kπ B. x≠π/6+k2π C. x≠π/3+kπ D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Điều kiện : x+ π/3≠π/2+kπ hay x≠π/6+kπ
+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:
Ví dụ 3. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y’=0
Hướng dẫn giải
Ví du 4. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y’=0
Hướng dẫn giải
Ví du 5. Cho hàm số: y=2 cos( 2x- π/3). Giải phương trình y’=4
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số đã cho :
Ví dụ 6 Cho hàm số y= x+ sin 2x. Giải phương trình y’= 0
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số là : y’=1+2cos2x
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có đạo hàm: y’=3+2sin2x
Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤sin2x ≤1 ⇔ – 2 ≤2sin2x ≤2
⇔ ≤3+2sin2x ≤5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.
Chọn D.
Ví dụ 8. Cho hàm số y=x 3+ 3x+ sin 3 x. Giải bất phương trình y’ ≥0
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm: y’=3x 2+ 3+ 3sin 2 x. cosx
Với mọi x ta có; cosx ≥ – 1 ⇒ 3sin 2 x.cosx ≥ – chúng tôi 2 x
⇒ 3+ 3sin 2x.cosx ≥ 3- chúng tôi 2 x ⇔ 3+ 3sin 2x.cosx ≥ chúng tôi 2 x ( 1)
Lại có 3x 2 ≥0 ∀ x (2)
Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:
Vậy với mọi x ta luôn có: y’ ≥0
Chọn C.
Ví dụ 9. Cho hàm số y= cos( 2π/3+2x) . Khi đó phương trình y’=0 có nghiệm là:
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ví dụ 10.Cho hàm số y= cot 2 π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y’=0 là:
Hướng dẫn giải
Ví dụ 11. Cho hàm số : y= 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y’= 0
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm : y’= -6 sin3x-6cos2x
Để y’= 0 thì – 6 sin 3x – 6 cos2x= 0
⇔sin3x+ cos2x= 0 ⇔ sin3x= – cos2x
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f’ ( x)=0?
Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx – 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y’=0
Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y’=0
Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos( 4x- π/6). Giải phương trình y’=1
Hiển thị lời giải
Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y’= 2
A. x=π/3+kπ B. x=π/6+kπ C. x=kπ/2 D. x=kπ
Câu 7: Cho hàm số y= x 3 +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^’ ≤0
Hiển thị lời giải
Ta có đạo hàm: y’=3x 2+3+3cos3x
⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)
Chọn B. .
Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin 2 x. Giải bất phương trình y’≥0
Hiển thị lời giải
Điều kiện: x ≥0
Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2
Hiển thị lời giải
Câu 10: Cho hàm số y= tan( x 3 + 3x 2+ 3x+ 9). Giải phương trình y’=0?
A. x= 0 B. x = 2 C. x= -1 D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Điều kiện cos( x 3+3x 2+3x+9)≠0
Chọn C.
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Chuyên Đề Lượng Giác: Phương Trình – Bất Phương Trình – Hệ Phương Trình
ThS. Đoàn Vương Nguyên chúng tôi CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Biểu diễn cung – góc lượng giác Nếu cung (hoặc góc) lượng giác ¼AM có số đo là k2 n p a + (hoặc 0 k.360a n + o ) với k Î ¢ , n +Î ¥ thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau. Ví dụ 1. Nếu sđ ¼AM k2 3 p = + p thì có 1 điểm M tại vị trí 3 p (ta chọn k = 0). Ví dụ 2. Nếu sđ ¼AM k 6 p = + p thì có 2 điểm M tại các vị trí 6 p và 7 6 p (ta chọn k = 0, k = 1). Ví dụ 3. Nếu sđ ¼ 2AM k 4 3 p p = + thì có 3 điểm M tại các vị trí 4 p , 11 12 p và 19 12 p (ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2). Ví dụ 4. Nếu sđ ¼ k.360AM 45 k.90 45 4 = + = + o o o o thì có 4 điểm M tại các vị trí 450, 1350, 2250 và 3150 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3). Ví dụ 5. Tổng hợp hai cung x k 6 p = – + p và x k 3 p = + p . Giải Biểu diễn 2 cung x k 6 p = – + p và x k 3 p = + p trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm 6 p – , 3 p , 5 6 p và 4 3 p cách đều nhau. Vậy cung tổng hợp là: x k 3 2 p p = + . B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 I. Hàm số lượng giác 1. Hàm số y = cosx 1) Miền xác định D = ¡ . 2) Miền giá trị G = [–1; 1]. 3) Hàm số y = cosx là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T 2= p . 4) (cosx)/ = – sinx. 5) Đồ thị hàm số y = cosx đối xứng qua trục tung Oy. 2. Hàm số y = sinx 1) Miền xác định D = ¡ . 2) Miền giá trị G = [–1; 1]. 3) Hàm số y = sinx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T 2= p . 4) (sinx)/ = cosx. 5) Đồ thị hàm số y = sinx đối xứng qua gốc tọa độ O. 3. Hàm số y = tgx 1) Miền xác định { }D k , k2 p = + p Ρ ¢ . 2) Miền giá trị G = ¡ . 3) Hàm số y = tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p . 4) (tgx)/ = 1 + tg2x = 2 1 cos x . 5) Đồ thị hàm số y = tgx đối xứng qua gốc tọa độ O. 3 4. Hàm số y = cotgx 1) Miền xác định { }D k , k= p Ρ ¢ . 2) Miền giá trị G = ¡ . 3) Hàm số y = cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p . 4) (cotgx)/ = – (1 + cotg2x) = 2 1 sin x – . 5) Đồ thị hàm số y = cotgx đối xứng qua gốc tọa độ O. 5. Chu kỳ của hàm số lượng giác 5.1. Định nghĩa f(x + T) = f(x). 4 Ví dụ 1. Hàm số y = sin5x có chu kỳ 2T 5 p = vì: ( )2sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5×5 p + = + p = . Hơn nữa, 2T 5 p = là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ 2p . 5.2. Phương pháp giải toán 5.2.1. Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx) Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx), n +Î ¢ có chu kỳ 2T n p = . Ví dụ 2. Hàm số y = cos7x có chu kỳ 2T 7 p = . 5.2.2. Hàm số xy sin n = và xy cos n = Hàm số xy sin n = và xy cos n = , n +Î ¢ có chu kỳ T n2= p . Ví dụ 3. Hàm số xy sin 3 = có chu kỳ T 6= p . 5.2.3. Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx) Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx), n +Î ¢ có chu kỳ T n p = . Ví dụ 4. Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T 6 p = . 5.2.4. Hàm số xy tg n = và xy cotg n = Hàm số xy tg n = và xy cotg n = , n +Î ¢ có chu kỳ T n= p . Ví dụ 5. Hàm số xy tg 3 = có chu kỳ T 3= p . 5.2.5. Hàm số y f(x) g(x)= ± Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có chu kỳ lần lượt là 1 m T n = p và 2 p T k = p . Để tìm chu kỳ của hàm số y f(x) g(x)= ± ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Quy đồng m mk n nk = , p np k nk = và tìm bội số chung nhỏ nhất A của mk, np. Bước 2. Chu kỳ của y f(x) g(x)= ± là AT nk = p . 5 Ví dụ 6. Tìm chu kỳ của hàm số xy cos3x tg 3 = – . Giải Hàm số y = cos3x, xy tg 3 = có chu kỳ lần lượt là 2 3 p và 3p . Ta có: 2 2 BCNN(2; 9)3 3 T 6 9 3 3 3 p pìï =ïïï Þ = p = píï pï p =ïïî . Vậy chu kỳ của hàm số xy cos3x tg 3 = – là T 6= p . II. Phương trình lượng giác cơ bản 1) cos x cos= a x k2 , k x k2 = a + pé êÛ Îê = -a + pêë Z 2) sin x sin= a Û x k2 , k x +k2 = a + pé ê Îê = p – a pêë Z 3) tgx tg x k , k= a Û = a + p Î Z 4) cotgx cotg x k , k= a Û = a + p Î Z Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ 1) cos x 0 x k , k 2 p = Û = + p Î Z 2) cos x 1 x k2 , k= Û = p Î Z 3) cos x 1 x k2 , k= – Û = p + p Î Z 4) sin x 0 x k , k= Û = p Î Z 5) sin x 1 x k2 , k 2 p = Û = + p Î Z 6) sin x 1 x k2 , k 2 p = – Û = – + p Î Z Ví dụ 1. Xét số nghiệm của phương trình xcos x 0+ = p . Giải Ta có x xcos x 0 cos x+ = Û = - p p (1). Suy ra (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx và x y = - p (đi qua điểm ( p ; – 1)). 6 Dựa vào đồ thị, ta suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2. Giải phương trình: (cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3) 0 2 cos x 1 + – - = + (2). Giải Điều kiện: 22cos x 1 0 x k2 3 p + ¹ Û ¹ ± + p . Ta có: cos x 1 x k2 1 (2) cos x x k2 2 3 tgx 3 x k 3 é= -é = p + pêê êê pêêÛ = Û = ± + pêê êê ê pê = ê = + pë êë . So với điều kiện và tổng hợp nghiệm (hình vẽ), phương trình (2) có họ nghiệm là: 2 x k , k 3 3 p p = + Î ¢ . Chú ý: Các họ nghiệm 2x k 3 3 p p = – + và 2x k 3 p = p + cũng là các họ nghiệm của (2). III. Các dạng phương trình lượng giác 1. Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác 1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0 7 Phương pháp giải toán Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu có). Bước 2. Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0. Chú ý: Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu có). Ví dụ 1. Giải phương trình 22 sin x sinx 2 0+ – = (1). Giải Đặt t = sinx, 1 t 1- £ £ ta có: 2(1) 2t t 2 0Û + – = 1 t t 2 2 Û = Ú = – (loại) sin x sin 4 p Û = 3 x k2 x k2 4 4 p p Û = + p Ú = + p . Vậy (1) có các họ nghiệm x k2 4 , k 3 x k2 4 pé = + pê ê Îê p ê = + p ë ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình 4 45(1 cos x) 2 sin x cos x+ = + – (2). Giải Ta có: 2 2 2(2) 3 5 cos x sin x cos x 2cos x 5cos x 2 0Û + = – Û + + = . Đặt t = cosx, 1 t 1- £ £ ta suy ra: 2(2) 2t 5t 2 0Û + + = 1 t t 2 2 Û = – Ú = – (loại) 2cos x cos 3 p Û = 2 x k2 3 p Û = ± + p . Vậy (2) có các họ nghiệm 2x k2 , k 3 p = ± + p Î ¢ . Ví dụ 3. Giải phương trình 2 3 2 3tgx 6 0 cos x + – = (3). Giải Điều kiện x k 2 p ¹ + p , ta có: 2 2(3) 3(1 tg x) 2 3tgx 6 0 3tg x 2tgx 3 0Û + + – = Û + – = . Đặt t = tgx, ta suy ra: 2(3) 3t 2t 3 0Û + – = 1 t t 3 3 Û = Ú = 8 ( ) tgx tg x k 6 6 x ktgx tg 33 p pé é= = + pê ê ê êÛ Û ppê ê = – + p= -ê êëë (thỏa điều kiện). Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau. Vậy (3) có họ nghiệm là x k , k 6 2 p p = + Î ¢ . Ví dụ 4. Tìm m để phương trình 2sin x sin x m 0- + = (4) có nghiệm thuộc đoạn 7; 6 6 p pé ù ê ú ë û . Giải Với 7 1x ; sin x 1 6 6 2 p pé ùÎ Þ – £ £ê ú ë û . Đặt t = sinx, ta suy ra: 2 1(4) m t t, t 1 2 Û = – + – £ £ . Xét hàm số 2y t t= – + , ta có bảng biến thiên: t –1/2 1/2 1 y 1/4 –3/4 0 Suy ra (4) có nghiệm 7 3 1x ; m 6 6 4 4 p pé ùÎ Û – £ £ê ú ë û . Cách khác: ( ) 2 2 1 1(4) t t m m t 4 2 Û – = – Û – = – . Do ( ) 21 1 1 1 t 1 1 t 0 t 1 2 2 2 2 – £ £ Û – £ – £ Û £ – £ nên: 1 3 10 m 1 m 4 4 4 £ – £ Û – £ £ . Ví dụ 5. Tìm m để phương trình tgx mcotgx 2- = (5) có nghiệm. Giải Cách giải sai: Đặt t tgx t 0= Þ ¹ , ta suy ra: ( )22 m (5) t 2 m t 2t m t 1 1 1 t Û – = Û = – Û = – – ³ – (a). Mặt khác: t 0 m 0¹ Þ ¹ (b). Từ (a) và (b) ta suy ra (5) có nghiệm 1 m 0Û – £ ¹ (sai). Cách giải đúng: 9 Đặt t tgx t 0= Þ ¹ , ta suy ra: 2m(5) t 2 m t 2t t Û – = Û = – . Xét hàm số 2y t 2t= – , ta có bảng biến thiên: t -¥ 0 1 +¥ y +¥ +¥ 0 –1 Vậy (5) có nghiệm m 1Û ³ – . 2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp giải toán Cách 1 Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt b tg a = a . Bước 2. (*) c csin x tg cos x sin(x ) cos a a Û + a = Û + a = a . Cách 2 Bước 1. Chia hai vế (*) cho 2 2a b+ và đặt: 2 2 2 2 a b cos , sin a b a b = a = a + + . Bước 2. (*) 2 2 c sin x cos cos x sin a b Û a + a = + 2 2 c sin(x ) a b Û + a = + . Chú ý: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2 + b2 ³ c2 Ví dụ 1. Giải phương trình 3 sin x cosx 2- = (1). Giải Cách 1 1 2 2 (1) sin x cos x sin x tg cos x 63 3 3 p Û – = Û – = ( ) ( )2sin x cos sin x 16 6 63 p p p Û – = Û – = 2x k2 x k2 , k 6 2 3 p p p Û – = + p Û = + p Î ¢ . Cách 2 10 ( )3 1(1) sin x cos x 1 sin x 12 2 6 p Û – = Û – = 2x k2 x k2 , k 6 2 3 p p p Û – = + p Û = + p Î ¢ . Vậy (1) có họ nghiệm 2x k2 , k 3 p = + p Î ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình sin 5x 3 cos 5x 2 sin7x+ = (2). Cách 1 (2) sin 5x tg cos5x 2 sin7x 3 p Û + = ( )sin 5x 2cos sin 7×3 3 p p Û + = ( ) 7x 5x k2 3 sin 5x sin 7x 23 7x 5x k2 3 pé = + + pêp êÛ + = Û ê p ê = – + p ë x k 6 , k x k 18 6 pé = + pê êÛ Îp pê = +êë ¢ . Cách 2 ( )1 3(2) sin 5x cos 5x sin 7x sin 7x sin 5×2 2 3 p Û + = Û = + 7x 5x k2 3 2 7x 5x k2 3 pé = + + pê êÛ ê p ê = – + p ë x k 6 , k x k 18 6 pé = + pê êÛ Îp pê = +êë ¢ . Vậy (2) có các họ nghiệm x k 6 , k x k 18 6 pé = + pê ê Îp pê = +êë ¢ . Ví dụ 3. Giải phương trình 3 sin 2x 3 cos2x 4- = – (3). Giải Do 2 2 23 ( 3) ( 4)+ – < – nên phương trình (3) vô nghiệm. Ví dụ 4. Tìm m để phương trình: 22m cos x 2(m 1)sin x cos x 3m 1 0- – – – = (4) có nghiệm. Giải Ta có: 11 (4) mcos2x (m 1)sin2x 2m 1Û – – = + . Suy ra: (4) có nghiệm 2 2 2m (m 1) (2m 1) 3 m 0Û + – ³ + Û – £ £ . 3. Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx 3.1. Đẳng cấp bậc hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*) Phương pháp giải toán Cách 1 Bước 1. Kiểm tra x k 2 p = + p có là nghiệm của (*) không. Bước 2. Với x k 2 p ¹ + p , chia hai vế của (*) cho cos2x ta được: (*) Û atg2x + btgx + c = 0. Cách 2 Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x. Ví dụ 1. Giải phương trình: 2( 3 1)sin x ( 3 1)sin x cos x 3 0+ – – – = (1). Giải Nhận thấy x k 2 p = + p không thỏa (1). Với x k 2 p ¹ + p , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được: 2 2(1) ( 3 1)tg x ( 3 1)tgx 3(1 tg x) 0Û + – – – + = 2tg x ( 3 1)tgx 3 0Û – – – = x ktgx 1 4 tgx 3 tgx k 3 pé = – + p= -é êê êÛ Ûê pê=ê = + pë êë . Vậy các họ nghiệm của (1) là x k 4 , k tgx k 3 pé = – + pê ê Îpê = + pêë ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + 2 3 sinxcosx + 1 = cos2x (2). Giải ( ) ( )(2) 3 sin2x cos2x 1 sin 2x sin6 6 p p Û – = – Û – = – 12 x k2x k2 6 6 27 x k2x k2 36 6 p pé = pé- = – + pê êêÛ Û ê pê p p ê = + pê – = + p êëë . Cách khác: 2(2) sin x 3 sin x cos x 0Û + = Û sin x 0 sin x 3 cos x 0 =é ê … oán Bước 1. Đặt t = sinx + cosx = ( )2 sin x 4 p + 2 t 2Þ – £ £ và 2t 1 sin x cos x 2 - = . Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t. Chú ý: Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx. Ví dụ 1. Giải phương trình: ( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + 2 + 1 = 0 (1). Giải Đặt t = sinx + cosx 2 t 2Þ – £ £ và sin2x = t2 – 1. Thay vào (1) ta được: 2t ( 2 1)t 2 0 t 1 t 2+ + + = Û = – Ú = – . 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin x 1 sin x sin 4 4 4(1) 2 sin x 2 sin x 1 4 4 p p pé é+ = – + = -ê ê ê êÛ Ûê êp p + = – + = -ê ê ë ë x k2 x k24 4 25 x k2 x k2 4 4 3 x k2 x k2 4 2 4 p pé é p+ = – + pê ê = – + pê ê ê p p ê Û + = + p Û = p + pê ê ê ê ê êp p pê ê+ = – + p = – + pêê ëë . Vậy (1) có các họ nghiệm: x k2= p + p , x k2 2 p = – + p , 3x k2 4 p = – + p (k )Î ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2). Giải Đặt t = sinx – cosx 2 t 2Þ – £ £ và 21 t sin x cos x 2 - = . Thay vào (2) ta được: 2 2 t 11 t 6t 6 t 12t 13 0 2 t 13 = -é- ê= – Û + – = Û ê = -êë (loaïi ) . ( ) ( ) ( )(2) 2 sin x 1 sin x sin4 4 4 p p p Û + = – Û + = – x k2 x k24 4 2 5 x k2x k2 4 4 p pé p+ = – + p éê = – + pêêÛ Û êê p p ê = p + p+ = + pê ëë . Vậy (2) có các họ nghiệm x k2= p + p , x k2 2 p = – + p (k )Î ¢ . Ví dụ 3. Tìm m để phương trình m(cos x sin x) sin2x 0- + = (3) có nghiệm thuộc khoảng ( ); 4 p p . Giải Đặt ( ) 2t cos x sin x 2 cos x sin2x 1 t4 p = – = + Þ = – . Ta có: ( ) ( )5x ; x 1 cos x 04 2 4 4 4 p p p p p Î p Þ < + < Þ – £ + < ( )2 2 cos x 0 2 t 04 p Þ – £ + < Þ – £ < . 15 Thay vào (3) ta được: 2 2 1mt 1 t 0 mt t 1 m t t + – = Û = – Û = – (do t < 0). Xét hàm số [ )1f(t) t , t 2; 0 t = – Î – , ta có: [ )/ 2 1 f (t) 1 0 t 2; 0 t t 0 2 f( 2) , lim f(t) 2 -® – = – = +¥ . Vậy (3) có nghiệm 2m 2 Û ³ – . Chú ý: Ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số f(t): t 2- 0 /f (t) + f(t) +¥ 2 2 – 5. Dạng phương trình khác Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi để đưa về các dạng đã biết cách giải. Ví dụ 1. Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1). Giải 1 1 1 1 (1) cos 8x cos6x cos8x cos2x 2 2 2 2 Û + = + x k6x 2x k2 2cos 6x cos2x 6x 2x k2 x k 4 pé == + pé êê êÛ = Û Ûê pê= – + pê =ë êë . Vậy (1) có họ nghiệm là x k , k 4 p = Î ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2). Giải (2) 2 sin 3x cos x 2 sin 3x cos3x sin 3x(cos 3x cos x) 0Û = Û – = x ksin 3x 0 3x k 3 cos 3x cos x 3x x k2 x k 2 pé == = péé êêê êÛ Û Ûêê pê= = ± + pê =ë ë êë . Vậy (2) có họ nghiệm là x k 2 p = , x k (k ) 3 p = Î ¢ . C. BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 16 I. Bất phương trình lượng giác cơ bản 1. Bất phương trình cơ bản của cosx 1) cos x cos k2 x k2 , k³ a Û -a + p £ £ a + p Î ¢ (hình vẽ) 3) cos x cos k2 x 2 k2 , k£ a Û a + p £ £ p – a + p Î ¢ 4) cos x cos k2 x 2 k2 , k< a Û a + p < < p – a + p Î ¢ 2. Bất phương trình cơ bản của sinx 1) sin x sin k2 x k2 , k³ a Û a + p £ £ p – a + p Î ¢ (hình vẽ) 3) sin x sin k2 x k2 , k£ a Û -p – a + p £ £ a + p Î ¢ 4) sin x sin k2 x k2 , k< a Û -p – a + p < < a + p Î ¢ 3. Bất phương trình cơ bản của tgx 17 1) tgx tg k x k , k 2 p ³ a Û a + p £ < + p Î ¢ (hình vẽ) 2) tgx tg k x k , k 2 p > a Û a + p < < + p Î ¢ 3) tgx tg k x k , k 2 p £ a Û – + p < £ a + p Î ¢ 4) tgx tg k x k , k 2 p < a Û – + p < < a + p Î ¢ 4. Bất phương trình cơ bản của cotgx 1) cotgx cotg k x k , k³ a Û p < £ a + p Î ¢ (hình vẽ) 3) cotgx cotg k x k , k£ a Û a + p £ < p + p Î ¢ 4) cotgx cotg k x k , k< a Û a + p < < p + p Î ¢ Chú ý: 18 Khi giải bất phương trình lượng giác ta nên vẽ đường tròn lượng giác để chọn nghiệm. Ví dụ 1. Tìm miền xác định của hàm số y cos2x= . Giải Ta có: cos2x 0 k2 2x k2 2 2 p p ³ Û – + p £ £ + p k x k 4 4 p p Û – + p £ £ + p . Vậy miền xác định là D k ; k , k 4 4 p pé ù= – + p + p Îê úë û ¢ . Ví dụ 2. Tìm miền xác định của hàm số y sin 2x= . Giải Ta có: sin2x 0 k2 2x k2³ Û p £ £ p + p k x k 2 p Û p £ £ + p . Vậy miền xác định là D k ; k , k 2 pé ù= p + p Îê úë û ¢ . Ví dụ 3. Tìm miền xác định của hàm số y tg3x= . Giải Ta có: tg3x 0 k 3x k 2 p ³ Û p £ < + p k x k 3 6 3 p p p Û £ < + . Vậy miền xác định là )D k ; k , k3 6 3 p p pé= + Îêë ¢ . Ví dụ 4. Giải bất phương trình 2sin x 2 ³ . Giải 2 sin x sin x sin 2 4 p ³ Û ³ 3 k2 x k2 , k 4 4 p p Û + p £ £ + p Î ¢ . Ví dụ 5. Giải bất phương trình 3cos x 2 < – . Giải 3 5 cos x cos x cos 2 6 p < – Û < 5 7 k2 x k2 , k 6 6 p p Û + p < < + p Î ¢ . 19 Giải ( )tgx 1 tgx tg 4 p > – Û > – k x k , k 4 2 p p Û + p < < + p Î ¢ . Ví dụ 7. Giải bất phương trình cotgx 3£ . Giải cotgx 3 cotgx cotg 6 p £ Û £ k x k , k 6 p Û + p £ < p + p Î ¢ . Giải Ta có : ( ) ( ) ( )2 cos x 2 cos x 0 2 sin x sin 04 8 8 p p p ( ) 9sin x 0 k2 x k28 8 8 p p p Chú ý: Cách giải sau đây sai: ( ) x k 2cos x cos x 4 k2 0 4 x k , k 0, k 2 p Nhận thấy 3x 2 p = không thỏa bất phương trình. Ví dụ 9. Giải bất phương trình 3 1cos x 2 2 – £ £ . Giải Ta có: 20 3 1 cos x 2 2 – £ £ 5 cos cos x cos 6 3 p p Û £ £ 5 k2 x k2 3 6 7 5 k2 x k2 6 3 p pé + p £ £ + pê êÛ ê p pê + p £ £ + pêë . Ví dụ 10. Giải bất phương trình 1 2sin x 2 2 – £ < . Giải Ta có: 1 2 sin x 2 2 – £ < ( )sin sin x sin6 4 p p Û – £ < 3 k2 x k2 4 4 5 k2 x k2 6 6 p pé + p < < + pê êÛ ê p pê- + p £ £ – + pêë . Ví dụ 11. Giải bất phương trình (2 cos x 1)(2 cos x 3) 0- – ³ . Giải Ta có: (2 cos x 1)(2 cos x 3) 0- – ³ 1 3 cos x cos x 2 2 Û £ Ú ³ cos x cos cos x cos 3 6 p p Û £ Ú ³ k2 x k2 6 6 5 k2 x k2 3 3 p pé- + p £ £ + pê êÛ ê p p + p £ £ + pê ë . Giải Ta có: 21 2 3 sin x sin x 2 2 ( )sin x sin 4 sin x sin 3 pé < -ê 4 k2 x k2 3 3 5 7 k2 x k2 4 4 p pé + p < < + pê êÛ ê p pê + p < < + pêë . Ví dụ 13. Giải bất phương trình 24 sin x 2( 3 1)sin x 3 0- + + £ . Giải Ta có: 24 sin x 2( 3 1)sin x 3 0- + + £ 1 3 sin x 2 2 Û £ £ k2 x k2 6 3 2 5 k2 x k2 3 6 p pé + p £ £ + pê êÛ ê p p ê + p £ £ + p ë . Ví dụ 14. Giải hệ bất phương trình 1 cos x 2 1 sin x 2 ìï ³ïïïíïï <ïïî . Giải Ta có: 1 cos x cos x cos 2 3 1 sin x sinsin x 62 pìï ìï³ ³ï ïï ïï Ûí í pï ïï ï <<ï ïïîïî k2 x k2 3 3 7 k2 x k2 6 6 p pìï- + p £ £ – + pïïïÛ í p pïï- + p < < + pïïî k2 x k2 3 6 p p Û – + p £ < + p . 22 Ví dụ 15. Giải hệ bất phương trình cos x 0 1 2 sin x 2 2 <ìïïïíï- < £ïïî . Giải Ta có: cos x 0 1 2 sin x 2 2 <ìïïïíï- < £ïïî 3 k2 x k2 2 2 k2 x k2 6 4 3 7 k2 x k2 4 6 p pìï + p £ £ + pïïïï p pï éï – + p < £ + pÛ íêï êïï ê p pïï ê + p £ < + pïïî ë 3 7 k2 x k2 4 6 p p Û + p £ < + p . II. Hệ phương trình lượng giác 1. Hệ phương trình 1 ẩn Phương pháp giải Cách 1 Giải 1 phương trình và thế nghiệm vào phương trình còn lại. Cách 2 Bước 1. Giải cả hai phương trình độc lập với nhau. Bước 2. Nghiệm chung là nghiệm của hệ phương trình. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 2cos x 1 (1) 3 sin2x (2) 2 ì =ïïïíï =ïïî . Giải Cách 1 (1) x k2 x k2 3 3 p p Û = + p Ú = – + p . + Thay x k2 3 p = + p vào (2) ta được: 23 ( )2 3sin k4 sin3 3 2 p p + p = = (nhận). + Thay x k2 3 p = – + p vào (2) ta được: ( )2 3sin k4 sin3 3 2 p p – + p = – = – (loại). Cách 2 x k2 32cos x 1 x k x k23 6 3sin 2x 2 x k 3 pìï = ± + pïï=ì ïï ïï p pïï Û = + p Û = + pí íï ï=ï ïï ïî pï = + pïïî . Vậy hệ phương trình có nghiệm x k2 , k 3 p = + p Î ¢ . Ví dụ 2. Giải hệ phương trình cotgx 1 2 sin x 2 =ìïïïíï =ïïî . Giải Ta có điều kiện x k¹ p . x k 4cotgx 1 x k2 x k22 4 4sin x 2 3 x k2 4 pìïï = + pï= ïìï ïï p pïï ïÛ = + p Û = + pí íï ï=ï ïï ïî pïï = + pïïî . Vậy hệ phương trình có nghiệm x k2 , k 4 p = + p Î ¢ . Ví dụ 3. Giải phương trình 2cos2x – 3sin25x = 2. Giải 2 2 2 22 cos x 3 sin 5x 2 3 sin 5x 2 sin x 0- = Û + = x ksin x 0 x k sin 5x 0 x k 5 = pìï=ìï ïï ïÛ Û Û = pí í pï ï= =ï ïî ïî . Vậy hệ phương trình có nghiệm x k , k= p Î ¢ . 24 Chú ý: Khi giải hệ phương trình lượng giác 1 ẩn ta nên vẽ đường tròn lượng giác để giao nghiệm. 2. Hệ phương trình 2 ẩn Phương pháp giải Không có cách giải tổng quát, tùy vào hệ phương trình cụ thể ta dùng phương pháp thế hoặc cộng và trừ hai phương trình rồi dùng công thức biến đổi. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sin x cos y 1 (1) x y (2) 3 ì + =ïïïí pï + =ïïî . Giải Ta có: x y x y (1) 2 sin cos 1 2 2 + - Û = x y x y2 sin cos 1 k2 6 2 2 p – - Û = Û = p (3). Từ (2) và (3), ta suy ra hệ phương trình có nghiệm x k2 6 , k y k2 6 pìï = + pïï Îí pïï = – pïïî ¢ . Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 1 cos x cos y 2 1 sin x sin y 2 ìï =ïïïíïï = -ïïî . Giải Ta có: 1 cos x cos y cos x cos y sin x sin y 02 1 cos x cos y sin x sin y 1 sin x sin y 2 ìï =ï + =ìïïï ïÛí íï ï – =ï ïî= -ïïî cos(x y) 0 x y k 2 cos(x y) 1 x y m2 pìïì – = – = + pï ïï ïÛ Ûí íï ï+ = + = pï ïî ïî . Vậy hệ phương trình có nghiệm x (2m k) 4 2 , (m, k ) y (2m k) 4 2 p pìï = + +ïï Îí p pïï = – + -ïïî ¢ . 25 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 2 3 tgx tgy 3 2 3 cotgx cotgy 3 ìïï + =ïïíïï + = -ïïî . Giải Ta có điều kiện : x kcos x sin x 0 2 cos y sin y 0 y m 2 pìï ¹¹ ïìï ïï Ûí í pï ï¹ï ï ¹î ïïî . 2 32 3 tgx tgytgx tgy 33 1 1 2 32 3 cotgx cotgy tgx tgy 33 ìì ïï ïï + =+ = ïï ïï Ûí íï ïï ï + = -+ = -ï ïï ïî ïî 2 3 tgx tgy 3 tgxtgy 1 ìïï + =ïÛ Þíïï = -ïî tgx, tgy là nghiệm của phương trình: 2 1tgx 3 tgx 33X 2X 3 0 1 tgy tgy 33 ì ì=ï ï = -ï ïï ï- – = Û Úí íï ï= -ï ï =ï ïî î . So với điều kiện, hệ phương trình có nghiệm: x l x q 3 6 , (l, q ) y q y l 6 3 p pì ìï ï= + p = – + pï ïï ïÛ Ú Îí íp pï ïï ï= – + p = + pï ïï ïî î ¢ . ..
Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Đạo Hàm
1.2. Các dạng bài tập Với hàm đặc trưng Dạng2: Với hàm đặc trưng 2. Bài tập. Bài tập về ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình. Bài 1. Giải phương trình sau: Lời giải: +)Đk :x<2+) Xét hàm số trên +) Ta có Suy ra f(x) đồng biến trên khoảng Dùng máy tính kiểm tra được là nghiệm . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . Bài 2. Giải phương trình sau: (ĐHQG HN-07) Lời giải: +) Đ/K: +)Ta thấy là một nghiệm .+) Xét hàm số +) Ta có f(x) đồng biến trên .Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau: Lời giải: Ta có +) Đ/K: +) Ta có +)Đặt .Phương trình trở thành : +) Với thì vô nghiệm +) Vời , bình phương hai vế ta có +) Ta thấy t=1 là một nghiệm của phương trình +) Xét hàm số +)nghịch biến trên +) Xét hàm +) đồng biến trên +) Vậy t=1 là nghiệm duy nhất .Với t=1 hai nghiệm x=0; x=2 Bài 4. Giải phương trình: Lời giải: +)Ta có +) Xét hàm số Ta có đồng biến. +) Khi đó Vậy phương trình có ba nghiệm x=1; Bài 5. Giải phương trình: Lời giải: Đ/K: +) Ta có Pt: +) Xét hàm trên +) đồng biến trên +) Khi đó phương trình Vậy phương trình có hai nghiệm Bài 6. Giải phương trình: (Olimpic30/04/2011) +) Ta cần phân tích pt về dạng: , với hàm cần xét có dạng . Với f(t) đồng biến. Do đó Bài 7. Giải phương trình : (Olympic30/04/09). Lời giải: Ta đưa phương trình về dạng Đồng nhất các hệ số ta tìm được Khi đó pt: Vời đồng biến. Ta có Vậy phương trình có nghiệm Bài 8.Giải phương trình: Lời giải: Ta cần đưa phương trình về dạng Đồng nhất hệ số ta tìm được Phương trình Với đồng biến Ta có Vậy phương trình có nghiệm Bài 9. Giải phương trình (HSG Hải Phòng 2010) Lời giải : Ta có Xét hàm số đồng biến. Vậy phương trình có nghiệm x=0. Bài10. Giải phương trình (HSG Quảng Bình 2012) Đ/K:Tacó: Xét hàm số đồng biến Phương trình:. Vậy phương trình có hai nghiệm x=0, x=1 Bài11:Giải phương trình: ( Chuyên Lê Quý Đôn- Bà Rịa vũng Tàu) Lời giải :+) ĐKXĐ:a có: Xét hàm số đồng biến Ta có +) Xét .Đặt =cost, , phương trình trở thành Mà suy ra Do phương trình là bậc ba nên có không quá ba nghiệm. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm Bài 12.Giải phương trình : +) Ta thấy phương trình chỉ có nghiệm trong khoảng Ta có Với . Xét hàm số đồng biến trên Ta có Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . Bài 13. Giải phương trình (HSG Nghệ An2012) Lời giải:+) ĐKXĐ: +) Phương trình đã cho tương đương với +)Xét hàm số ; Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên Khi đó: Bài 14. Giải phương trình sau: (HSG Thái Bình 2011) Lời giải: +) ĐKXĐ: +) Xét hàm số đồng biến trên Vậy phương trình có nghiệm Bài 15: Giải phương trình sau: Lời giải: +) ĐKXĐ: +) Phương trình +) Xét hàm số đồng biến .+) Phương trình +) Xét hàm phương trình g(x)=0 có nhiều nhất là hai nghiệm, mà g(0)=g(1)=0. Vậy phương trình có hai nghiệm x=0, x=2. Bài16. Giải phương trình : ( HSG Hải Dương ) Lời giải: +) ĐKXĐ : +) Ta có : +) Xét hàm số nghịch biến. +) Phương trình Vậy phương trình có nghiệm . 2.2. Bài tập ứng dụng tính đơn điệu vào giải hệ phương trình Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu Một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên đó hàm f đơn điệu Bài1 Giải hệ phương trình Giải . Từ PT (2) ta có Xét hàm số có do đó f(t) nghịch biến trên khoảng (-1;1) hay PT (1) thay vào PT (2) ta được PT : Đặt a=x4 ≥0 và giải phương trình ta được Bài2. Giải hệ : Lời giải : Từ pt(1) ta xét hàm hs đồng biến Khi đó Thay vào(2) :hệ có nghiệm Bài3. Giải hệ : (x, y Î R). (Đề thi ĐH 2010-KA) Lời giải ĐK : . Pt (1) Xét hàm : đồng biến Pt Nghĩa là : Pt (2) trở thành Xét hàm số trên < 0 Mặt khác : nên (*) có nghiệm duy nhất x = và y = 2.. x = và y = 2 Bài 4. (Đề thi thử Hà Tĩnh 2013) Giải hệ phương trình: (I) Hướng dẫn cách giải:Biển đổi phương trình (1) về dạng 3x + x = 3y + y (3) Thiết lập hàm số: f(t) = 3t + tChứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3) f(x) = f(y) x = y Cách giải: (I) Þ f(t) là hàm đồng biến, (3) f(x) = f(y) x = y Nên (I) x = y = ± 2Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2) Bài 5.(Tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 5- 2012)Giải hệ (I) Hướng dẫn cách giải: Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y Lấy (1) - (2) và đưa phương trình về dạng Thiết lập hàm số: f(t)= , t [-;4] Cách giải: Điều kiện - Lấy (1) - (2) và đưa phương trình về dạng (3) Xét hàm số: f(t)= , t [-;4]Þ f'(t) = t (-;4) Þ f(t) đồng biến trên (-;4) (3) Suy ra: (pt vô tỉ dạng cơ bản) Giải pt được 2 nghiệm : x=3, x= (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3), Bài 6.G hệ phương trình: (1) +) Với thì , Hệ phương trình chỉ có nghiệm với y. +) Vì nên từ phương trình (2) của hệ suy ra . (3) Thay vào phương trình (3) ta được: (2) +) Xét hàm số: với với mọi là hàm đồng biến trên . Mà +) Thay vào phương trình (2) của hệ ta có : . Thử lại thấy thỏa mãn hệ phương trình đã cho. Kết luận : Hệ phương trình đã có nghiệm duy nhất Bài 7: (ĐH 2012)Giải hệ phương trình (x, y Î R). Lời giải :Pt Pt Xét hàm số suy ra hàm số nghịch biến , pt Thay vào (2): Vậy hệ có nghiệm 3.Bài tập tự luyện: Bài1: Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. (HSG Lâm Đồng) 14. (HSG Ninh Bình) 15. 16. (HSGQuảng Nam) Bài2. Giải các hệ phương trình: 1)2) 3)4) 5)(HSG 2013) 6) 7) ( HSG HD 2012) 8)(i Dương 13-14) 9) KA 13
Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Cách giải phương trình lượng giác cơ bản
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = π-α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là
x = arcsina + k2π, k ∈ Z
và x = π – arcsina + k2π, k ∈ Z.
Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = -α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết α = arccos a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là
x = arccosa + k2π, k ∈ Z
và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt: – Phương trình tanx = a (3)
Điều kiện:
Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết α = arctan a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là
x = arctana + kπ,k ∈ Z
– Phương trình cotx = a (4)
Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết α = arccot a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là
x = arccota + kπ, k ∈ Z
Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sinx = sin(π/6) c) tanx – 1 = 0
b) 2cosx = 1. d) cotx = tan2x.
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
b) 2sin(2x – 40º) = √3
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:
Đáp án và hướng dẫn giải
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sinx = sinπ/6
b)
c) tanx=1⇔cosx= π/4+kπ (k ∈ Z)
d) cotx=tan2x
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
⇔ cosx (cosx – 2 sinx )=0
b) 2 sin(2x-40º )=√3
⇔ sin(2x-40º )=√3/2
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin(2x+1)=cos(3x+2)
b)
⇔ sinx+1=1+4k
⇔ sinx=4k (k ∈ Z)
⇔sinx = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) cos(3x + π) = 0
b) cos (π/2 – x) = sin2x
Lời giải:
Bài 2: Giải các phương trình sau
a) chúng tôi = 1
Lời giải:
Bài 3: Giải các phương trình sau
Lời giải:
Bài 4: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.
Lời giải:
Bài 5: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx + (√3+1)cosx = 2√2 sin2x
Lời giải:
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
phuong-trinh-luong-giac.jsp
Bạn đang xem bài viết Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác trên website Maiphuongus.net. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!